1. §4. Касательная прямая. Длина дуги. Натуральная параметризация

   1. Основные вопросы

1. Касательная прямая. Нормаль плоской кривой, нормальная плоскость пространственной кривой.

2. Угол между кривыми в точке их пересечения.

3. Длина дуги кривой. Натуральная параметризация.

1. Упражнения с решениями

1. Для каждой из заданных кривых составить уравнение касательной прямой, а также нормали (если кривая плоская) или нормальной плоскости (если кривая пространственная) в указанной точке; сделать рисунки кривых:

а) (в точке с абсциссой 0);

б) (в точке (2;4;8));

в) (в точке, для которой);

г) (в точке (0;0;1)).

Решение. а)Параметризуем кривую: . Находим координаты заданной точки (х=0, y=1) и вычисляем в ней вектор скорости параметризации:

, . Следовательно, искомая касательная имеет уравнение , илиY=1.

Нормаль в заданной точке, очевидно, совпадает с осью y.

б) Параметр указанной точки находим, решая систему уравнений:

. Имеем:.

Итак, уравнение касательной прямой имеет вид:

а уравнение нормальной плоскости -

(X-2)+4(Y-4)+12(Z-8)=0, или X+4Y+12Z-114=0.

в) Параметризуем кривую, выбирая в качестве параметра полярный угол :Находим декартовы координаты точкивектор скорости параметризации в ней:

а также уравнение касательной -

и, наконец, уравнение нормали -

г) Обозначим: Находим:

В точке (0;0;1) имеем:

Следовательно, уравнения касательной прямой и нормальной плоскости соответственно имеют вид:

0(X-0)-2(Y-0)+0(Z-1)=0, или Y=0.

Ответ: а) Y=1 и X=0; б) и X+4Y+12Z-114=0;

в) и

г) X=0, Z=1 и Y=0.

2. Доказать, что гиперболы пересекаются под прямым углом .

Доказательство. Обозначим:

Имеем: Следовательно, в любой точке пересечения гипербол , т.е. их касательные прямые перпендикулярны.

3. Вычислить: а) длину дуги цепной линии (см. рис.17) между точками с абсциссами; б) длину одной арки циклоиды; в) длину одного витка винтовой линии.

Решение. а) Параметризуя цепную линию и применяя формулу для нахождения длиныl дуги параметризованной кривой между точками с параметрами, находим:

б) Параметрические уравнения циклоиды имеют вид (см. §3, п.II, задача 4):

Одной ее арке соответствует изменение параметра t от 0 до (см. рис.15). Поэтому имеем:

в) Параметрические уравнения винтовой линии имеют вид (см. §3, п.II, задача 5):

Одному ее витку соответствует изменение параметра t от 0 до (см. рис.21). Поэтому имеем:

Ответ: а); б)8а; в)

4. Найти натуральную параметризацию кривой .

Решение. Воспользуемся формулой

Положим для простоты , т.е. отсчет длины дугибудем проводить от точки кривой, имеющей параметрt=0. Имеем:

Решая уравнение относительноt получаем:

Следовательно, натуральная параметризация кривой имеет вид:

Ответ:

4. Вывести формулу для нахождения длины дуги плоской регулярной кривой, заданной полярным уравнением Используя эту формулу, найти длину первого витка спирали Архимеда.

Решение. Параметризуя кривую в виде , и применяя формулу для нахождения длины дуги параметризованной кривоймежду точками с параметрамии, получаем:

Найдем длину первого витка спирали Архимеда (см. §3, п.II, задача 3 и рис.13). Имеем: ,

.

Ответ: ,.