3. Упражнения и задачи для самостоятельной работы

Группа А

1. Пусть - натуральная параметризация пространственной кривой класса- векторы ее репера Френе. Доказать тождества:

а) б)

1. Составить натуральные уравнения кривой x = cht, y = sht, z = t, .

1. Найти параметрические уравнения плоской кривой, зная ее натуральные уравнения:

а) б)

1. Найти уравнения и сделать чертежи эволют следующих плоских кривых: а)

б) (рассмотреть случаи когдаи).

1. Найти эвольвенты следующих кривых: а) цепной линии y = chx (проходящую через точку (0;1)); б) винтовой линии x = acost, y = asint, z = bt.

Группа Б

1. Доказать, что формулы Френе можно записать в виде: Найти вектор(вектор Дарбу).

1. Обобщенной винтовой линией или линией откоса называется пространственная кривая, касательная к которой образует постоянный угол с фиксированным направлением. Для того, чтобы бирегулярная криваяклассабыла линией откоса необходимо и достаточно, чтобы, где с=const. Доказать.

1. Найти полярное уравнение кривой, заданной натуральными уравнениями

1. Доказать, что если вдоль регулярной кривой, не имеющей точек спрямления, производная кривизны по натуральному параметру сохраняет знак, то ее эволюта является регулярной кривой.

1. Выразить кривизну эвольвенты регулярной кривой через кривизнуk и кручение этой кривой.

1. §7. Плоские кривые

   1. Основные вопросы

1. Точки перегиба.

2. Особые точки кривой.

3. Асимптоты.

4. Соприкосновение кривых. Порядок соприкосновения. Соприкасающаяся окружность.

5. Огибающая семейства кривых.

1. Упражнения с решениями

1. Определить точки перегиба следующих кривых:

а) б)(жезл; см.рис.18); в)

Решение. а) Точка перегиба параметризованной кривой x = x(t), y = y(t) характеризуется тем, что в ней кривизна k равна нулю, т.е. ипричем выражениеменяет в ней знак (см.§5, п.II, задача 5.). В данном случае имеем:

Первое выражение обращается в нуль при , причем его знак изменяется при переходе через эти точки. Второе выражение отлично от нуля. Итак,- параметры точек перегиба. Сами точки перегиба - ().

б) Поскольку кривизна k кривой, заданной полярным уравнением вычисляется по формуле( см.§5, п.III, задача 5 ), решаем систему:

Так как k=0 при , и выражениеменяют знак при переходе через точку, то- точка перегиба.

в) Обозначим: . Тогда имеем:

( учли, что).

Если 0<x<1, то , и кривая выпукла вверх; еслиx>1, то , и кривая выпукла вниз. Следовательно, (1;0) - точка перегиба кривой.

Ответ: а) (); б); в)(1;0).

1. Найти особые точки следующих кривых и указать их тип:

а) б)в).

Решение. а) Сначала ищем точки возврата. Имеем: , следовательно,, еслиt=1. Порядок первой отличной от нуля производной функции приt=1 будет четным , поэтому точка с параметромt=1 - особая. Порядок первой из производных, не коллинеарных при t=1 вектору , будет нечетным (векторнеколлинеарен вектору), поэтому найденная особая точка (ее координаты - (1;2)) является точкой возврата 1-го рода (кривая расположена по обе стороны от касательной в этой точке).

Для нахождения узловых точек (самопересечения, самоприкасания) составляем уравнение Нетрудно убедиться, что данное равенство может иметь место в том и только том случае, когда. Следовательно, кривая не имеет узловых точек.

б) В этом случае производная функции существует и не обращается в нуль. Следовательно, точек излома и возврата кривая не имеет.

Уравнение для нахождения параметровузловых точек эквивалентно следующей системе:

которая имеет две пары решений, удовлетворяющих условию . Таким образом, значениям параметраисоответствует одна и та же узловая точка на кривой - (3;0).

Поскольку векторы ине коллинеарны, то эта точка является точкой самопересечения.

в) Обозначим: . Так какприx = 0, y = 0, то начало координат является особой точкой.

Вычисляем в точке (0;0):

при x = y = 0. Это означает, что (0;0) - либо изолированная точка, либо точка возврата, либо точка самоприкасания.

Чтобы установить тип точки проведем дополнительное исследование. При имеем:поскольку- бесконечно малая высшего порядка по сравнению с.

Следовательно, строение данной кривой в окрестности начала координат походит на строение полукубической параболы т.е (0;0) - точка возврата 1-го рода.

Ответ: а) (1;2) - точка возврата 1-го рода; б) (3;0) - точка самопересечения; в) (0;0) - точка возврата 1-го рода.

1. Найти асимптоты плоских кривых:

а) (декартов лист);

б)(гиперболическая спираль);

в) (гипербола).

Решение. а) Кривая уходит в бесконечность при , посколькуИщем невертикальную асимптоту, уравнение которой имеет видY = kX+b:

Итак, X+Y+a = 0 - невертикальная асимптота. Других асимптот нет.

б) Пусть Oxy - декартова система координат, согласованная с полярной обычным образом. Так как то прямаяy = а - асимптота (ее полярное уравнение - ). Других асимптот нет.

Замечание. Полюс является асимптотической точкой гиперболической спирали, поскольку

в) Будем искать уравнение невертикальной асимптоты в виде Y=kX+b. Чтобы найти угловой коэффициент разделим обе части уравнения на:

Переходя к пределу при , имеем:

откуда .

Для нахождения коэффициента b предварительно перепишем уравнение кривой в виде (y-x)(2y-x)+x+1=0. С учетом этого представления находим:

Итак, невертикальные асимптоты данной кривой имеют уравнения Других асимптот нет.

Ответ: а) X+Y+a = 0; б) в)

4. Написать уравнение соприкасающейся окружности кривой y = sinx в точке и найти порядок соприкосновения.

Решение. Уравнение соприкасающейся окружности может быть записано в виде , где- радиус-вектор центра окружности,- радиус-вектор ее текущей точки,R - радиус. Последний равен радиусу кривизны кривой y = sinx в точке А:

Находим вектор центра: (здесь:- радиус-вектор точки данной кривой,- орт ее нормали (он направлен в сторону вогнутости кривой)). Итак, уравнение соприкасающейся окружности в точке А имеет вид:Чтобы найти порядок соприкосновения, исключим из полученного уравненияy, заменяя его по формуле y = sinx : Обозначая левую часть черезF(x), имеем:

Таким образом порядок соприкосновения равен 3.

Ответ: ; 3.

5. Найти огибающую семейства кривых

Решение. Составляем систему уравнений, определяющую координаты точек дискриминантной кривой.

Имеем:

Чтобы исключить параметр с, перепишем полученную систему в виде:

Отсюда вытекает, что дискриминантная кривая распадается на две ветви: y=x и .Легко проверить, что первая из них состоит из особых точек кривых семейства (вдоль нее ), а вторая - не содержит особых точек, т.е. является огибающей.

Ответ: .