1. Плоские алгебраические кривые третьего порядка

Рис.2. Циссоида Диоклесса

Рис.3. Строфоида

Рис.1. Декартов лист

2. Плоские алгебраические кривые четвертого и высших порядков

Рис. 4. Астроида Рис.5. Овалы Кассини

Рис.6. Лемниската Бернулли Рис. 7. Четырехлепестковая роза

Рис. 8. Улитки Паскаля Рис.9. Кардиоида

Рис. 10. Эпициклоиды

Рис. 11. Гипоциклоиды

Рис. 12. Каппа

3. Плоские трансцендентные кривые

Рис. 13. Спираль Архимеда Рис. 14. Логарифмическая спираль

Рис. 15. Циклоида

Рис. 16. Трактрисса Рис. 17. Цепная линия

Рис. 18. Жезл

4. Пространственные кривые

Рис. 19. Кривая Вивиани Рис. 20. Бицилиндрика

Рис. 21. Винтовая линия Рис. 22. Коническая винтовая линия

14. Ответы, указания, краткие решения

§1

1. а) Дуга окружности между точками (1;1) и; б) Левая ветвь гиперболы.

2. а) (1;0;1); б)(4;-2).

3. 

4. а) ; б)в)

5. а) (1;1;2), (1;-1;2); б) -12х²y²; в)(3u²+5u⁴; 3u²-5u⁴; 16u¹⁵).

7. а)б)в)г)д)е) (точками обозначены производные по s).

§2

1. а)б)

2. Замена переменной - диффеоморфизм ,. Эллипс с выколотой точкой (-а;0).

3. При изменении t от -до +точка движется по кривой снизу вверх. (0;0) - особая точка неявного задания.

4. Одна из возможных параметризаций в случае, когда a<b: (Знакам «+» и «-» соответствуют различные компоненты бицилиндрики).

1. а)б)y² = 6x+9.

2. а) б)x+y-2 = 0.

6. а)б)Параметризациии- регулярные и эквивалентные (замена параметра:).

7. а)б)для правой ветви идля левой ветви; в)

8. а) Окружность (xR)²+y²=R² с выколотой точкой (0;0); б) Правая ветвь гиперболы

1. 

1. а) Окружность: x²+y²=13, z=6; б) Две пары пересекающихся прямых: x²-y² = 0, .

2. y = shz, x = 0; x = chz, y=0(цепная линия(см.рис.17)); x²-y²=1, z = 0 (гипербола).

§3

1. Параметрические уравнения: x=asin2tcost, y=asin2tsint (t - угол между отрезком и положительной полуосью х); неявное уравнение: (x²+y²)³ = 4a²x²y²; полярное уравнение: (полярные координаты согласованы с декартовыми стандартным образом).

2. Если выбрать в качестве полюса начало луча, а полярную ось провести через центр окружности, то полярное уравнение кривой будет иметь вид: .Неявное уравнение: (x²+y²-2ax)² = 4b²(x²+y²).

3. Если выбрать в качестве полюса точку О и считать, что в начальный момент времени (t = 0) точка М находилась на полярной оси на расстоянии от полюса, то полярное уранение кривой будет иметь вид:.

4. Если принять прямую l за ось х, то параметрические уравнения кривой будут иметь вид: гдеt - угол наклона касательной к оси х.

5. Если в момент времени t = 0 точка М находится в начале системы координат, то параметрические уравнения кривой будут иметь вид: где- угол между прямойOL и плоскостью z = 0.

6. Полярное уравнение: Параметрические уравнения:илиНеявное уравнение:x³ = y²(2ax).

7. Полярное уравнение: Параметрические уравнения:Неявное уравнение: (2a-x)y² = x(xa)².

8. Если поместить начало прямоугольной декартовой системы координат Oxy в центр неподвижной окружности и считать, что в исходном положении точка М совпадает с точкой (R;0), то параметрические уравнения кривой будут иметь вид:

x = (R+mR)cosmtmRcos(t+mt), y = (R+mR)sinmtmRsin(t+mt), где t - угол между радиусом катящейся окружности, оканчивающимся в точке М, и радиальной осью окружностей, r = mR. При r = R получим кардиоиду.

9. x = (R-mR)cosmt+mRcos(t-mt), y = (R-mR)sinmt-mRsin(t-mt),r=mR. При R = 4r получим астроиду.

§4

1. а)Y=X, Y= X; б) 2Xsint+2Ycostasin2t = 0, Xcost-Ysintacos2t = 0; в) г)Y = a; X = a; д)

2. а) б)

3. а) где- углы, образованные с осьюх касательными, проведенными в концах дуги (см. §3, п.III, задача 4 и рис.16); б)16r; в)9а.

4. а) б)в)

1. а) б)

2. а) б)

6. а) б)в)

8. Гиперболические спирали

9. 

1. 10.

§5

1. (касательная), (бинормаль),(главная нормаль);(нормальная плоскость),(соприкасающаяся плоскость),(спрямляющая плоскость).

2. 

3. Точек спрямления нет.

4. 

6. Винтовая линия

9.

10. Точки спрямления Точки уплощенияпри при

§6

2. 

1. а) где(окружность);

б) где(эвольвента окружности радиуса 1).

4. а) (полукубическая парабола);

б) Если , эволюта - точка, центр данной окружности.

Если то

5. а) (трактриса). (Стандартные параметрические уравнения можно получить перейдя к параметру)

б) (- произвольная

постоянная).

6. Вектор есть мгновенная угловая скорость репера Френе при движении вдоль кривой с единичной скоростью.

8. (логарифмическая спираль).

10. - натуральный параметр точки.

§7

1. а) (1;1); б) где- корень уравненияв)

2. а) (0;0) - точка возврата 2-го рода;

б) - точка самопересечения;

в) (0;0) - изолированная точка.

3. а) б)(прямые, параллельные полярной оси); в).

1. 

2. x=0, y=0.

8. x=0, y=0, пара гипербол

9. 

1. 

§8

1. Положим где- непрерывная на отрезке [a;b] функция, сохраняющая определенный знак. Имеем:откуда , где. Так как производная от функцииравна, то она сохраняет знак на отрезке [a;b], т.е. - монотонная и непрерывная функция t.

2. Пусть , где.

. т.е.получается изповоротом на угол. Обозначим вектор, получающийся изповоротом на, через.

Следовательно,

. Далее:

,

Полагая , находим:

.

Полагаяимеем уравнение. Решая его, находим:Окончательно имеем :

или

где - произвольные числа.

3. а) Имеем: и- параллельны, т.е.тогда; следовательно,

Итак,

и

Умножая обе части последнего равенства скалярно на и учитывая, чтополучим:Так как из соотношенияследует, что, то кривая лежит в плоскости, перпендикулярной вектору. Если ввести в этой плоскости полярную систему координат, совместив полюс с началом радиус-векторов и направляя полярную ось по вектору, найдем:

, т.е. .

б) Окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через начало радиус-векторов коллинеарно вектору , а плоскости этих окружностей перпендикулярны к указанной прямой.

в)Прямые, по которым пересекаются плоскости, перпендикулярные вектору , с плоскостями, проходящими через прямую, проведенную через полюс коллинеарно вектору.

4. Радиус-вектор произвольной точки неподвижной центроиды может быть определен следующими соотношениями:

.

Далее имеем:

Следовательно,

5. Рассмотрим вектор, где.

Если этот вектор отложить от конца вектора , то его конец попадет в мгновенный центр вращения. Проекции векторана векторыисоответственно равны:

и

Поэтому уравнения подвижной центроиды имеют вид:

6. а) Возьмем начало системы координат (не обязательно прямоугольной) в точке с радиус-вектором , а векторыипримем за базисные векторы осейх и y. Тогда параметрические уравнения кривой будут x=t, y=t², т.е. y=x². Следовательно, имеем уравнение параболы. В случае коллинеарности векторов иполучим прямую или полупрямую.

б) Эллипс. В случае коллинеарности векторов и- отрезок прямой.

в) Ветвь гиперболы. В случае коллинеарности векторов и- луч или прямая.

7. Так как пучок проектирующих прямых параллелен плоскости yz, то уравнения проекции будут иметь вид:

Проекция будет иметь особые точки (точки возврата первого рода), если .

8. Уравнение подэры будем искать в виде

Параметр найдем из условия:

Таким образом, .

Так как для винтовой линии

, то:

Искомая подэра лежит на однополостном гиперболоиде, уравнение которого

9. Возьмем уравнение параболы в виде

1. Касательная к параболе в точке имеет уравнение

(1)

Пусть А(0;с) - точка на касательной, проведенной к вершине параболы, тогда

(2)

- перпендикуляр к касательной, проведенный из точки А. Кроме того,

. (3)

Координаты точки пересечения прямых (1) и (2):

. (4)

Исключая из равенств (3) и (4) величины и, получим уравнение искомой подэры:

1. В() - точка на оси параболы, симметричная фокусу. Уравнение трисектрисы

11. Применить теорему Ролля к функции , где- параметризация кривой.

1. 

   Выберем систему координат так, как указано на рисунке, где точка А - вершина циклоиды. Параметрические уравнения циклоиды в данном случае . Скорость падающего тела определяется по формуле, гдеg - ускорение свободного падения. В нашей задаче

,

где исоответствуют точкамикривой.

Отсюда

С другой стороны скорость есть производная путиs по времени Т:

Поскольку для циклоиды , то для определения времени Т получаем дифференциальное уравнение.

Интегрируя его, находим время Т, затрачиваемое материальной точкой на перемещение из точки в точку А:

.

13. За начало радиус-векторов возьмем точку М, ось абсцисс совместим с общей касательной l (см. рисунок).

Пусть кривая имеет параметризацию, гдеs - длина дуги этой кривой, отсчитываемой от точки М. Запишем уравнения кривой относительно репера Френе, взятого в точке М. Подставляя в разложениевыражения, получаем

(1)

Аналогично для кривой

(2)

Если Р - точка на касательной l, близкая к точке М, и перпендикуляр к l, проведенный в точке Р, пересекает кривые в точкахсоответственно, то из уравнений (1), (2) получаем

Поскольку , то.

16. Имеем:

.

Дифференцируя еще раз, получаем требуемое соотношение. Заметим, что в силу приведенных выше равенств, можно считать, что

Если выполнено соотношение

то - постоянный вектор, образующий с векторомугол, косинус которого равен

17. Докажем, что из свойства (1) вытекают свойства (2), (3) и (4).

Пусть кривая удовлетворяет свойству (1), т.е. ее касательная образует постоянный уголс направлением, задаваемым ортом. Тогда, или, что то же самое,.

Дифференцируя полученное равенство по натуральному параметру s, имеем: . Последнее означает, что главные нормали кривой параллельны плоскости, для которой вектор- нормальный. Таким образом, свойство (2) выполняется.

Далее находим: , т.е..Итак, свойство (3) также выполняется.

Наконец, дифференцируя равенство ,

получаем: .

Поэтому ; свойство (4) имеет место.

18. а) . Если А^* - центр кривизны косой окружности в точке А,- кручениев точке А^* . Если - кручениев точке А, то, т.е..

б) Косая окружность .

19. Уравнения кривых Бертрана можно записать в виде

. (1)

Так как иперпендикулярны, то. Из условия компланарности векторовполучаем:

Разделив последнее равенство на, имеем:

(2)

откуда

и, окончательно,

(3)

Обратно. Из (3) следует (2).Подставляя значение из (2) в (1), получаем уравнение искомой линии.

22. Так как расстояние между двумя точками кривой эквивалентно длине дуги между ними, то задача сводится к вычислению кратчайшего расстояния между прямыми

и

где вектор последовательно равен

Кратчайшее расстояние вычислим по формуле

При

откуда

.

т.е. - третьего порядка малости, если. Аналогично можно найти, чтои- первого порядка малости.

25. Если - радиус-векторы точек кривых, то,

где - единичные векторы касательной и нормали кривой. При этом

Отсюда

Следовательно,

Получили натуральное уравнение кривой , которое определяет ее с точностью до положения на плоскости.

26. 

    Выберем в заданной вертикальной плоскости систему координат Oxy, поместив начало координат в заданную точку и направив ось у вертикально вверх (см. рисунок). Тогда параметрические уравнения кривых семейства будут , где- параметр семейства,- ускорение свободного падения. Имеем:

Приравнивая нулю якобиан , получаем, откуда, и параметрические уравнения дискриминанты имеют вид

Исключив , получим

Дискриминанта является огибающей и представляет собой параболу безопасности, ось которой направлена вертикально вниз по оси у, параметр равен , а вершина находится в точке

27.