Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(практика) I часть

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

2.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3834 35 36 37 38 > Следующая >>>

Поскольку при ортогональном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняется, то

det A = det Λ = λ1λ2 .						(7)
Пример 1. Найти каноническое уравнение кривой
11x2 + 8xy +11y2 - 52 = 0 .
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы				æ11		4 ö
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы				A = ç	4	÷
	11- λ			è	4	11ø
и характеристическое уравнение		4	= 0 .
		4
	4	11- λ

Корни характеристического уравнения

(11- λ )2 -16 = 0 Þ11- λ = ±4 Þ λ1 = 7,λ2 =15 .

Решим систему уравнений

( A - λi E)xi = 0,i =1,2.

Для λ = 7 собственный вектор матрицы A есть x1 = (-1;1) , для

λ =15 собственный вектор матрицы A равен x2 = (1;1) .

Т.к.

то соответствующая ортонормированная

система собственных векторов имеет вид:

, x2

x1 = ç

= ç

÷ .

Тогда с помощью ортогонального преобразования

ïx

= -

x¢ +

y¢

ï y =

исходная квадратичная форма определяет каноническое уравнение эллипса

527 (x¢)2 + 1552 ( y¢)2 =1. □

Пример 2. Определить вид, параметры и расположение линии

331

5x2 - 46xy +10x - 286y -154 = 0 .

Решение. Первых два слагаемых левой части уравнения образуют квадратичную форму Q(x, y) = 5x2 - 46xy . Матрица

	æ	5	-2		ö
этой квадратичной формы				6		Корни
	A = ç				÷ .
	ç	-2 6	0		÷
	è				ø

характеристического уравнения

	5 - λ -2			6			= 0 Û λ2 - 5λ - 24 = 0 Þ λ = 8, λ = -3 .
	-2		-λ										1				2
		6											1				2
		6
Найдем собственные векторы матрицы A . Собственный вектор
x1 = col (x11; x12 ), соответствующий										собственному значению λ1 = 8 ,
найдем из системы
æ		5				- 2		öæ x11	ö	æ x11	ö
							6						2		1
							6					1	2	6	1
ç								÷ç ÷ = 8		ç ÷		Û x = -				x .
ç								÷ç ÷ = 8		ç ÷		Û x = -				x .
ç			0					÷ç 1	÷	ç 1	÷	1	3	2
è-2 6			0					øè x2	ø	è x2	ø		3
		æ	-2			ö
Тогда x1		æ	-2		6	ö
Тогда x1		= cç	3			÷ .
		è	3			ø

æ x2 ö

Аналогично, координаты собственного вектора x2 = ç 1 ÷ ,

çè x22 ÷ø

соответствующего собственному значению λ2 = -3 , найдем из системы

-2

æ 1

ç x1

= -3ç x1

Û x2

x2.

-2 6

ç 1

è x2

Имеем x2

= c

÷ .

Ортонормированная система собственных векторов запишется

так:

x1 =

, x2

= ç

÷ .

332

Т.к.

то

помощью

ортогонального

33,

преобразования

ïx = -

y =

x¢ +

y¢

исходное уравнение приводится к виду

y¢ -154 = 0 или

8(x¢)2 -104

x¢ - 3( y¢)2 -102

ö2

x¢ -

- 3ç y¢ +17

÷ - 21 = 0 .

11 ø

Применим преобразование сдвига

¢¢

= y

+17 11, x

= x

- 22 .

Получим уравнение,

являющееся уравнением гиперболы

8(x

¢¢

- 3( y

¢¢

)

( y

¢¢

)

= 21 или в канонической форме

=1.□

)

Пример 3. Определить вид, параметры и расположение линии

Решение.

x2 - 2xy + y2 -12x + 8 = 0 .

Запишем

матрицу

квадратичной

формы

-1

1- λ

-1

= 0 .

A = (-1

1 ) и характеристическое уравнение

-1

- λ

Корни характеристического уравнения

(1- λ )2 -1 = 0 Þ1- λ = ±1Þ λ1 = 0,λ2 = 2 .

Найдем собственные векторы матрицы A . Собственный вектор

æ x1

, соответствующий собственному значению λ1 = 0 , найдем из

x =

è x2

333

(-11

= 0,

÷÷

ïx

- x

Û x11 = x12 .

системы

-11)çç 11

= 0 Û í

= 0,

Имеем

ï-x

+ x

æ1ö

= cç ÷ .

è1ø

æ x2 ö

Аналогично, координаты собственного вектора x2 = ç 1 ÷ ,

çè x22 ÷ø

соответствующего

собственному

значению λ2 = 2 , определяем из

системы

1 -1

æ x1

æ x

ìx2

- x

= 2x2

,Û

(-1 1 )ç

÷ = 2

+ x

= 2x

2 Û x1

= -x2 .

ï-x

Тогда

-1ö

Ортонормированная

система

собственных

x2 = cç

÷ .

1 ø

ç -

векторов: x1

, x2

= ç

÷ .

Тогда с помощью ортогонального преобразования

ïx

x¢ +

y¢

ï y =

исходную квадратичную форму приводим к виду

( y¢)2 - 3

x¢ + 3

y¢ + 4 = 0 .

Выделим полные квадраты:

( y¢)2 + 2 ×

3 2

y¢ +

÷ - 3 2x¢

+ 4 -

= 0

334

ö2

или

ç y¢ +

= 3

ç x¢ +

÷ .

Применим

преобразование

сдвига

y¢¢ = y¢

, x¢¢

= x¢ +

и получим

уравнение,

определяющее

каноническое

уравнение

параболы

( y )

= 3

.□

¢¢

Пример 4. Определить форму и расположение линии

x2 - 2xy + y2 - x + y - 2 = 0 .

Решение. Данное уравнение равносильно следующему:

(x - y)2 - (x - y) - 2 = 0 .

Решая квадратное относительно (x − y)

уравнение, имеем

x − y = 2,

x − y = −1. Получили пару параллельных прямых. □

20.

Упрощение

уравнений

поверхностей

второго

порядка. Напомним, что уравнение поверхности второго порядка имеет вид

a x2 + a y2 + a z2 +			(8)
11	22	33

+2a12 xy + 2a13xz + 2a23 yz + a14 x + a24 y + a34 z + a44 = 0,

где коэффициенты aij ;i = 1,4, j = i, 4 , – вещественные числа и хотя

бы один из коэффициентов a11, a22 , a33 , a12 , a13 , a23 отличен от нуля. Выделим в равенстве (8) квадратичную форму трех

переменных x, y, z:

Q(x, y, z) = a11x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13xz + 2a23 yz

(9)

с матрицей

	æ a11	a12	a13	ö
A =	ç a	a	a	÷	,
	ç 12	22	23	÷
	ç a	a	a	÷
	è 13	23	33	ø
тогда уравнение (8) примет вид
Q(x, y, z) + a14 x + a24 y + a34 z + a44 = 0 .						(10)

Поверхность второго порядка называется центральной,

если det A ¹ 0 , и нецентральной, если det A = 0 .

335

Спомощью ортогонального преобразования приведем

квадратичную

форму

(9)

каноническому

виду

¢ ¢ ¢

где

λ1,λ2 ,λ3

−

корни

Q1 (x , y , z

) = λ1 (x )

+ λ2 (y )

+ λ3 (z )

характеристического уравнения det ( A - λ E ) = 0 .

Тогда уравнение (10) примет вид:

λ1 (x

+ λ2 ( y

+ λ3

¢ ¢

(11)

)

+ a14 x

+ a24 y

+ a34 z

+ a44 = 0 .

Рассмотрим вначале центральные поверхности (det A ¹ 0) .

Так как

det A = det L = λ1λ2λ3 ¹ 0 ,

то,

выделяя полные квадраты в

левой части (11), придем к уравнению

λ1 (x¢¢)2 + λ2 ( y¢¢)2 + λ3 (z¢¢)2 = d1,

(12)

где x′′ = x′ - a1, y′′ = y′ - b1, z′′ = z′ - c1 и a1,b1,c1, d1

- вещественные числа.

Так как λ1λ2λ3 ¹ 0 , то могут быть только две возможности:

1. Все числа λ1,λ2 ,λ3

одного знака. Тогда уравнение (12),

в зависимости от λ1 и d1 (λ1d1 > 0, λ1d1 < 0, d1 = 0) ,

можно привести

к одному из следующих видов:

(x¢¢)2

+ ( y¢¢)2

+ (z¢¢)2

= 1,

(13)

(x¢¢)2

+ ( y¢¢)2

+ (z¢¢)2

= -1,

(14)

(x¢¢)2

+ ( y¢¢)2

+ (z¢¢)2

= 0.

(15)

Уравнение (13) определяет эллипсоид, уравнению (14) не

удовлетворяют

координаты

ни

одной

точки

пространства

(определяет мнимый эллипсоид), уравнению (15) удовлетворяет

только точка с координатами	x′′ = 0, y′′ = 0, z′′ = 0 .
2. Знак одного из этих чисел противоположен знаку двух
других (предположим, что	λ1λ2 > 0 ). Тогда уравнение (12) в

зависимости от λ1 и d1 (λ1d1 > 0, λ1d1 < 0, d1 = 0) можно привести к одному из канонических видов:

(x¢¢)2	+ ( y¢¢)2	- (z¢¢)2	= 1,	(16)
a2	b2	c2

336

(x¢¢)2	+ ( y¢¢)2	- (z¢¢)2	= -1,	(17)
a2	b2	c2
(x¢¢)2	+ ( y¢¢)2	- (z¢¢)2	= 0.	(18)
a2	b2	c2
Уравнения (16), (17), (18) определяют				соответственно

однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид и конус второго порядка.

Рассмотрим теперь нецентральные поверхности (det A = 0) .

Так как det A = λ1λ2λ3 = 0 ,					то, с учетом невырожденности
квадратичной формы (26), одно или два из чисел λ1,λ2 ,λ3										равны
нулю.				¹ 0, a′
1) Пусть	λ3	= 0,	λ1λ2	¹ 0, a′		¹ 0 . Тогда уравнение (11) можно
	λ3		λ1λ2		34
привести к виду			λ1 (x¢¢)2 + λ2 ( y¢¢)2 + μ z¢¢ = 0 .
			λ1 (x¢¢)2 + λ2 ( y¢¢)2 + μ z¢¢ = 0 .							(19)
В случае λ1λ2 > 0 и λ1μ < 0 имеем
				(x¢¢)2	+	( y¢¢)2	= 2z	¢¢	.	(20)
				a2	+	b2	= 2z		.	(20)

Если λ1λ2 < 0 и λ1μ < 0 , то получаем
				(x¢¢)2	-	( y¢¢)2	= 2z	¢¢	.	(21)
				a2	-	b2	= 2z		.	(21)

Уравнения (20) и (21) определяют соответственно эллиптический параболоид и гиперболический параболоид.

2) Пусть λ3 = 0, λ1λ2 ¹ 0, a34′ = 0 . Тогда после преобразований будем иметь уравнение

λ1 (x¢¢)2 + λ2 ( y¢¢)2 +ν = 0 ,

(22)

которое в зависимости от знаков λ1, λ2 и ν приводится к одному из следующих канонических видов:

(x¢¢)2	+ ( y¢¢)2	= 1,	(23)
a2	b2
(x¢¢)2	+ ( y¢¢)2	= -1,	(24)
a2	b2

337

(x¢¢)2	- ( y¢¢)2	= 1,	(25)
a2	b2
(x¢¢)2	- ( y¢¢)2	= -1,	(26)
a2	b2
(x¢¢)2	- ( y¢¢)2	= 0 .	(27)
a2	b2
Уравнение (23) определяет		эллиптический	цилиндр,

уравнению (24) не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства (мнимый эллиптический цилиндр), уравнения (25) и (26) определяют гиперболический цилиндр, уравнение (27) определяет пару пересекающихся плоскостей.

Пусть

λ2

λ3

= 0,

λ1

¹ 0, a′ ¹ 0 . Тогда уравнение

(11)

приводится к виду λ1 (x¢¢)2 + μ y¢¢ = 0 или

(x¢¢)2 = 2 py¢¢ .

(28)

Уравнение (28) определяет параболический цилиндр.

λ2

λ3

= 0 ,

λ1

¹ 0 ,

a′

= 0 . С помощью преобразований

приведем уравнение (11) к виду

λ1 (x¢¢)2 +ν = 0 .

(29)

Взависимости от знаков λ1 и ν уравнение (29) приводится

кодному из канонических видов:

(x¢¢)2 = a2 ,	(30)
(x¢¢)2 = -a2 ,	(31)
(x¢¢)2 = 0 .	(32)

Уравнение (30) определяет пару параллельных плоскостей

x′′ = a, x′′ = -a;	уравнение (32) – пару совпадающих плоскостей
x′′ = 0, x′′ = 0;	уравнению (31) не удовлетворяет ни одна точка

пространства (пара мнимых параллельных плоскостей).

Пример 5. Выяснить геометрический смысл уравнения x2 + y2 + z2 − yz − xz − xy = 0 .

Решение. Умножим данное уравнение на 2:

338

2x2 + 2y2 + 2z2 - 2yz - 2xz - 2xy = 0

или (x - y)2 + ( y - z)2 + (x - z)2 = 0 .

Этому уравнению удовлетворяют координаты только тех точек, для которых выполняются равенства x = y, y = z, x = z .

Таким образом, уравнение определяет прямую x = y = z . □

Пример 6. Привести к каноническому виду уравнение

Решение.

2x2 - y2 - 6x + 4y - 3z = 0 .

Сгруппируем

члены,

содержащие

2(x2 - 3x)- (y2 - 4y) = 3z .

Дополним

до

полных

квадратов

выражения

скобках

получим

(y2 - 4y + 4)

ç x2

- 2 ×

x +

÷ -

= 3z +

- 4

или

ö2

ç x -

÷ - ( y -

= 3ç z +

÷ .

Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за

новое

начало

координат

точку

O¢ç

; 2;

÷ .

Тогда

x = x¢ +

, y = y¢ + 2, z = z¢ -

. Получим уравнение (x¢)2 -

( y¢)2

z¢ ,

определяющее гиперболический параболоид. □

Пример 7. Определить вид, параметры и расположение

поверхности,

заданной

уравнением

2x2 + 3y2 +11z2 - 2xy + 4yz + 6xz = 0 .

Решение.

Данное уравнение

приведем

следующему

виду

(x2 - 2xy + y2 )+ 2(y2 + 2yz + z2 )+ (x2 + 6xz + 9z2 )= 0 или

(x - y)2 + 2( y + z)2 + (x + 3z)2 = 0 .

Этому уравнению удовлетворяют координаты только тех точек,

для которых

выполняются

равенства

x = y, y = −z, x = −3z .

Таким

образом, уравнение определяет точку O(0;0;0) . □

Пример

Определить

каноническое

уравнение

расположение поверхности 2x2 + 4y2 - 8z2 - 4xy + 8yz - 5z + 3 = 0 .

339

Решение. Выделим полные квадраты:

2(x2 - 2xy + y2 )+ 2(y2 +

4yz + 4z2 )

25 ö

-16ç z2

z +

+ 3 = 0

322

2(x - y)

( y + 2z)

5 ö2

217

+ 2

-16ç z

÷ = -

32 ø

Сделаем

замену

= z

Линейное

x - y = x , y + 2z

= y , z + 32

невырожденное преобразование x = x¢ + y¢ - 2z¢

y = y¢ - 2z¢

(x¢)2

( y¢)2

(z¢)2

z = z¢ -

приводит уравнение к виду (17):

217

217 -

= -1,

217

128

1024

которое задает двуполостный гиперболоид.

□

Пример 9. Привести к каноническому виду уравнение

24x2 + 27 y2 - 36z2 - 48xy +12yz +12z - 4 = 0 .

Решение. Выделим полные квадраты:

1 ö

24(x2 - 2xy + y2 )+ 3(y2

+ 4yz + 4z2 )- 48ç z2 -

z +

- 4

= 0 ,

64 ø

24(x - y)

+ 3( y + 2z)

ö2

- 48

ç z -

Сделаем

замену

= z

Линейное

x - y = x , y + 2z = y , z -

невырожденное

преобразование

x = x¢ + y¢ - 2z¢ -

y = y¢ - 2z¢ -

(x¢)2

( y¢)2

(z¢)2

z = z¢ +

приводит уравнение к виду (16):

=1,

192

которое представляет собой однополостный гиперболоид. □

Пример 10. Определить вид, параметры и расположение поверхности, заданной уравнением 14x2 +14y2 - 4xy - 2z +1 = 0 .

Решение. Выделим полные квадраты:

340

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 3834 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016260.1 Кб27Маргарин раздат.doc
#
25.11.20181.61 Mб18Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб4Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб43Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб118Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб111Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб79Материалы для шпор.doc