Математика для инженеров(практика) I часть

17.16x2 - y2 - z2 - 8xy +16yz + 32x + 8y - 64z - 80 = 0 .

18.y2 + 4z2 + 4yz - 7x - 8y − 23z + 27 = 0 .

19.x2 + z2 - 2xz + 2x - 5y + 3z - 4 = 0 .

20.4x2 + 4y2 + 4xz + 8yz −12x − 24y − 20z + 40 = 0 .

21.9x2 + 9y2 - 7z2 - 6xz -18xy + 6yz = 0 .

22.3x2 - 21y2 -11z2 + 32xy - 24yz - 48xz - 60x + 86y +190z -164 = 0 .

23.3x2 - y2 + 3z2 + 8y -16 = 0 . 24. 108x2 - 49y2 - 49z2 -1080x + 2700 = 0 .

251

49.(x - 2)2 + ( y +1)2 = z − эллиптический параболоид. 10 53

50.(x +1)2 - ( y - 3)2 = z + 2 − гиперболический параболоид. 74 72

окружность. 60. 3z = 2x2 + y2 .

252

ГЛАВА 4

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§ 1. Линейное векторное пространство

10. Понятие линейного пространства. Рассмотрим множество V элементов x, y, z,K и множество

действительных чисел. На элементах этих множеств определим операцию сложения (внутреннюю операцию): каждым двум элементам x ÎV , y ÎV поставим в соответствие третий элемент

z ÎV , называемый их суммой z = x + y , и операцию умножения на действительные числа (внешнюю операцию): каждому

1.x + y = y + x – коммутативный закон.

2.(x + y) + z = x + ( y + z) – ассоциативный закон.

3.Существует такой элемент 0 ÎV (называемый нулевым

элементом), что x + 0 = x.

4. Для каждого элемента x ÎV существует такой элемент -x ÎV (называемый элементом, противоположным к элементу x ), что x + (−x) = 0 .

5.Существует элемент 1, называемый единичным, такой, что 1× x = x .

6.(α + β ) x = α x + β x .

7.α (β x) = (α β ) x.

8.α (x + y) = α x +α y .

Множество V , в котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие аксиомам 1 – 8, называется

действительным (вещественным) линейным пространством или действительным (вещественным) векторным

пространством, а его элементы называются векторами.

253

Из определения линейного пространства вытекают следующие свойства:

1)нулевой элемент и вектор, противоположный данному, единственны;

4)α ×0 = 0 для α Î ;

5)−x = (−1) x для x ÎV ;

Пример 1. Показать, что множество всех свободных векторов a = (a1;a2;a3 ) , где a1,a2 ,a3 , для которых определены сложение и умножение вектора на число (см. §2.2) образует линейное

множеству V и любых чисел α, β выполняются аксиомы 1, 2, 5–8. Следовательно, множество V образует линейное пространство

( 3 ). □

Пример 2. Образует ли линейное пространство множество всех алгебраических многочленов степени не выше четырех?

Решение. Рассмотрим множество V всех алгебраических многочленов степени не выше четырех, то есть многочленов вида

254

2.Очевидно, ( f (t) + g(t)) + r(t) = f (t) + (g(t) + r(t)) .

3.Нулевым элементом является многочлен

f (t) = 0 + 0 ×t + 0 ×t2 + 0 ×t3 + 0 ×t4 .

Очевидно, аксиомы 6–8 также выполняются. Таким образом, рассматриваемое множество V образует линейное пространство. □

Пример 3. Пусть x = (x1; x2;...; xn ), y = (y1; y2;...; yn ) ,…–

множество векторов, элементами которых являются действительные числа. Показать, что это множество с введенными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на число, определенных формулами

x + y = (x1 + y1; x2 + y2;...; xn + yn ) , α x = (α x1;α x2;...;α xn )

образует линейное пространство n .

1.x + y = (x1; x2;...; xn ) + (y1; y2;...; yn ) =

=(x1 + y1; x2 + y2;...; xn + yn ) = ( y1 + x1; y2 + x2;...; yn + xn ) = y + x .

2.(x + y) + z = ((x1; x2;...; xn ) + (y1; y2;...; yn )) + (z1; z2;...; zn ) =

=(x1 + y1; x2 + y2;...; xn + yn ) + (z1; z2;...; zn ) =

=(x1 + y1 + z1; x2 + y2 + z2;...; xn + yn + zn ) =

=(x1; x2;...; xn ) + ( y1 + z1; y2 + z2;...; yn + zn ) = x + (y + z).

элементу x = (x1; x2;...; xn ) , т.к.

x+ (-x) = (x1; x2;...; xn ) + (-x1;-x2;...;-xn ) = 0 .

5.1× x = (1× x1;1× x2;...;1× xn ) = x .

6.(α + β ) x = (α + β )(x1; x2;...; xn ) =

255

=((α + β ) x1;(α + β ) x2;...;(α + β ) xn ) =

=(α x1 + β x1;α x2 + β x2;...;α xn + β xn ) = (α x1;α x2;...;α xn ) +

+(β x1;β x2;...;β xn ) = α x + β x.

7.

α (β x) = α (β x1;β x2;...;β xn ) = (αβ x1;αβ x2;...;αβ xn ) = (α β ) x .

8.α (x + y) = α(x1 + y1; x2 + y2;...; xn + yn ) =

=(α (x1 + y1);α (x2 + y2 );...;α(xn + yn )) =

=(α x1 + α y1;α x2 + α y2;...;α xn + α yn ) = α (x1; x2;...; xn ) +

+α (y1; y2;...; yn ) = α x +α y.

Аксиомы 1–8 справедливы, значит, множество всех матрицстолбцов (векторов) образует линейное пространство n . □

непосредственной подстановкой элементов заданного множества в

256

Таким образом, справедливы и аксиомы 3, 4. Значит, множество всех матриц размера (m × n) образует линейное пространство. □

Пример 5. Может ли линейное пространство состоять: 1) из одного вектора; 2) из пяти различных векторов?

Решение. 1) линейное пространство может состоять из одного вектора, если этот вектор нулевой, т.к. только при этом условии будут выполняться аксиомы линейного пространства;

2) линейное пространство не может состоять из пяти различных векторов, т.к. в этом пространстве должны быть и другие векторы

вида α x + β y для любых чисел α, β . □

Пример 6. Образуют ли линейное пространство все векторы плоскости, имеющие общее начало в начале координат и расположенные в III четверти?

Решение. Обозначим через V множество, описанное в условии. Проверим аксиому 4. Векторы, противоположные векторам плоскости, имеющим общее начало в начале координат и расположенным в III четверти, принадлежат I координатной четверти, т.е. не принадлежат множеству V . Значит, V не является линейным пространством.

□

20. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Пусть x1, x2 ,K, xn – элементы линейного пространства V, а α1,α2 ,K,αn – вещественные числа.

257

Вектор y = α1x1 +α2x2 +K+αnxn назовем линейной комбинацией

векторов x1, x2 ,K, xn . Если все αi = 0, i = 1, n , то линейная

комбинация называется тривиальной; если хотя бы одно из чисел αi отлично от нуля, то линейная комбинация называется

нетривиальной.

Система векторов x1, x2 ,K, xn называется линейно зависимой, если существуют числа α1,α2 ,K,αn , не все равные

нулю, такие, что линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору, т. е.

выполняется только в случае αi = 0, i = 1, n , то система векторов

x1, x2 ,K, xn называется ли-

нейно независимой.

Векторы x1, x2 ,K, xn линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.

Пример 7. Показать, что всякая система векторов x1, x2 ,K, xn , содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

(1)получим равенство

α1(1+ 2t + 3t2 + 4t3) + α 2(2 + 3t + 4t2 + 5t3 ) +

+α 3(3 + 4t + 5t2 + 6t3) + α 4(6 + 9t +12t2 +15t3 ) = 0.

258

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t , получаем систему уравнений

ìα1 + 2α2 + 3α3 + 6α4 = 0, ïï2α1 + 3α2 + 4α3 + 9α4 = 0,

íï3α1 + 4α2 + 5α3 +12α4 = 0, ïî4α1 + 5α2 + 6α3 +15α4 = 0.

Легко проверить, что частным решением системы будет:

α 1=1,α 2= -2,α 3=1,α 4= 0.

Значит, x1 - 2x2 + x3 + 0 × x4 = 0 , т. е. указанная система векторов линейно зависима. □

Пример 9. Проверить на линейную зависимость или независимость систему векторов

x1 = (1;3;1;3), x2 = (2;4;2;4), x3 = (3;5;3;5), x4 = (4;6;4;6) .

Решение. Составим линейную комбинацию заданных векторов

Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

ìα1 + 2α2 + 3α3 + 4α4 = 0, ïï3α1 + 4α2 + 5α3 + 6α4 = 0, íïα1 + 2α2 + 3α3 + 4α4 = 0,

ïî3α1 + 4α2 + 5α3 + 6α4 = 0.

Решая эту систему, получаем, например, ее частное решение:

α 1= 2,α 2= -3,α 3= 0,α 4=1.

Тогда 2x1 - 3x2 + 0× x3 + x4 = 0 , т. е. система векторов линейно зависима. □

Два вектора x1 и x2 назовем коллинеарными, если они линейно зависимы, и неколлинеарными, если они линейно

независимы. Три вектора x1 , x2 , x3 называются

259

компланарными, если они линейно зависимы, и некомпланарными, если линейно независимы.

30. Базис и размерность. Линейное пространство называется конечномерным, если существует такое n , что в этом пространстве есть линейно независимая система из n элементов, а любая система из ( n +1)-го элемента линейно зависима. Число n в таком случае называется размерностью пространства. Если такого n не существует, то пространство называется бесконечномерным. Размерность линейного пространства V обозначают dimV . Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считается равной нулю. Таким образом, dimV – это наибольшее возможное количество линейно независимых векторов в пространстве V .

любая упорядоченная система n линейно независимых векторов

этого пространства. Например, базис пространства 3 образует любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов этого пространства.

Cистема n векторов

образует базис пространства n .

Пусть e1,e2 ,...,en –некоторый базис линейного n -мерного

базису e1,e2 ,...,en , а коэффициенты α1,α2 ,K,αn – координатами

260