Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(практика) I часть

.pdf

Скачиваний:

115

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

2.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

базис

e1,e2 ,e3

пространства

3 .

Найти

разложение

вектора

b = (2;3;4)

по этому базису.

Решение. Векторы

a1, a2 ,

линейно независимы.

Построим

ортогональный базис по формуле (5). Принимаем

b1 = a1

(

2;1;

)

-1 .

Вычислим

λ1 = -

(b1 × a2 )

= -

2×1+1× 2 -1×1

= -

. Тогда

(b1 ×b1 )

22 +12 +12

b2 = a2 + λ1b1 = (1;2;1) -

(2;1;-1) =

ç0;

;

÷ .

Для построения вектора b3 найдем числа

(b1 × a3 )

(b2 × a3 )

2×1+1×1-1× 2

2 + 3

λ2 = -

= -

λ3 = - (b2 ×b2 )

= -

= -1 .

(b1 ×b1 )

22 +12 +12

æ 3 ö2

2 ×

Вектор

è 2 ø

b3 = a3 + λ2b1 + λ3b2 = (1;1;2) -

æ 2

(2;1;-1)

-1×ç

;

÷ .

Базис b1, b2 , b3

è 3

является

ортогональным. Пронормируем

каждый из векторов и получим ортонормированный базис:

e =

;

, e

= ç0;

;

÷, e

;

÷ .

6 6

2 2

3 3

6 ø

Найдем разложение вектора

b = (2;3;4)

по этому базису,

т.е.

найдем значения α , α

, α

в разложении

b = α e1

+ α

e2 + α

e3 . Для

этого решим систему уравнений:

α1 +

α2 -

α3 = 2,

α2 +

α3 = 3,

α -

= 4.

Отсюда

281

α1 =						2				3					( 2 +			), α2				= -			1	(-9												+ 8			- 2							), α3					= -						2	+			3			+		4	.
						2				3						2									1								2							3						6													2				3					4
																									6																																		3
								3																																																											3
								3																																																								2			3
											æ																																																								ö

														2 3			(2 +					2 );-				1			(-9																			6 );-						2					3					4
Тогда b = çç														2 3												1								2 + 8							3 -				2									2		+			3			+		4			÷÷ . □

														3												6																											3						2					3
											è			3												6																											3						2					3			ø
							Пример 10. Найти нормированный вектор, ортогональный
векторам x = 3e1 + e2 + e3 − e4 , y =e1 −e2 + e3 +e4, z =e1 −e2 − 2e3 .
							Решение. Будем искать вектор в виде s = (s1;s2;s3;s4 ) . Так как
вектор										s ортогонален													векторам													x,			y,			z ,			то					должны									выполняться
условия
											ì(x,s) = 0,											ì3s + s								2		+ s - s = 0,																	ìs - s + s + s = 0,
											ï											ï			1					2					3				4										ï		1		2						3		4
											í(y, s)				= 0, Û							ís1			- s2 + s3 + s4 = 0, Û																								í4s2 - 2s3 - 4s4 = 0,
											ï				= 0,							ï			- s2 - 2s3 = 0,																								ï				+ s4 = 0.
											î(z,s)				= 0,							îs1			- s2 - 2s3 = 0,																								î3s3				+ s4 = 0.
							Отсюда s											=	s4		, s =						5s4				,s				= -			s4				. Вектор s													нормированный,
							Отсюда s											=			, s =										,s				= -							. Вектор s													нормированный,
															1					6		2						6				3							3
																				6								6				2					2		3				2						2
значит, выполняется условие s																																2		+ s			2		+ s				2		+ s				2		=1. Подставляя сюда
																														1					2						3							4
																								æ s					ö2					æ	5s		4		ö2					æ			s	4	ö2						2 =1 .
s , s					, s				,					получаем												4						+					4				+				-			4				+ s													Отсюда
s , s				2	, s				,					получаем									ç						÷			+		ç					÷		+			ç	-				÷			+ s													Отсюда
1				2	3																		ç						÷					ç	6				÷					ç			3		÷				4
									6														è 6						ø					è	6				ø					è			3		ø
s		= ±							6				.
s		= ±											.
4									66
									66									два				вектора,												удовлетворяющих																				условию												задачи
							Получили											два				вектора,												удовлетворяющих																				условию												задачи
				æ				1						5						2			6					ö							æ				1									5					2								6			ö
s1		= ç										;			;-							;						÷, s				2		= ç -										;	-							;						;-							÷ . □
																																2
								66						66						66			66																66									66					66								66
				è				66						66						66			66					ø							è				66									66					66								66			ø
							Пример								11.						Найти								значения														λ ,				при						которых												векторы
x =e1 + e2 − λe3 + λe4 ,																							y =λe1 +e2 − λe3 + λ e4																												имеют									одинаковые
длины.
							Решение. Найдем длины заданных векторов:

	x		= 1+1+ λ2 + λ2 = 2 + 2λ2 ,																																y		= λ2 +1+ λ2 + λ2 = 1+ 3λ2 .
	x		= 1+1+ λ2 + λ2 = 2 + 2λ2 ,																																y		= λ2 +1+ λ2 + λ2 = 1+ 3λ2 .
							Сравнивая полученные выражения,																																						получаем												λ2 =1.								Отсюда
λ = ±1. □

282

Пример 12. Определить значения параметров α, β , при которых базис, образованный векторами e1¢ =α e1 + (1-α)e2 + 3βe3 , e2¢ =(1-α)e1 + 3β e2 +αe3 , e3¢ =3βe1 +αe2 + (1-α)e3 , является ортонор-

мированным.

Решение. Для того, чтобы базис был ортонормированным необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

ìe1¢e2¢ =0,

1¢

3¢

=0,

ïe

ïe2¢e3¢ =0,

e1¢

e2¢

e3¢

=1,

ìα (1-α ) + 3β =0,

Û í

îïα 2 + (1-α )2 + 9β

ìα(1-α) + (1-α)3β + 3βα =0, ï3βα +α(1-α) + (1-α)3β =0,

Û ïí(1-α)3β + 3βα +α(1-α) =0, Û

ïîα 2 + (1-α)2 + 9β 2 =1,

	ì			1
	ïβ =				α (α -1),
	ïβ =			3	α (α -1),
2	Û í			3
2	=1, ï	2	+ (1-α)			2	+ α	2	(α -1)	2	=1.
	îα		+ (1-α)				+ α		(α -1)		=1.

Отсюда получаем, что базис будет ортонормированным в двух случаях: при α = 0, β = 0 и при α =1, β = 0 . □

Задания для самостоятельной работы

1.Проверить, можно ли в линейном пространстве C[a,b] непрерывных на [a,b] функций определить скалярное

произведение двух векторов f (t), g(t), t Î[a,b] равенством

( f , g ) = ò f (t) g(t)dt .

2.Доказать неравенство Коши-Буняковского.

3.Доказать, что любая система попарно ортогональных ненулевых векторов линейно независима.

4. Пусть A = (aij ), B = (bij )	- квадратные	матрицы порядка n .
	n n
Показать, что формула	( A, B) = ååaijbij	определяет скалярное
	i=1 j=1

произведение в векторном пространстве матриц порядка n .

283

пространстве

паре

векторов

x = (x1; x2 ) ,

y = ( y1; y2 )

поставлено

соответствие

число

(x, y) = x1y1x2 y2 . Является

ли

данное пространство евклидовым?

n , если паре векторов

Является ли евклидовым пространство

x = (x1; x2;...; xn ) ,

y = ( y1; y2;...; yn )

поставить в соответствие число

(x, y) = (x1 + x2 + ...+ xn )( y1 + y2 + ... + yn ) ?

Проверить,

можно

ли

скалярное

произведение

задать

формулой

xy = 3x1y1 + 2x1y2 + 2x2 y1 + 4x2 y2 ,

где

x = (x1; x2 ) ,

y = ( y1; y2 )

векторы

пространства 2 .

Вычислить

скалярное

произведение векторов

x = (2;3), y = (−5;2) .

Доказать,

что

скалярное

произведение

в 2

можно

задать

формулой

xy = ax1y1 + bx1y2 + bx2 y1 + cx2 y2 ,

где

x = (x1; x2 ) ,

y = ( y1; y2 )

в том и только том случае, если одновременно

выполняются неравенства a > 0,

ac > b2 .

евклидовом

пространстве

[

0,1

непрерывных

на

0,1

]

[

]

функций скалярное

произведение

векторов

f (t), g(t), t [0,1]

(

f , g )

определено

равенством

= ò f (t) g(t)dt .

Найти в

этом

пространстве:

1)длину векторов f (t) = t2 , g(t) = et ;

2)	угол между векторами	f (t) =1,	g(t) = et ;
3)	угол между векторами	f (t) = t ,	g(t) = 2t2 −1.	x, y
10.Вычислить скалярное		произведение векторов		x, y	в
ортонормированном базисе:

1)x = (3;2;1), y = (5;6;−1) ;

2)x = (3;−2;1), y = (−2;6;−1) ;

3)x = (4;2;5;8), y = (−4;−3;2;0) .

11.Дано евклидово пространство 4 . Определить угол между векторами x, y этого пространства, если

1) x = (2;1;5;2) и y = (1;4;3;9) ;

284

2)x = (2;0;−4;2) и y = (3;−3;0;4) ;

3)x = (4;8;−2;2) , y = (3;−3;4;4) .

12.В евклидовом пространстве 3 определить угол между векторами x, y , если

1)x = (4;7;−3) и y = (5;3;−2) ;

2)x = (3;5;−3) и y = (3;−4;0) ;

3)x = (4;−3;2) , y = (3;−5;−5) .

13.В случае ортонормированного базиса найти длину вектора x :

1)x = (4;2;−3;1) ;

2)x = (3;0;2;0;1;0;) ;

3)x = (−8;−9;0;4;3) .

14.Показать, что векторы a1 = ( − 3;1;2) , a2 = (2;2;2) ортогональны.

Дополнить	систему	a1, a2	до ортогонального	базиса
в 3 . Найти координаты вектора			b = (−6;6;8) в этом базисе.
15.Дополнить	систему	векторов	a1 = ( −1;1;1) , a2 = (2;2;0) до
ортогонального базиса		в 3 .	Найти координаты	вектора

b= (4;2;−8) в этом базисе.

16.Доказать, что векторы a1 = ( 2;0;1) , a2 = (1;−2;−2) ортогональны.

Дополнить систему

a1, a2

до ортогонального базиса

в 3 . Найти координаты вектора

b = (6;10;−12) в этом базисе.

17.Нормировать вектор

x =e1 +

e2 +

e3 + 2e4 +

e5 ;

x =5e1 − 6e2 + 3e3 + 2e4 − 4e5 ;

x =− 3e1 + 3e2 + 3e3 + 2e4 + 5e5 ;

x =e1 −

e2 + 5e3 + 2e4 −

e5 .

18.Построить по системе линейно	независимых векторов
a1 = ( 3;1;2) , a2 = (1;1;1), a3 = (0;2;3)	ортонормированный базис

e1,e2 ,e3 пространства 3 . Найти разложение вектора b = (4;−3;8) по этому базису.

285

19. Построить

)

по

(

системе

линейно

независимых

векторов

a1 =

(

, a2

3;0;0

)

, a3

(

)

ортонормированный

базис

1;-1;2

1;1;0

пространства 3 . Найти разложение вектора b = (4;7;7)

по этому

базису.

20. Построить

по

системе

линейно

независимых

векторов

a1 =

(

)

(

)

(

-1;0

)

ортонормированный

-1;-2;-1 , a2

0;2;1 , a3 =

базис

пространства

3 . Найти

разложение

вектора b = (−4;0;2)

по

этому базису.

21. Построить

по

системе

(

линейно

независимых

векторов

a1 =

(

)

(

)

ортонормированный

базис

1;1;1 , a2

0;0;1 , a3 =

1;2;0

пространства

3 . Найти

разложение

вектора b = (8;10;−15) по

этому базису.

по

системе

линейно

независимых

векторов

22. Построить

(

a1 =

(

0;0;2

)

, a2 =

)

(

-1;0

)

ортонормированный базис

-2;1;1 , a3

пространства 3 . Найти разложение вектора b = (6;9;12)

по этому

базису.

по

системе

линейно

независимых

векторов

23. Построить

)

(

a1 =

(

, a2

)

(

)

ортонормированный

базис

-1;2;1

0;2;1 , a3

1;1;0

пространства 3 . Найти разложение вектора b = (9;7;2) по этому базису.

24. Доказать, что система векторов x1, x2 , x3 в евклидовом пространстве составляет ортонормированный базис, если

æ 2

= ç

;

, x

;

, x

ç -

;

è 3

= ç

;

, x2

= ç

;

, x3

;

2 2

2 2 2

æ 8

æ 4

= ç

;

, x

;

, x

;

è 9

1 ö

æ 1

1 ö

= ç

;0;

, x

;

, x

= ç

;

2 ø

3 3 ø

6 6 6

= (0;0;1).

= ç

;

= ç

;

÷, x3

286

25.Найти нормированный вектор, ортогональный векторам x = (3;2;1) , y = (0;−1;0) .

26.Найти нормированный вектор, ортогональный векторам x = (0;−3;0) , y = (−2;0;1) .

27.

Найти

нормированный вектор,

ортогональный

векторам

x = (1;1;1;0) ,

y = (0;2;1;−1), z =(2;1;0;0) .

28.

Найти значения λ ,

при которых векторы x =3e1 − 2e2 + λe3 + e4 ,

y =λe1 + 3e2 + e3 + λ e4 имеют одинаковые длины.

[

]

29.В евклидовом пространстве C

[

]

непрерывных на отрезке

0,1

функций

скалярное

произведение

векторов

x, y

определено

равенством

(x, y) = òx(t)y(t)dt .

Определить,

при

каком

ортогональны векторы:

1)x = 2λ, y = 3t −1;

2)x = 4t + λ, y = 6 + 2t ;

3)x = 2λt, y = 3t .

30.Определить значения α, β , при которых базис, образованный

векторами	e1′ =α e1 + e2 + βe3 ,	e2′ =e1 + β e2 +αe3 ,
e3′ =βe1 +αe2 + e3 , является ортонормированным.
31. При каком	значении α векторы	x =3e1 + 2e2 −αe3 и

y =αe1 − 2e2 + 5e3 ортогональны?

32.Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный

базис пространства 3 по известной системе векторов:

1)a1 = (−1;2;1), a2 = (−2;0;3), a3 = (1;1;2) ;

2)a1 = (1;0;1), a2 = (0;1;1), a3 = (2;0;−1) ;

3)a1 = (−1;0;−1), a2 = (1;2;2), a3 = (3;0;1) ;

4)a1 = (5;2;1), a2 = (−1;0;3), a3 = (2;4;1) ;

5)a1 = (3;2;2), a2 = (0;−1;−1), a3 = (2;0;1) ;

6)a1 = (0;0;1), a2 = (0;1;1), a3 = (1;1;2) ;

7)a1 = (3;2;1), a2 = (0;1;0), a3 = (−1;0;−1) ;

287

8)a1 = (4;0;0),a2 = (2;−1;−2), a3 = (1;1;0) ;

9)a1 = (0;0;3), a2 = (0;1;1), a3 = (−2;0;−1) ;

10)a1 = (1;0;1), a2 = (0;1;0), a3 = (2;0;1) .

§ 3. Линейные операторы

10. Основные понятия. Будем говорить, что в линейном

пространстве V	задан	оператор (преобразование) А, если
каждому вектору	x V	по некоторому правилу поставлен в

соответствие вектор A(x) V , называемый образом вектора x .

Оператор А линейного пространства V называется линейным, если для любых векторов x и y из V и для любого действительного числа λ выполняются условия:

A(x + y) = A(x) + A( y), A(λ x) = λ A(x) .

(1)

Линейный оператор называется тождественным и

обозначается E ,

если он преобразует любой вектор x

в самого

себя, т.е. E (x) = x .

Пример 1. Дано V =

и A – квадратная матрица порядка n.

Каждому столбцу

x n

поставлен в соответствие вектор-столбец

Показать,

что

определенный

таким

образом

оператор

Ax .

A: n → n является линейным.

Решение. Проверим выполнение условий (1). На основании

определения умножения матриц получаем:

A(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = A(x) + A( y),

A(λ x) = A(λx) = λ(Ax) = λ A(x).

Условия (1) выполняются, значит, этот оператор является

линейным.□

Пример 2. В n-мерном линейном пространстве V линейный

оператор А переводит базисные векторы

e1,e2 ,K,en

соответственно в

векторы y1, y2 ,K, yn ,

т.

е.

A(ei ) = yi , i =

Для

любого вектора

1,n

x = α e1 + α

e2 +K + α

найти значение A(x) .

Решение. Имеем

288

A(x) = A(α1e1 + α2e2 +K + αnen ) =

= α1 A(e1 ) +K + αn A(en ) = α1 y1 + α2 y2 +K + αn yn ,

т.е. образ любого вектора x V можно выразить через образы

базисных векторов e1,e2 ,K,en . Значит, линейный оператор будет вполне определен, если задать образы базисных векторов данного пространства.

□

Пример 3. Дано линейное пространство векторов 3 . Оператор A заменяет каждый вектор а его проекцией на ось Ox , обозначаемой прОх а. Является ли этот оператор линейным?

Решение. Проверим условий (1). На основании свойств операций над векторами,

A(a + b) = прОх (a + b) = прОхa + прОхb = A(x) + A( y),

A(λ a) = прОх (λa) = λ(прОхa) = λ A(x).

Условия (1) выполняются, значит, оператор является линейным. □

20. Матрица линейного оператора. Пусть А – линейный оператор, переводящий базис {e1,e2 ,K,en} соответственно в

систему векторов y1, y2 ,K, yn . Каждый из векторов последней системы разлагается по базису:

y1 = a e1 + a e2				+K+ a en ,
11		21		n1
y2 = a12e1 + a22e2 +K+ an2en ,
K K K K K K K
yn = a1ne1 + a2ne2 +K+ annen.
Матрицу
æ a11		a12		K a1n	ö
ç a		a	22	K a	÷	(2)
A = ç	21		22	2n	÷ ,	(2)
ç	K	K K K			÷
ç		an2			÷
è an1		an2		K ann ø

i-тый столбец которой состоит из координат вектора	yi ,	i =		,
			1, n
называют матрицей линейного оператора А	в	базисе

{ e1,e2 ,K,en } и обозначают А (для матрицы оператора сохраним то же обозначение, что и для линейного оператора).

289

Ранг r этой матрицы называют рангом линейного оператора, а число n − r – его дефектом.

Таким образом, каждому линейному оператору n-мерного линейного пространства соответствует матрица порядка n в данном базисе и обратно, каждой матрице порядка n соответствует линейный оператор (преобразование) n-мерного линейного пространства.

В частности, матрица А тождественного преобразования в любом базисе n-мерного линейного пространства будет единичной порядка n; любой единичной матрице порядка n соответствует тождественное преобразование n-мерного линейного пространства.

Рассмотрим линейное преобразование n-мерного линейного пространства, заданное в базисе { e1,e2 ,K,en }

матрицей (2). Пусть координаты любого вектора x и его образа y = A(x) известны:

x = x1e1 + x2e2 +K+ xnen ,

y = A(x) = y1e1 + y2e2 +K+ ynen .

Тогда

y1 = a11x1 + a12 x2 +K+ a1n xn , y2 = a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn ,

........................................... ,

yn = an1x1 + an2 x2 +K+ ann xn

или в матричном виде

y = Ax .

(3)

Если имеет место формула (3), то будем говорить, что задано линейное однородное преобразование переменных с

матрицей А, переводящее переменные x1, x2 ,K, xn в переменные y1, y2 ,K, yn . Это преобразование обладает теми же свойствами,

что и линейный оператор n-мерного линейного пространства. Оно называется невырожденным, если det A ¹ 0 .

Пример 4. В n -мерном пространстве V найти матрицы: а) тождественного преобразования E ;

б) преобразования подобия A(x) = α x .

290

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016260.1 Кб26Маргарин раздат.doc
#
25.11.20181.61 Mб18Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб115Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc