Математика для инженеров(практика) I часть
.pdf
характеристическими числами или собственными значениями
матрицы А.
Совокупность всех характеристических чисел матрицы А называется ее спектром, причем каждое характеристическое число входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (6).
Если характеристическое уравнение (6) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.
Пример 17. Определить характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей
A = (24 |
|
|
46). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем собственные векторы и собственные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения |
матрицы |
A . |
|
Для |
этого |
составим характеристическое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 - λ |
|
6 |
|
|
= 0, Þ (4 - λ)2 -12 = 0, Þ λ1,2 = 4 ± 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
4 - λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
æ x1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Собственный вектор |
= |
ç |
1 |
÷ |
, соответствующий собственному |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
ç |
1 |
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è x2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значению λ1 = 4 + 2 |
|
|
|
|
, найдем из системы (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
æ |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
ö |
|
ì |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
æ4 6 |
ö |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
ï4x |
|
+ |
6x |
= (4 + 2 3)x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ç |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
= (4 + 2 3) |
ç 1 |
÷,Û |
í |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
Û x11 = 3x12 . |
|||||||||||||||||||||||||||
è2 4 |
ø |
ç x1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç x1 |
÷ |
|
ï2x1 |
+ 4x1 |
= (4 + 2 3)x1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
è |
2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 |
ø |
|
î |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, где c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда x1 = cç |
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
æ x2 |
ö |
||
Аналогично, |
координаты |
собственного |
вектора |
|
x |
= |
ç 1 |
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç x2 |
÷ , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
ø |
||
соответствующего собственному |
значению λ2 = 4 - 2 |
|
|
|
, найдем из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 6ö |
æ x1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x2 |
ö |
|
|
ì4x2 |
+ 6x2 |
= (4 - 2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
1 |
÷ = |
(4 - 2 3)ç |
1 |
÷ |
|
|
ï |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
,Û í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û |
|
|
|
||||||||||||||||||||
è |
2 4ø |
ç x1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç x2 |
÷ |
|
|
ï2x2 |
+ 4x2 |
= (4 - 2 3)x2 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è |
2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 |
ø |
|
|
î |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û x2 = - |
|
x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
301
Тогда x2 = cæç -1
3 ö÷ .
è ø
Выбирая c =1, получаем два линейно независимых вектора
æ |
|
|
ö |
æ |
- |
|
ö |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
, которые являются собственными векторами |
||||||||||
x1 = ç |
1 |
÷ и x2 = |
ç |
1 |
÷ |
|||||||
è |
ø |
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||
матрицы A .□ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 18. |
|
Определить характеристические числа и собствен- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 2 |
-2 |
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-2 |
6 |
0 |
÷ |
ные векторы линейного преобразования с матрицей A = ç |
÷ . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
0 |
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|||
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения матрицы A :
2 - λ |
-2 |
2 |
|
= 0, Þ λ3 -11λ2 + 28λ = 0,Þ λ1 = 7, λ2 = 4, λ3 = 0 . |
|
|
|||||
-2 |
6 |
- λ |
0 |
|
|
2 |
|
0 |
3 - λ |
|
|
æç x11 ö÷
Координаты собственного вектора x1 = çç x12 ÷÷ , соответствующего
çè x13 ÷ø
собственному значению λ1 = 7 , найдем из системы
æ 2 |
|
|
æ x1 |
ö |
|
æ x1 |
ö |
ì |
|
|
|
-2 2öç 1 |
÷ |
|
ç 1 |
÷ |
1 |
1 |
|||||
ç |
-2 |
6 |
0 |
֍ x1 |
÷ |
= 7 |
ç x1 |
÷ |
ïx |
= -4x , |
|
,Û í |
2 |
3 |
|||||||||
ç |
2 |
0 |
3 |
֍ 2 |
÷ |
|
ç 2 |
÷ |
ïx1 |
= 2x1. |
|
è |
|
|
|
øç x1 |
÷ |
|
ç x1 |
÷ |
î |
1 |
3 |
|
|
|
|
è 3 |
ø |
|
è 3 |
ø |
|
|
|
æ 2 ö
Тогда x1 = cçç -4÷÷ . çè 1 ÷ø
302
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
ç |
1 |
÷ |
|
Аналогично, |
координаты |
собственного |
|
вектора |
= ç x2 |
÷ |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç x2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 = 4 , |
|
|
|
è |
3 |
ø |
|
|||
соответствующего |
собственному |
|
значению |
|
|
получим |
|
из |
|||||||||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x2 |
ö |
|
æ x2 |
ö |
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 2 -2 2öç 1 |
÷ |
|
ç 1 |
÷ |
|
|
2 |
= x |
2 |
, |
|
|
|
|
|
||||
ç |
-2 |
6 0 |
֍ x2 |
÷ |
= 4 |
ç x2 |
÷ |
,Û |
ïx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
í |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ç |
2 |
0 3 |
֍ 2 |
÷ |
|
ç 2 |
÷ |
|
ïx2 |
= 2x2. |
|
|
|
|
|||||
è |
|
|
øç x2 |
÷ |
|
ç x2 |
÷ |
|
î |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 3 |
ø |
|
è 3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 ö
Тогда x2 = cçç1 ÷÷ .
çè 2÷ø
æç x13 ö÷
Координаты собственного вектора x3 = çç x23 ÷÷ , соответствующего
çè x33 ÷ø
собственному значению λ3 = 0 , получим из системы
æ 2 ç-2 çè 2
æ 3 ö
Тогда x3 = cçç 1 ÷÷ .
çè-2÷ø
-2 |
2 |
æ x3 |
ö |
ì |
|
|
|
|
|
öç 1 |
÷ |
|
3 |
= 3x |
3 |
, |
|||
6 |
0 |
֍ x3 |
÷ |
ïx |
|
2 |
|||
= 0,Û í |
1 |
|
|
||||||
0 |
3 |
֍ 2 |
÷ |
ïx3 |
= -2x3. |
||||
|
|
øç x3 |
÷ |
î |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
è 3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
Выбирая |
с =1, |
получаем |
|
три |
|
линейно |
независимых |
|||||||||
собственных |
вектора |
1 |
æ |
2 ö |
, x |
2 |
æ1ö |
, x |
3 |
æ 3 ö |
, которые |
|||||
x |
= ç |
-4 |
÷ |
|
= ç |
1 |
÷ |
|
= ç |
1 |
÷ |
|||||
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
ç |
2 |
÷ |
|
|
ç |
-2 |
÷ |
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|||
являются собственными векторами матрицы A . □
303
Пример 19. Линейное преобразование A состоит в повороте пространства на угол π3 вокруг оси Oy . Найти характеристические
числа и собственные векторы этого преобразования.
Решение. Линейное преобразование A , состоящее в повороте пространства на угол π3 вокруг оси Oy , имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìx = z¢sinα + x¢cosα, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íy = y , |
|
|
¢ |
sinα. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
¢ |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
îz = z |
α - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
ì |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
¢ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ïx |
|
|
|
sin |
|
|
|
cos |
|
, |
ïx = |
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= z |
3 |
+ x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z , |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
2¢ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
íy |
= y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û íy = y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ïz = z¢cos π - x¢sin π , |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
¢ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
ïz |
= - |
|
2 |
|
x |
|
+ |
2 |
z . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||
Матрица этого преобразования A = ç |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
÷ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- |
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
÷ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||||||
Составим характеристическое уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
- λ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
æ 1 |
|
|
ö2 |
(1- λ ) + |
3 |
(1- λ) = 0, Û |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1- λ |
|
|
|
|
0 |
= ç |
|
- λ ÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
- |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
1 |
- λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
æ |
æ 1 |
ö2 |
|
|
3 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Û ç |
ç |
|
|
- λ ÷ |
|
+ |
|
|
|
|
÷(1 |
- λ ) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
è 2 |
ø |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем, что данное линейное преобразование имеет одно характеристическое число λ =1 .
304
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x1 |
ö |
|
|
|
|
|
Собственный вектор x = |
ç x |
÷ |
, соответствующий собственному |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç 2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç x |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 3 |
ø |
|
|
|
|
|
значению λ =1 , найдем из системы (5) |
|
|
|
|
|||||||||||||
æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
æ x |
ö |
|
æ x |
ö |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
ìx |
= x = 0, |
|||||||||
ç |
|
|
|
|
÷ |
1 |
÷ |
=1× |
1 |
÷ |
|||||||
ç 0 |
|
1 0 |
|
÷ |
ç x |
ç x |
, Û í 1 |
3 |
|||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç 2 |
÷ |
|
ç 2 |
÷ |
îx2 |
Î . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç x |
÷ |
|
ç x |
÷ |
|||||
|
3 |
|
1 |
|
|
||||||||||||
ç |
- |
0 |
|
÷ |
è 3 |
ø |
|
è 3 |
ø |
|
|
||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
æ0ö
Тогда x = cçç1÷÷ . Принимая c =1, единственным вектором
çè0÷ø
æ0ö
преобразования A является вектор x = çç1÷÷ .□
çè0÷ø
Пример 20. Зная характеристические числа линейного невырожденного преобразования A , определить характеристические
числа обратного преобразования A−1 ?
Решение. Пусть A и A−1 - взаимно обратные линейные преобразования, λ - собственное значение преобразования A , а x − собственный вектор этого преобразования с собственным значением
λ .
Преобразование |
A , имеющее обратное преобразование A−1 , |
|||||||
является невырожденным и λ ¹ 0 . Т.к. |
A и A−1 - взаимно обратные, |
|||||||
то A−1A(x) = x . С другой стороны |
|
|
|
|
||||
|
|
A−1A(x) = A−1 ( A(x)) = A−1 (λx) = λ A−1 (x) . |
|
|||||
Из |
этих равенств следует, что |
λ A−1 (x) = x, x ¹ 0 , |
отсюда |
|||||
A−1 (x) = |
1 |
x, λ ¹ 0 . |
Следовательно |
x − собственный |
вектор |
|||
|
||||||||
|
λ |
|
|
1 |
|
|
||
преобразования A−1 |
с собственным значением |
. Таким образом, |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
||
305
собственные значения взаимно обратных линейных преобразований взаимно обратны. □
60. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Рассмотрим линейное преобразование линейного пространства V с матрицей А.
Матрица А имеет диагональный вид
æλ1 |
0 |
K |
0 |
ö |
|
|
ç |
0 |
λ2 |
K |
0 |
÷ |
|
A = L = ç |
÷ . |
(7) |
||||
çK K |
K K ÷ |
|
||||
ç |
0 |
0 |
|
|
÷ |
|
è |
K λn ø |
|
||||
тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этой матрицы.
Матрица А называется приводимой к диагональному виду,
если существует такая невырожденная матрица Т, что матрица
А% = T −1AT = L , т.е. A% имеет вид (7), где λ1,λ2 ,K,λn – характеристические числа матрицы А.
Матрица А линейного оператора n-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис В этого пространства, состоящий из собственных векторов матрицы А.
Если все собственные числа матрицы А попарно различны, то матрица приводится к диагональному виду.
Пример 21. |
Определить невырожденную матрицу T , |
|||
приводящую матрицу |
A = |
æ5 |
2 |
ö |
ç |
8 |
÷ к диагональному виду. |
||
|
|
è 2 |
ø |
|
Решение. Найдем собственные векторы и собственные |
||||
значения матрицы |
A . |
Для |
|
этого составим характеристическое |
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
5 - λ |
2 |
|
= 0, Þ λ2 -13λ + 36 = 0, Þ λ = 9, λ = 4 . |
|
|
|
||||
|
2 |
8 - λ |
|
1 |
2 |
æ x1 ö
Координаты собственного вектора x1 = ç 1 ÷ , соответствующего
çè x12 ÷ø
собственному значению λ1 = 9 , найдем из системы (5):
306
5 2 |
æ |
1 |
ö |
|
æ |
1 |
ö |
ì |
1 |
1 |
1 |
, |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
ç |
x1 |
÷ |
|
ç |
x1 |
÷ |
ï5x1 |
+ 2x2 |
= 9x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
,Û í |
1 |
1 |
1 |
|
Û x2 = 2x1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
(2 8)ç |
÷ |
= 9ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
è |
x |
ø |
|
è |
x |
ø |
ï2x |
+ 8x |
= 9x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
î |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
æ1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда x1 = cç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
æ x2 |
ö |
|
Аналогично, |
координаты |
|
собственного |
вектора |
x |
= |
ç 1 |
÷ |
, |
||||||||||||
|
|
ç x2 |
÷ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
ø |
|
соответствующего собственному значению λ2 = 4 , найдем из системы
|
|
|
æ5 2ö |
æ |
x |
2 |
ö |
|
æ |
x |
2 |
ö |
|
ì |
|
2 |
|
+ 2x |
2 |
= 4x |
2 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
÷ = 4ç |
|
|
,Û |
ï5x |
|
|
|
|
|
|
Û x12 = -2x22 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
1 |
|
1 |
÷ |
í |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
è2 8ø |
ç x |
2 |
÷ |
|
|
|
ç x |
2 |
÷ |
|
ï2x2 |
+ 8x |
2 |
= 4x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
2 |
ø |
|
è |
|
|
2 |
ø |
|
î |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
-2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда x2 = cç |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
1 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Выбирая |
|
|
|
с =1, |
|
|
|
получаем |
|
|
|
два |
|
|
|
|
линейно |
независимых |
|||||||||||||||||||||||||
собственных |
вектора |
|
1 |
|
|
æ |
1ö |
|
2 |
= |
æ -2 |
ö |
|
|
|
Составляем матрицу |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
= ç |
÷, x |
|
ç |
|
÷ . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2ø |
|
|
|
|
|
è 1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T = |
æ1 |
-2ö |
|
(ее столбцами служат собственные векторы матрицы А). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
1 |
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
|
|
|
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Находим T − |
|
= ç |
|
2 |
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
1 ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç - |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
5 ø |
T −1AT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Убедимся, что матрица |
|
|
|
имеет диагональный вид (7). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
æ |
1 |
|
|
2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
9 |
18 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
æ5 2öæ |
1 -2ö |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
æ1 -2ö æ |
9 0ö |
||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
T −1AT = ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
֍ |
|
|
|
|
÷ |
= ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
2 1 |
÷ = ç |
÷ . □ |
||||||||||||||||||||
|
|
ç |
- |
2 1 |
|
÷ |
è |
2 8øè |
2 1 ø |
|
ç |
- |
8 4 |
|
֏ |
ø è |
0 4ø |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пример 22. Привести матрицу |
|
|
|
|
æ1 1 3ö |
к диагональному |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A = ç |
1 |
|
5 |
1 |
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
|
1 |
1 |
÷ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
||||||||
виду.
307
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем собственные векторы и собственные значения матрицы A :
|
1- λ |
1 |
3 |
|
= 0, Þ λ3 - 7λ2 + 36 = 0 ,Þ λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = -2 . |
|
|
||||
|
1 |
5 - λ |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
1- λ |
|
|
æç x11 ö÷
Координаты собственного вектора x1 = çç x12 ÷÷ , соответствующего
çè x13 ÷ø
собственному значению λ1 = 3 , найдем из системы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x1 |
ö |
æ x1 |
ö |
ì |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
æ1 1 3öç |
1 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
1 |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç1 5 1 |
÷ |
ç x1 |
÷ |
= 3ç x1 |
÷ |
ïx |
= -x , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
,Û í |
2 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 1 1 |
÷ |
ç |
2 |
÷ |
ç |
2 |
÷ |
ïx1 |
= x1. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
ç x1 |
÷ |
ç x1 |
÷ |
î |
1 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3 |
ø |
è |
3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
1 |
|
|
ç |
|
÷ |
. Аналогично, |
|
координаты |
собственного |
||||||||||
|
x |
= cç |
-1÷ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
1 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ x2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вектора x2 |
ç |
|
1 |
÷ |
|
соответствующего собственному значению λ = 6 , |
||||||||||||||||
= ç x2 |
÷ |
, |
||||||||||||||||||||
|
ç |
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ç x2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
è |
|
3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 1 3ö |
æ x2 |
ö |
æ x2 |
ö |
ì |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
2 |
2 |
, |
|||||||
получим из системы ç |
1 |
5 1 |
÷ |
ç x2 |
÷ = 6 |
ç x2 |
÷,Û |
ïx2 |
= 2x3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
2 |
÷ |
ç |
2 |
÷ |
í |
|
= x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 1 1 |
÷ |
|
|
ïx2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
ç x2 |
÷ |
ç x2 |
÷ |
î |
1 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3 |
ø |
è |
3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда x |
2 |
|
|
ç |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= cç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
308
æç x13 ö÷
Координаты собственного вектора x3 = çç x23 ÷÷ , соответствующего
çè x33 ÷ø
собственному значению λ3 = -2 , получим из системы
|
|
|
|
|
æ |
1 1 3ö |
æ x3 |
ö |
|
|
æ x3 |
ö |
|
|
ì |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
3 |
= 0, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ç |
1 5 1 |
÷ |
ç x3 |
÷ = -2 |
ç x3 |
÷,Û |
ïx2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
2 |
÷ |
|
|
ç |
2 |
÷ |
|
|
í |
|
= -x3. |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 1 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ïx3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
è |
ø |
ç x3 |
÷ |
|
|
ç x3 |
÷ |
|
|
î |
1 |
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
3 |
ø |
|
|
è |
3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ -1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда x |
3 |
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= cç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбирая |
|
с =1, |
|
получаем |
|
три |
|
линейно |
независимых |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 ö |
|
|
|
æ |
1 |
ö |
|
|
æ |
-1ö |
|
|||
собственных |
|
|
|
вектора |
|
1 |
|
ç |
|
÷ |
, x |
2 |
|
ç |
2 |
÷ |
, x |
3 |
ç |
0 |
÷ |
Составляем |
||||
|
|
|
|
x |
= |
ç |
-1÷ |
|
= ç |
÷ |
|
= ç |
÷ . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|||
|
æ 1 |
1 |
-1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
матрицу T = |
ç |
-1 |
2 |
|
0 |
÷ |
(ее столбцами служат собственные векторы |
|||||||||||||||||||
ç |
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
1 |
1 |
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
матрицы А).
æ 2 -2 2ö
Находим T −1 = 16 çç 1 2 1÷÷ .
çè -3 0 3÷ø
|
Убедимся, |
что |
матрица |
T −1AT |
имеет |
|
диагональный вид. |
|||||||||||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−1 |
|
1 |
æ 2 -2 2 |
ö æ1 |
1 |
3öæ |
1 |
1 |
-1ö |
|
æ3 |
0 |
0 ö |
. □ |
|||||||||
T |
AT = |
ç |
1 |
2 |
1 |
÷ ç |
1 |
5 1 |
֍ |
-1 2 |
0 |
÷ |
= |
ç |
0 |
6 |
0 |
÷ |
||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
6 |
ç |
÷ ç |
֍ |
÷ |
ç |
÷ |
|||||||||||||||||
|
|
|
è |
-3 0 |
3 |
ø è |
3 |
1 |
1 |
øè |
1 |
1 |
1 |
ø |
|
è |
0 |
0 |
-2 |
ø |
|
|||
|
Пример 23. |
Найти преобразование T , приводящее матрицу |
|||
æ |
5 |
-2 |
-1 |
ö |
к диагональному виду. Записать этот вид. |
A = ç |
-2 |
2 |
-2 |
÷ |
|
ç |
-1 |
-2 |
5 |
÷ |
|
è |
ø |
|
|||
309
|
|
Решение. Найдем собственные векторы и собственные |
||||
значения |
матрицы |
|
A . Для этого составим характеристическое |
|||
уравнение: |
|
|
|
|||
|
5 - λ |
-2 |
-1 |
|
= 0, Þ λ3 -12λ2 + 36λ = 0, Þ λ1 = 0, λ2 = λ3 = 6 . |
|
|
|
|||||
|
-2 |
2 |
- λ -2 |
|
||
|
-1 |
-2 |
5 - λ |
|
|
|
æç x11 ö÷
Координаты собственного вектора x1 = çç x12 ÷÷ , соответствующего
çè x13 ÷ø
собственному значению λ1 = 0 , найдем из системы
æ 5 -2 |
|
æ x1 |
ö |
|
æ x1 |
ö |
ì |
|
|
||
-1öç 1 |
÷ |
|
ç 1 |
÷ |
1 |
1 |
|||||
ç |
-2 2 -2 |
֍ x1 |
÷ |
= 0 |
ç x1 |
÷ |
ïx |
= 2x , |
|||
,Û í |
2 |
3 |
|||||||||
ç |
-1 |
-2 |
5 |
֍ 2 |
÷ |
|
ç 2 |
÷ |
ïx1 |
= x1. |
|
è |
|
|
|
øç x1 |
÷ |
|
ç x1 |
÷ |
î |
1 |
3 |
|
|
|
|
è 3 |
ø |
|
è 3 |
ø |
|
|
|
æ1 ö
Тогда x1 = cçç 2÷÷ .
çè1 ÷ø
Найдем теперь собственные векторы, соответствующие λ2 = λ3 = 6 . Система для нахождения их координат следующая:
|
æ |
5 -2 -1ö |
æ x |
2 |
ö |
æ x2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ç |
1 |
÷ |
ç 1 |
÷ |
|
= -2x2 - x2. |
|
|
||||||||
|
ç-2 2 |
-2 |
÷ |
ç x |
2 |
÷ |
= 6ç x2 |
÷,Û x2 |
|
|
|||||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||
|
è |
-1 -2 5 |
ø |
ç |
|
2 |
÷ |
ç |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç x |
|
÷ |
ç x |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3 |
ø |
è 3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
||
Полагая x2 |
= c , x2 |
= c |
2 |
имеем |
x |
= -2c - c . |
|
Получаем |
|||||||||
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ-2c1 - c2 |
ö |
|
двухпараметрическое семейство собственных векторов |
ç |
c |
÷ , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
c2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
где c 2 |
+ c 2 |
¹ 0 . |
Из |
этого |
семейства |
выделим |
два |
линейно |
|||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 =1,c2 = 0 , |
|
|
|
||
независимых вектора. Положив, например, |
будем иметь |
||||||||||||||||
310