Математика для инженеров(практика) I часть
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
b |
= |
2 |
|
|
, a2 = |
25b2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из уравнений асимптот имеем: |
3 |
. Подставим |
||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
12 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a2 и координаты точки M в уравнение гиперболы: |
|
92 |
|
- |
12×102 |
=1. |
||||||||||||||||||||
|
b2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
275 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25b2 |
|||||||
Откуда b2 = 33, a2 = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||
Окончательно получаем уравнение гиперболы |
|
- |
|
|
=1 . □ |
|||||||||||||||||||||
33 |
275 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Пример 16. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой |
||||||||||||||||||||||||||
находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса |
|
x2 |
|
+ |
y2 |
|
=1. |
|||||||||||||||||||
12 |
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вершины эллипса, принадлежащие оси Ox , имеют |
||||||||||||||||||||||||||
координаты (-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3;0), (2 3;0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислим |
для эллипса c2 = a2 −b2 =12 −8 = 4, |
откуда |
|
c = ±2 . |
Поэтому координаты его фокусов (−2;0), (2;0) . Эти точки должны
быть вершинами гиперболы. Значит фокусы гиперболы лежат на оси Ox и, по условию, совпадают с вершинами эллипса.
Тогда для гиперболы: a = 2, c = 23 , b2 = c2 - a2 =12 - 4 = 8.
Искомое уравнение гиперболы имеет вид x2 - y2 =1 . □
4 8
Пример 17. Найти уравнение множества точек, равноотстоящих
от |
окружности |
x2 + y2 + 4x = 0 |
и от точки |
B(2;0) . |
|
Решение. |
Перепишем |
уравнение окружности в виде
(x + 2)2 + y2 = 4 . Это |
окруж- |
|
ность с |
центром в |
точке |
A(−2;0) и |
радиусом |
R = 2 |
(рис. 7).
Очевидно, расстояние от
191
Рис. 7 |
некоторой точки M (x; y) иско- |
мого множества до окружности равно разности расстояний AM от этой точки до центра окружности и радиуса AN самой окружности,
т.е. (x + 2)2 + y2 - 2 .Расстояние между точками M и B равно
(x - 2)2 + y2 .
Таким образом, согласно условию задачи получаем уравнение
(x + 2)2 + y2 - 2 = (x - 2)2 + y2 ,
которое после возведения в квадрат равносильно следующему: (x + 2)2 + y2 = (x - 2)2 + y2 + 4(x - 2)2 + y2 + 4 ,
2x -1 = (x - 2)2 + y2 , (2x -1)2 = (x - 2)2 + y2 , 3x2 - y2 = 3 .
Искомое уравнение x2 - |
y2 |
=1. Оно описывает гиперболу с |
|
||
3 |
|
действительной полуосью a =1 и мнимой – b = 3 . □
Фокальными радиус-векторами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами гиперболы. Длины фокальных радиус-векторов точки правой ветви гиперболы вычисляются так: r1 = ε x − a
(правый фокальный радиус-вектор), |
r2 = ε x + a (левый фокальный радиус- |
|||||
вектор). |
|
|
||||
|
|
|
Длины фокальных радиус-векторов точки левой части гиперболы: |
|||
r1 = −ε x + a (правый |
фокальный |
радиус-вектор), r2 = −ε x − a (левый |
||||
фокальный радиус-вектор). |
|
|||||
|
|
|
Пример 18. |
Найти фокальные радиус-векторы гиперболы |
||
|
x2 |
- |
y2 |
=1 в точках пересечения ее с окружностью 2x2 + 2y2 = 255 . |
||
25 |
|
|||||
16 |
|
|
|
Решение. Найдем точки пересечения гиперболы и окружности из системы:
ì |
x |
2 |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
ì |
2 |
|
|
|
|
ï |
|
|
- |
|
|
=1, |
|
ï y |
|
= 40, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|||||||||
í25 |
|
16 |
|
|
|
í |
2 |
|
175 |
|
|||||||
ï |
|
|
2 |
+ 2y |
2 |
= 255 |
|
ïx |
|
= |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
î2x |
|
|
|
|
î |
|
|
|
Получили точки
192
æ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
æ |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö æ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö æ |
|
5 |
|
|
|
ö |
||||||||||||||
14 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
;2 10 ÷, |
|
ç |
- |
|
|
|
|
;2 10 |
÷, |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;-2 10 ÷ |
, ç |
- |
|
|
;-2 10 |
÷ . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
2 |
|
÷ |
|
ç |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
2 |
|
|
÷ |
||||||||||||||||||||||
è |
|
ø è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø è |
|
|
|
ø |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Найдем ε = |
|
|
|
= |
|
|
|
25 +16 |
|
= |
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
;±2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Для точек |
|
|
10 |
|
правой ветви гиперболы получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
× |
5 |
|
|
- 5 » 6,98 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
5 |
|
|
|
|
+ 5 »16,98 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
r = |
41 |
14 |
|
r |
= |
|
|
|
41 |
14 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
14 |
|
;±2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Аналогично, для точек |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 ÷ |
левой части гиперболы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем
r1 = - 541 × 5 214 - 5 » -16,98 , r2 = - 541 × 5 214 + 5 » -6,98. □
40. Парабола и ее каноническое уравнение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F , называемой фокусом, и от данной прямой L , называемой директрисой.
Уравнение параболы, изображенной на рис. 8, имеет вид
|
|
|
y2 = 2 px . |
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
Величина p называется параметром параболы. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Уравнение |
|
|
(8) |
|
|
называется |
||
|
|
|
каноническим |
уравнением |
|
|
параболы. |
||||
|
|
|
Точка О называется вершиной параболы, |
||||||||
|
|
|
ось симметрии (ось Ох)– осью параболы. |
||||||||
|
|
|
Уравнение |
|
директрисы |
параболы |
|||||
|
|
|
имеет вид |
x = − |
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эксцентриситетом |
p |
|
параболы |
|||||
|
|
|
называют |
отношение |
ε = |
, где d – |
|||||
|
|
|
d |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
расстояние от точки гиперболы до |
||||||||
|
|
|
директрисы. Для любой параболы ε = 1 . |
||||||||
|
|
|
Уравнение |
|
|
|
касательной, |
||||
|
Рис. 8 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
проходящей через |
некоторую точку |
|||||||
|
|
|
(x0; y0 ) параболы, имеет вид
193
yy0 = p(x + x0 ) .
Парабола, уравнение которой y2 = −2 px, p > 0 , расположена слева от оси ординат (рис. 9а)). Ее вершина совпадает с началом координат О, осью симметрии является ось Ох. Уравнение x2 = 2 py, p > 0 , является
уравнением параболы с вершиной в точке О и осью симметрии Оу (рис.9б)). Такая парабола
Рис. 9а) |
Рис. 9б) |
Рис.9в) |
лежит выше оси абсцисс. |
Уравнение |
x2 = −2 py, p > 0 , определяет |
параболу, которая лежит ниже оси Ох, с вершиной в точке О и осью симметрии Оу (рис. 9в)).
Пример 19. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, проходящей через точку М(5;2) и симметричной относительно оси Оу.
Решение. Подставляя координаты точки M в уравнение x2 = 2 py ,
находим p = 254 . Значит, уравнение искомой параболы 2x2 = 25y . □
Пример 20. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей
на биссектрисе I и III координатных углов хорду длиной 42 . Решение. Так как парабола симметрична относительно оси Оу,
то будем искать ее уравнение в виде x2 = 2 py либо x2 = -2 py . Уравнение биссектрисы I и III координатных углов имеет вид
y = x .
Тогда парабола x2 = 2 py будет пересекать эту прямую в точках (0;0), (x0; x0 ) . Длина хорды между этими точками x0 2 . По условию,
x0 2 = 42 , откуда x0 = 4 .
Подставим координаты точки (4;4) в уравнение параболы: 42 = 2 p × 4 . Тогда p = 2 . Уравнение искомой параболы x2 = 4y .
194
|
Проводя |
аналогичные |
рассуждения |
|
|
|
для |
|
|
|
параболы |
||||||||||||||||||||
x2 = -2 py получим еще одно уравнение x2 = -4y . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример 21. |
На параболе |
y2 = 7x найти точку, |
расстояние от |
|||||||||||||||||||||||||||
которой до директрисы равно 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. Так как для данной параболы p = |
|
, то уравнение ее |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
директрисы x = - |
. Координаты каждой точки параболы имеют вид |
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
æ y2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||
M ç |
|
; y ÷ . Тогда расстояние от M до директрисы равно |
|
|
+ |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
è 7 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Таким образом, имеем уравнение |
+ |
= 5 , откуда y = ± |
91 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
4 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
ö |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
91 |
91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Искомые точки имеют координаты ç |
|
; |
÷, |
ç |
|
; |
- |
91 |
÷ . |
□ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
28 |
|
2 |
÷ |
ç |
|
28 |
|
|
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пример 22. На параболе y2 =16x найти точку, расстояние от ко- |
||||||||||||||||||||||||||||||
торой до прямой 2x + 3y + 5 = 0 равно 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. Возьмем произвольную точку (x; y) |
на параболе. Тогда |
ее координаты удовлетворяют уравнению y2 =16x . Расстояние от нее до
заданной прямой: |
d = |
2x |
+ 3y + |
5 |
= |
2x + |
3y |
+ 5 |
. |
Согласно |
условию, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
получаем систему |
|
|
22 + 32 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ìy2 |
=16x, |
ìy2 |
=16x, |
ì |
|
2 |
=16x, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïy |
|
|
|
|
|
|||||
í |
|
Û í |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Û í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ï |
2x + |
3y |
+ 5 |
= 3 |
ï2 |
y |
|
|
+ 3y + 5 = 3 13 |
|
ïy2 |
+ 24y + 40 - 24 13 = 0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
î |
|
13 |
|
î 16 |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Отсюда находим приближенные координаты искомых точек |
|||||||||||||||||||||||||
(0,2;1,8), (41,6;−25,8) . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Фокальным радиус-вектором точки параболы |
y2 = 2 px |
называется |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ p |
ö |
|
|
|
|
отрезок, соединяющий эту точку и фокус параболы F ç |
|
;0÷( p > 0) . Длина |
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
ø |
|
|
|
195
фокального радиус-вектора точки параболы определяется по формуле r = x + 2p ( p > 0) .
Пример 23. Определить угол α между фокальным радиусом точки М(4;3) параболы, проходящей через эту точку, с вершиной в начале координат, симметричной
|
|
|
|
относительно оси Ox , и осью Оу. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. |
Подставляя |
в |
|||||||||||
|
|
|
|
формулу (8) координаты точки M , |
||||||||||||||
|
|
|
|
получим |
уравнение |
|
параболы |
|||||||||||
|
|
|
|
y2 = |
9 |
x . |
|
Фокус |
|
параболы |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
æ 9 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
||||||
|
|
|
|
находится в точке F ç |
|
|
;0÷ . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è16 |
ø |
|
|
||||||
Рис. 10 |
|
|
|
Уравнение фокального радиус- |
||||||||||||||
вектора точки M , т.е. отрезка, проходящего через эту точку и фокус F |
||||||||||||||||||
(рис. 10), имеет вид |
16x - 9 |
= |
y |
, или, окончательно, y = |
|
48 |
x - |
27 |
. |
|||||||||
55 |
3 |
55 |
55 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox равен |
. Тогда угол между |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|||
фокальным радиусом точки М |
и осью Ox равен |
arctg |
|
, а между |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
фокальным радиусом точки М и осью Oy − π2 - arctg 5548 . □
Задания для самостоятельной работы
1.Составить уравнение окружности, с центром в точке (5;−7) и проходящей через точку (6;−1) .
2.Составить уравнение окружности, с центром в точке (3;−5) и проходящей через точку (2;0) .
3.Составить уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты: а) (3;−1) и (0;3) ; б) (7;−3) и (5;−3) .
4.Составить уравнение окружности, диаметром которой является
отрезок прямой 3x + 2y −1 = 0 , заключенный между осями координат.
196
5. |
Найти |
координаты |
точек |
пресечения |
окружности |
|
|
x2 |
+ y2 − 8x − 2y − 8 = 0 с осями координат. |
|
|||
6. |
Найти |
координаты |
точек |
пресечения |
окружности |
|
|
x2 |
+ y2 + 4x + y −12 = 0 |
с биссектрисой первой |
и третьей |
||
|
четвертей. |
|
|
|
|
|
7. |
Найти |
координаты |
точек |
пресечения |
окружности |
|
|
x2 |
+ y2 −10x = 0 и прямой 7x + y =10 . |
|
8.Составить уравнение окружности, проходящей через точки
A(3;6), B(9;0), C(−1;−10) .
9.Составить уравнение окружности, проходящей через точки
A(−1;8), B(3;4), C(−5;−4) .
10.Составить уравнение окружности, описанной около треугольника,
сторонами которого являются прямые x − 6y + 26 = 0 , x + y − 9 = 0, x − y +11 = 0 .
11. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, сторонами которого являются прямые x + y −12 = 0 ,
2x − y + 9 = 0, x − y = 0 .
12.Составить уравнения окружностей, касающихся оси абсцисс в точке A(4;0) и имеющих радиус 5.
13.Составить уравнения окружностей, касающихся оси ординат в точке B(0;6) и имеющих радиус 4.
14.Составить уравнения окружностей, касающихся оси ординат и проходящих через точки (5;−1), (10;4) .
15.Составить уравнения окружностей, касающихся оси абсцисс и проходящих через точки A(1;2) и B(3;4) .
16.Составить уравнения окружностей, касающихся осей координат и проходящих через точку M (10;5) .
17.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(10;4), B(8;−6) и имеющей центр на оси абсцисс.
18.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(4;2), B(−5;3) и имеющей центр на оси ординат.
19.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(3;3), B(2;4) , если ее центр лежит на прямой 2x − y + 4 = 0 .
20.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(3;2), B(−1;−6) , если ее центр лежит на прямой, пересекающей
оси координат в точках (2;0), (0;−4) .
197
21.Составить уравнение окружности, с центром в точке (−2;2) , если она касается прямой 6x + 2y + 68 = 0 .
22.Составить уравнение окружности, проходящей через начало
координат и отсекающей на осях Ox, Oy соответственно отрезки
4, –8.
23. Найти координаты центра и радиусы окружностей:
а) |
x2 + y2 − 8x −10y − 6 = 0 ; б) x2 + y2 − 4x + 4y + 4 = 0 ; |
||||
в) |
x2 + y2 + 8x −12y + 3 = 0 . |
|
|
||
24. Найти |
расстояние |
между |
центрами |
окружностей |
x2 + y2 −10x +16y + 80 = 0 и x2 + y2 + 6x + 4y −12 = 0 .
25.Составить уравнение прямой проходящей через центры окружностей x2 + y2 − 2x + 3y − 4 = 0 и x2 + y2 − x + y − 3 = 0 .
26. В окружности x2 + y2 − 4x +12y + 4 = 0 диаметр образует угол
60o с положительным направлением оси абсцисс. Составить уравнение диаметра.
27.В окружности x2 + y2 − 2x + 6y + 2 = 0 диаметр образует равные
углы с положительными направлениями осей координат. Составить уравнение диаметра.
28. |
Дана |
окружность |
x2 |
+ y2 |
− 8x − 2y + 4 = 0 . Составить уравнение |
|
диаметра, перпендикулярного прямой x − 5y −12 = 0 . |
||||
29. |
Дана |
окружность |
x2 |
+ y2 |
+ 8x + 2y + 4 = 0 . Составить уравнение |
|
диаметра, параллельного прямой x + y +1 = 0 . |
30.Составить уравнение радиуса, проведенного в точке (−9;−2) окружности x2 + y2 − 6x +14y −111 = 0 .
31.Составить уравнение касательной, проведенной в точке (−12;11) окружности x2 + y2 + 2x −10y −131 = 0 .
32.Составить уравнение общей хорды двух пересекающихся окружностей:
а) x2 + y2 + 8x + 2y + 4 = 0 , x2 + y2 + 3x −13y + 4 = 0 ;
б) x2 + y2 + 6x − 4y +10 = 0 , x2 + y2 + 5x − 2y + 6 = 0 .
198
33. |
Составить |
уравнение окружности, проходящей через точку |
||
|
A(9;18) |
и |
концентрической |
окружности |
|
x2 + y2 - 4x +12y +10 = 0 . |
|
||
34. |
Дана окружность |
x2 + y2 = 9 . Составить |
уравнение прямой, |
параллельной оси ординат и пересекающей окружность в точках A и B, таких что AB = 3 .
35.В окружность с центром в начале координат вписан квадрат ABCD. Найти радиус окружности и координаты вершин B, C, D, если (2;−10) – координата вершины A.
36.Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник, образованный прямыми x = 0, y = 0 и 2x + 5y −10 = 0 .
37.Составить уравнения касательных, проведенных к окружности
x2 + ( y -1)2 = 5 из точки (3;−10) .
38.Составить уравнение эллипса, проходящего через точки (2;1) и
æ3 2 ö
ç÷
ç2 ÷
è ø
39.Составить уравнение эллипса, проходящего через точки (3;0) и3;- .-
(-2;-5) .
40.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках (3;0), (−3;0) и эксцентриситет ε = 0,6 .
41.Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ox , если он про-
æ |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
ходит через точку M ç |
2; |
|
÷ |
и малая ось его равна 10 . |
|||
|
|||||||
ç |
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
42.Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет ε = 0,5 .
43.Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ox , если сумма полуосей его равна 6 и расстояние между фокусами равно 43 .
44. |
Найти координаты точек пересечения эллипса |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1 с |
||||||
100 |
25 |
|||||||||||
|
прямой x + 2y −14 = 0 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
45. |
Найти длину отрезка прямой x − 2y − 2 = 0 , заключенного внутри |
|||||||||||
|
эллипса |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
25 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
199
46.Определить полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис для каждого из эллипсов:
а) x2 + 3y2 = 9 ; |
|
|
|
б) 6x2 +12y2 = 25 ; |
|
||
в) 5x2 + y2 =15 ; |
|
|
г) x2 + 2y2 = 4 . |
|
|||
47. На эллипсе |
x2 |
|
+ |
y2 |
=1 найти точку M , |
ближайшую к прямой |
|
|
|
||||||
18 |
|
|
8 |
|
|
||
2x − 3y + 25 = 0 . |
|
Вычислить расстояние |
от точки M до этой |
прямой.
48.Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках (3;0), (−3;0) и фокусы в точках (5;0), (−5;0) .
49.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если длина ее действительной оси равна 14, а расстояние между фокусами равно 22.
50.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если фокусы ее расположены в точках (8;0), (−8;0) , а эксцентриситет
ε= 3,5 .
51.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если
фокусы ее расположены в точках (±32;0) , а эксцентриситет
ε= 4 .
52.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если
фокусы ее расположены в точках (±2;0) , а эксцентриситет
ε= 5 .
53.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если сумма ее полуосей равна 28 и расстояние между ее фокусами 40.
54.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если сумма ее полуосей равна 34 и расстояние между ее фокусами 52.
55.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если разность ее действительной и мнимой полуосей равна 7, а расстояние между ее фокусами 34.
56.Составить уравнение гиперболы, если длина ее действительной оси равна 10 и гипербола проходит через точку (−10;3).
57.Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox , если длина ее мнимой оси равна 12 и гипербола проходит через точку
(20;8) .
200