Математика для инженеров(практика) I часть
.pdfпроходящей через точку S. Будем искать уравнение перпендикуляра в
виде |
|
x - 0 |
= |
y - 3 |
= |
z - 6 |
. |
По |
|
условию |
(18): |
|
1 |
= |
2 |
= |
|
1 |
, |
|
откуда |
||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||||
m = 2l, n = l . Тогда уравнения перпендикуляра |
x |
= |
y - 3 |
|
= |
z - 6 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
Точку N пересечения перпендикуляра и плоскости, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
проекцию |
|
|
|
точки |
|
M |
на |
плоскость, |
найдем |
|
|
из |
|
системы |
|||||||||||||||||||||
ì x |
|
y - 3 |
|
|
|
z - 6 |
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
14 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
í1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
Откуда |
N ç - |
|
; |
|
; |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ï |
|
+ 2y + z - 4 = 0. |
|
|
|
è |
|
|
3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
îx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая NS является проекцией данной прямой на плоскость и ее уравнения получим как уравнения прямой, проходящей через две
точки N и M , т.е по формуле (3) получаем |
|
|
|
x +1 |
|
= |
|
y -1 |
= |
|
|
z - 3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
- |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+1 |
|
3 |
|
|
14 |
3 |
- 4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Окончательно, уравнение прямой NS имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
y -1 |
z - 3 |
|
. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример |
16. |
Исследовать |
взаимное |
расположение |
|
|
прямой |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = 3 + 2t, y = 6 + 4t, z = 3 + t и плоскости 3x − 2y + 5z −11 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Запишем уравнения прямой в канонической форме |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x - 3 |
= |
y - 6 |
= |
|
z - 3 |
. Согласно формуле (16) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
3× 2 - 2× 4 + 5×1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sinα = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
32 + (-2)2 + 52 |
22 + 42 +12 |
|
38 |
|
21 |
|
798 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Таким образом, прямая и плоскость пересекаются, и угол между |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ними равен α = arcsin 3 |
|
|
. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
798 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример |
17. |
Найти проекции |
прямой |
|
ìx - y + 2z + 3 = 0, |
на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
í |
+ y + z - 2 = |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx |
|
|
|
плоскость Oxz .
Решение. Плоскость Oxz задается уравнением y = 0 . Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
171
ìx - y + 2z + 3 = 0, íîx + y + z - 2 = 0,
запишется в виде x - y + 2z + 3 + λ(x + y + z - 2) = 0 или
(1+ λ)x + (-1+ λ)y + (2 + λ)z + 3 - 2λ = 0 .
Используя условие перпендикулярности плоскостей, выберем из этого пучка плоскость, проецирующую данную прямую на плоскость y = 0 . Имеем (1+ λ) ×0 + (-1+ λ) ×1+ (2 + λ) ×0 = 0 , откуда
λ =1 . Итак уравнение проецирующей плоскости имеет вид
2x + 3z +1 = 0 .
Искомую проекцию можно определить как линию пересечения двух плоскостей – заданной и проецирующей:
ì2x + 3z +1 = 0, |
□ |
||||||
í |
|
|
|
|
|||
îy = 0. |
|
|
|
|
|
||
Пример 18. Найти проекцию точки A(2;0;-1) на плоскость |
|||||||
x + 2y - z + 4 = 0 . |
|
|
|
|
|
||
Решение. Уравнения прямой, |
проходящей через точку A и |
||||||
перпендикулярной заданной плоскости, запишутся в виде |
|||||||
|
x - 2 |
= |
y |
= |
z +1 |
|
|
1 |
|
2 |
-1 |
|
|
или, в параметрической форме, x = t + 2, y = 2t, z = −t −1. Из системы
ìx + 2y - z + 4 = 0,
íîx = t + 2, y = 2t, z = -t -1
получим проекцию точки A(2;0;−1) на плоскость x + 2y − z + 4 = 0 .
Таким образом, искомая точка çæ |
5 |
;- |
7 |
; |
1 |
÷ö . □ |
|
|
||||||||
6 |
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
6 |
ø |
|
|
|||
Пример 19. Найти точку, симметричную точке M (−1;3;1) |
отно- |
|||||||||||||||
сительно прямой |
x |
= |
y -1 |
= |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Уравнение плоскости, проецирующей точку |
M на |
|||||||||||||||
данную прямую |
|
имеет |
вид |
A(x +1) + B(y − 3) + C(z −1) = 0 . |
||||||||||||
Координаты |
нормального |
вектора |
|
|
|
(A; B;C) |
плоскости, |
|||||||||
перпендикулярной |
заданной |
прямой, |
|
заменим |
координатами |
172
направляющего вектора |
(2;1;1) |
|
|
|
данной прямой. Тогда получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2(x +1) + (y − 3) + (z −1) = 0 или 2x + y + z − 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем проекцию точки M на прямую |
|
|
x |
|
= |
y -1 |
= |
z |
, для чего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
совместно решим систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì2x + y + z - 2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
y -1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í x |
= |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда x = |
1 |
, y = |
7 |
, z = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
координаты |
симметричной |
|
|
точки |
|
можно найти, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
используя формулы координат середины отрезка, т.е. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
= -1+ xN |
, |
|
|
|
|
7 |
= |
|
3 + yN |
|
, |
1 |
= |
|
1+ zN |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 ö |
|
. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Отсюда искомая точка N ç |
|
|
|
|
;- |
|
|
;- |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 20. Составить уравнение плоскости, проходящей через |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямые |
|
x - 2 |
= |
y -1 |
|
= |
z |
|
и |
x - 3 |
|
= |
y - 5 |
|
= |
z -1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
-2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Первая |
прямая |
|
|
проходит через точку |
M1(2;1;0) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Возьмем |
на |
искомой плоскости |
|
точку |
|
M (x; y; z) |
|
|
с |
текущими |
координатами, получим вектор M1M = (x - 2; y -1; z) . Таким образом,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы |
M1M и |
направляющие векторы заданных |
прямых |
|||||||||||
|
a |
= (2;1;-2) , |
b |
= (3;5;-1) |
компланарны. По условию компланарности |
|||||||||
векторов |
имеем |
|
x - 2 y -1 z |
|
= 9(x - 2) - 4( y -1) |
+ 7z |
= 0 или, |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
2 |
1 |
-2 |
|
||||||||||
окончательно, |
|
3 |
5 |
-1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнение искомой плоскости 9x − 4y + 7z −14 = 0 . □ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы |
|
||||||||
1. Записать уравнения прямой |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì2x + 5y - z - 2 = 0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
+ 3z +1 = 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx - y |
|
|
в канонической и параметрической формах.
173
2.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (2;1;−2)
ипересекающей ось Oy под прямым углом.
3.Составить уравнения прямой, проходящей через точку A(3;−1;1)
ипараллельной вектору a(2;1;1) .
4.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (0;1;−2)
иперпендикулярной векторам a(1;1;0) и b (3;-1;2) .
5. |
Определить |
|
|
угол |
|
между |
|
прямыми |
|
x - 3 |
= |
|
|
|
y + 2 |
|
= |
z - 7 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x = 2t +1, y = 2t −1, z = −t + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
Найти угол между прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ì5x - y - 6 = 0, |
и |
|
ì3x + 2y - 7z +1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
í |
|
+ y = |
0 |
|
|
|
|
|
í |
|
- y |
+ z -1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
î2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
При каком значении параметра α пересекаются прямые |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
= |
|
y |
= |
|
|
z -1 |
|
|
|
и |
x - 3 |
= |
|
y -1 |
= |
|
z -1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
Найти |
расстояние |
|
|
|
|
между |
|
|
|
|
|
|
параллельными |
|
|
|
прямыми |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x +1 |
= |
y + 2 |
|
= |
z -1 |
|
и |
x -1 |
|
= |
|
|
y +1 |
= |
|
z + 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9. |
Составить уравнения общего перпендикуляра и найти расстояние |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
между прямыми |
|
x +1 |
|
= |
y + 4 |
= |
|
z -1 |
|
|
и |
x -15 |
= |
|
y - 2 |
= |
|
z -1 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
10. |
Составить уравнения общего перпендикуляра и найти расстояние |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
между прямыми |
|
x - 2 |
= |
y -1 |
|
= |
z |
|
|
и |
|
x +1 |
= |
|
y +1 |
|
= |
|
z - 2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11. |
Составить уравнения общего перпендикуляра и найти расстояние |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
между прямыми |
|
x - 4 |
= |
y |
|
= |
z |
и |
|
|
x + 4 |
= |
y |
|
|
= |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
-1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3t + 7 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
Доказать, что прямые x = 2t +1, y = −3t − 2, z = 4t + 5 |
|
и |
y = 2t + 2, z = −2t +1 лежат в одной плоскости.
13.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (2;1;−3)
перпендикулярно прямой x +4 2 = y3+1 = z 2+1 .
14.Через прямую x = 2t + 2, y = 3t −1, z = −2t + 2 провести плоскость, параллельную прямой x = −t + 3, y = −2t − 2, z = 3t −1.
174
15. При каком значении α плоскость α x + 3y − 5z +1 = 0 параллельна прямой x = 4t +1, y = 3t − 2, z = t .
16.Найти точку пересечения прямой x = 2t +1, y = 3t −1, z = 5t + 4 и плоскости 4x + 2y − z + 3 = 0 .
17. |
Найти точку пересечения |
прямой x = 4t −1, y = 2t , z = −t + 2 и |
|
|
плоскости 2x − 3y + 2z − 3 = |
0 . |
|
18. |
Найти угол между прямой |
x = 2t, y = 3t + 5, z = −t |
и плоскостью |
|
2x + 3y + z − 4 = 0 . |
|
|
19. |
Найти угол между прямой x = t, y = −4t + 2, z = t |
и плоскостью |
|
|
x − 3y − 3z − 3 = 0 . |
x = 2 − t, y = 3, z = 5t + 2 |
|
20. |
Найти угол между прямой |
и плоскостью |
|
|
y + 3z − 8 = 0 . |
|
|
21.Найти проекцию прямой, заданной пересечением двух плоскостей 3x + 2y − z −10 = 0, x + y + z − 2 = 0 , на плоскость Oxy .
22. |
Найти |
углы между прямой |
x - 2 |
= |
y +1 |
= |
z -1 |
и осями |
||
6 |
|
|
||||||||
|
координат. |
|
7 |
2 |
|
|||||
|
ì2x + y + 6z -1 = 0, |
|
|
|
||||||
23. |
Найти |
проекции прямой |
на координатные |
|||||||
í |
|
|
|
|||||||
|
|
|
îx - y + z +1 = 0 |
|
|
|
плоскости.
24.В треугольнике с вершинами (3;5;0),(2;1;−1), (0;5;4) найти уравнения медиан.
25.В треугольнике с вершинами A(1;1;1), B(3;2;1), C(−1;2;3) найти точку пересечения медианы AD и высоты BF.
26.В треугольной пирамиде ABCS с основанием ABC найти уравнение высоты SD и ее длину, если A(1;0;1), B(2;3;0), C(1;−1;−1) ,
S(3;0;1) .
27.Известны координаты центра ромба ABCD точки O(2;3;−1) и вершины A(0;5;1) . Составить уравнение плоскости, содержащей диагональ BD и перпендикулярной диагонали АС.
28.В пирамиде ABCS A(2;3;1), B(0;2;0), C(3;0;1) , S(5;2;2) . Найти
уравнение общего перпендикуляра и расстояние между ребрами
AC и SB.
175
29.В кубе ABCDA1B1C1D1 заданы четыре вершины A(0;0;0) B(2;0;0), D(0;2;0), A1(0;0;2) . Найти уравнения диагоналей AC1 и
BD1 .
30.Составить параметрическое уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины C, если заданы вершины треугольника A(3;6;−7), B(−5;2;3), C(4;−7;−2) .
31.Вычислить длины диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD,
если A(1;−3;0), B(−2;4;1), C(−3;1;1) .
32. В пространстве заданы точки A(6;−4;2), B(3;2;3), C(1;0;2) ,
D(3;−5;−1) , попарно соединенные отрезками. Определить, какие из полученных треугольников прямоугольные.
33.Даны вершины треугольника A(−2;1;−3), B(4;−7;−5) , C(1;2;−1) .
Найти угол между стороной AC и медианой, проведенной из вершины C.
34.В пирамиде ABCS A(2;0;5), B(3;4;2), C(1;1;2) , S(5;6;10) . Найти
углы, образованные ребрами AS, BS и CS с плоскостью основания
ABC.
35.Найти точку, симметричную точке M (2;5;1) относительно плоскости 3x − y − z +1 = 0 .
36.Найти точку, симметричную точке N(1;1;2) относительно плоскости 2x + 2y + z − 5 = 0 .
37. |
Найти уравнения проекции прямой |
ì3x + 2y + 5 = 0, |
на плоскость |
|
í |
|
|||
|
3x − 2y + z −1 = 0 . |
î-x + y + 2z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
38. |
Найти уравнения проекции прямой |
ìx + y -12 = 0, |
на плоскость |
|
í |
= 0 |
|||
|
|
îx + z - 2 |
|
2x + y + z − 3 = 0 .
39.Составьте уравнение плоскости, зная, что точка M (2;5;7) служит основанием перпендикуляра, проведенного из точки N(2;0;−1) к этой плоскости.
40.Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости
176
2x − 7 y − 5z + 20 = 0 и пересекающей прямые |
x - 2 |
= |
y -1 |
= |
z |
, |
||||||
7 |
|
|
||||||||||
x +1 |
|
y -1 |
|
z + 2 |
|
3 |
2 |
|
||||
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
41.Найти проекцию точки A(2;5;−3) на плоскость 2x + y − z + 8 = 0 .
42.Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку A(2;4;−2) перпендикулярно радиусвектору точки B(3;1;1) .
43.Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку A(−4;6;3) , с направляющими косинусами 12 ;- 12 ;- 12 .
44.Найти точку, симметричную точке A(2;7;0) относительно
|
прямой |
x -1 |
= |
y +1 |
= |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìx - y - z + 5 = 0, |
|||||||||
45. |
Доказать, что |
прямые |
x - 5 |
= |
y + 8 |
|
= |
z +18 |
|
и |
||||||||||||||||||||||
|
|
í |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ y - 2 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
совпадают. |
|
|
|
|
2 |
-4 |
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
î2x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - 2 |
|
|
|
y -1 |
|
|
z |
|
|
||||||||||||||
46. |
При каком значении |
α |
прямая |
= |
|
= |
|
не имеет с |
||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
α |
|
|
-2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
плоскостью 2x + y − z +16 = 0 общих точек? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
47. |
При каких значениях α, β |
прямая |
|
|
|
x -1 |
= |
y - 2 |
= |
z +1 |
лежит в |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
плоскости β x − 2y − 5z + 3 = 0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
α |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
48. |
Найти угол между ребром AS и плоскостью основания ABC |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
треугольной пирамиды ABCS, если |
|
A(1;0;1), B(2;3;−1), C(3;2;4) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
S(5;7;4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49.Найти косинус угла между высотами AD и BF треугольника ABC,
если A(3;4;7), B(−3;−1;−2), C(−1;0;0) .
50.Написать параметрическое уравнение перпендикуляра, проведенного из точки (2;3;5) к прямой, соединяющей точки
(2;3;1) и (2;0;−2) .
51. На прямой x = 2t, y = 4t, z = 3 + 5t найдите точку, равноудален-
ную от точек A(3;1;−2) и B(5;3;−2) .
177
52. |
На |
прямой |
x = 2 − t, y = 5t − 3, z = t −1 |
найдите |
точку, |
|||||||||||||
|
равноудаленную от точек A(−3;4;2) |
и B(6;0;2) . |
|
|||||||||||||||
53. |
На прямой |
x = 2t +1, y = t −1, z = 2 |
|
найдите точку, ближайшую к |
||||||||||||||
|
точке A(2;0;−4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
54. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
|
|
проходящей через |
прямые |
|||||||||||
|
|
x - 2 |
= |
y - 3 |
= |
z + 2 |
и |
x - 6 |
= |
y - 7 |
|
= |
z - 5 |
. |
|
|
||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
55.Даны вершины пирамиды A(2;2;2), B(3;4;5), C(−1;2;1) , S(2;4;5) .
Найти уравнение плоскости, содержащей высоту, проведенную из вершины S, и параллельной ребру AB.
56. |
Найти точку пересечения проекций прямых |
x -1 |
= |
y + 8 |
= |
z |
и |
||||||||||||||||
2 |
|
-1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x - 3 |
|
|
y - 2 |
|
z - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
= |
= |
|
на плоскость 2x + 8y − 6z + 3 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
x - 2 |
|
y +1 |
|
z + 5 |
|
|
||||||||||
57. |
Найти точку пересечения проекции прямой |
= |
= |
|
на |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6x + y − z +14 = 0 |
|
3 |
1 |
|
|
|
-2 |
|
|
|||||||
|
плоскость |
|
и |
проекции |
|
|
прямой |
||||||||||||||||
|
|
x = 2t −1, y = 3t + 2, z = 3 на плоскость x − y + z − 4 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
58. |
Найти |
|
угол |
между |
проекциями прямых |
x = 2t, y = 3t, z = 4t |
и |
||||||||||||||||
|
ì4x - 2y - z + 3 = 0, |
на плоскость 2x + 4y + 3z − 5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
í |
|
- z -12 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
îx + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
59. |
Найти |
|
основание |
|
перпендикуляра, |
проведенного |
|
из |
точки |
M (2;3;6) к прямой x = 2t + 4, y = 3t + 7, z = t −1.
60.Точка M (x; y; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M0 (28;-30;-27) со скоростью v =12,5 м/с
по перпендикуляру, проведенному из точки M0 к плоскости 15x −16y −12z + 26 = 0 . Составьте уравнения движения точки M
|
и найдите: |
|
|
|
а) координаты точки N пересечения ее траектории с этой |
||
|
плоскостью; |
б) длину отрезка M0 N ; |
в) время, затраченное на |
|
движение точки M от M0 до N . |
|
|
61. |
Найти расстояние от точки (2;−3;5) |
до прямой пересечения |
|
|
плоскостей |
3x + y + z − 6 = 0 и 5x − y + 2z + 3 = 0 . |
|
62. |
Напишите уравнение плоскости, в которой лежат перпендикуля- |
178
ры, |
проведенные из точки |
M (2;3;0) к плоскостям |
3x + 5z − 2 = 0 и 3x + 2y − z + 5 = 0 . |
A(3;2;5), B(−2;−3;4), C(1;2;1) . |
|
63. Даны |
вершины треугольника |
Напишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения средней линии, параллельной стороне AB
треугольника ABC, со |
стороной AC и параллельной |
прямой |
|||||||||
|
x - 3 |
= |
y |
|
= |
z -1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
-6 |
|
|
A(3;−1;0), B(0;0;0), C(1;4;1), B1(0;0;5) |
|||||
64. |
|
Даны |
|
вершины |
|||||||
параллелепипеда |
ABCDA1B1C1D1 . Написать уравнения |
ребра |
|||||||||
C1D и диагонали |
A1C . Найти: а) расстояние между A1D1 |
и B1C ; |
|||||||||
б) расстояние между B1D и D1C ; в) расстояние между |
C1D и |
||||||||||
|
B1D1 ; г) расстояние между A1B1 и CD . |
|
§ 5. Кривые второго порядка
10. Окружность. Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Если r – радиус окружности, а C(a;b) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − a)2 + ( y − b)2 |
= r2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||
Если центр окружности совпадает с началом координат О, то |
||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение (1) примет вид |
|
|
x2 + y2 = r2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности |
||||||||||||||||||||||||||||||
3x2 + 3y2 - 6x + 7 y - 5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. |
Разделив обе |
части |
уравнения |
|
на |
|
|
3, |
получим |
|||||||||||||||||||||
x2 + y2 - 2x + |
7 |
y - |
|
5 |
= 0 . Выделим полные квадраты: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
7 |
|
|
49 |
ö |
|
|
49 |
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
(x2 |
- 2x +1)+ ç y2 |
+ 2 × |
|
|
y + |
|
÷ |
-1- |
|
|
|
|
- |
|
|
= 0 |
|||||||||||
|
|
|
6 |
36 |
36 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||
или (x -1) |
2 |
|
æ |
|
|
7 ö2 |
145 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ |
ç y |
+ |
|
÷ = |
|
|
. Согласно |
|
(1) |
получили |
|
уравнение |
|||||||||||||||||
|
|
36 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
6 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
окружности с центром в точке çæ1;- |
÷ö |
и радиусом |
|
145 |
|
. □ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
6 ø |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
179
Пример 2. Составить уравнение окружности, описанной около
треугольника, |
стороны |
которого |
заданы |
уравнениями |
9x − 2y − 41 = 0, 7x + 4y + 7 = 0, x − 3y +1 = 0 . |
|
|
Решение. Вершины треугольника, вписанного в окружность, принадлежат этой окружности. Координаты вершин треугольника найдем из трех систем
ì9x - 2y - 41 = 0, ì9x - 2y - 41 = 0, ì7x + 4y + 7 = 0, |
|||||||
í |
í |
|
|
í |
- 3y +1 = 0. |
||
î7x + 4y + 7 = 0, îx - 3y +1 = 0, |
îx |
||||||
Соответственно |
получим |
точки |
|
(3;−7), (5;2), (−1;0) , |
|||
координаты которых подставим в уравнение (1). Имеем |
|
||||||
ì(3 - a)2 + (-7 - b)2 = r2 , |
|
|
ì(3 - a)2 + (7 + b)2 |
= (1+ a)2 + b2 , |
|||
ï |
|
|
ï |
|
|
|
|
ï |
или |
ï |
- a)2 + (2 - b)2 = (1+ a)2 + b2 , или |
||||
í(5 - a)2 + (2 - b)2 = r2 , |
í(5 |
||||||
ï |
|
|
ï |
+ a)2 + b2 = r2 , |
|
|
|
ï(-1- a)2 + (0 - b)2 = r2 |
|
|
ï(1 |
|
|
||
î |
|
|
î |
|
|
|
|
ì9 - 6a + 49 +14b =1+ 2a, |
|
|
ì-8a +14b = -57, |
|
ìa = 3,1, |
||
ï |
или |
ï |
|
|
или |
ï |
|
í25 -10a + 4 - 4b =1+ 2a, |
í-12a - 4b = -28, |
íb = -2,3, |
|||||
ï |
|
|
ï |
|
|
, |
ï |
î(1+ a)2 + b2 = r2 , |
|
|
î(1+ a)2 + b2 = r2 |
îr2 = 22,1. |
|||
Искомое уравнение окружности (x - 3,1)2 + ( y + 2,3)2 = 22,1. □ |
|||||||
Пример 3. Составить уравнение окружности, проходящей |
|||||||
через точки M1(4;0) и M2 (1;5) , |
если ее центр лежит на прямой |
||||||
2x + y − 5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По условию, координаты центра окружности |
|||||||
удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 2a + b − 5 = 0 . |
Подставляя |
||||||
координаты точек M1 и M2 |
в (1), получим систему |
|
|||||
ì(4 - a)2 + b2 = r2 , |
|
ì(4 - a)2 + b2 = r2 , |
|
|
|||
ï |
|
ï |
|
|
|
|
|
ï |
или |
ï |
|
|
|
|
|
í(1- a)2 + (5 - b)2 = r2 , |
í(1- a)2 + (5 - b)2 = (4 - a)2 + b2 , или |
||||||
ï |
|
ï |
+ b - 5 = 0, |
|
|
|
|
ï2a + b - 5 = 0 |
|
ï2a |
|
|
|
||
î |
|
î |
|
|
|
|
180