Математика для инженеров(практика) I часть

вектора x в базисе e1,e2 ,...,en . Если вектор x в некотором базисе имеет координаты α1,α2 ,K,αn , то записывают

x = (α1;α2;K;αn ) .

Отметим, что операции над векторами, введенные в п.10, сводятся к операциям над их координатами.

a = α1e1 + α2e2 .

Подставляя координаты известных векторов в это равенство, получим следующую систему уравнений:

ìα1 + 2α2 = 3, íî2α1 +α2 = 4.

261

Подставляя координаты векторов в это равенство, получим следующую систему уравнений:

ìα1 = 5, ïíα1 +α3 = 6,

ïîα2 +α3 = 7.

Отсюда α1 = 5, α2 = 6, α3 =1 .

Тогда искомое разложение имеет вид: a = 5e1 + 6e2 + e3 . □

Пример 12. Из каких элементов состоит линейное пространство с базисом 1, t, t2 , t3, t4 , t5 , если сложение элементов и

умножение вектора на число понимать в обычном смысле?

Решение. Согласно (3) любой элемент этого пространства

Получили пространство многочленов не выше пятой степени.□ Пример 13. Показать, что множество всех матриц второго

порядка является линейным пространством четвертого измерения, а

262

образует базис пространства n .□

40. Ранг системы векторов. Рангом системы векторов

называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы.

Вычисление ранга системы векторов сводится к вычислению ранга

матрицы, столбцы которой являются координатами рассматриваемых векторов. Такую матрицу называют матрицей системы векторов в данном базисе. Обратно, если дана матрица размера n × m , то ей можно поставить в соответствие систему m векторов n -мерного линейного пространства, состоящую из столбцов этой матрицы.

263

Ясно, что система m векторов n -мерного линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен m .

Пример 15. Найти ранг системы векторов:

а) x1 = (1;2;4;3), x2 = (1;4;3;1), x3 = (3;4;1;2), x4 = (4;1;2;3); б) x1 = (1;2;3), x2 = (2;3;4), x3 = (1;1;1) .

Решение: а) составим матрицу из координат этих векторов:

и с помощью прямого хода метода Гаусса (см. 1.4.50) приведем ее к виду

по которому устанавливаем, что ее ранг равен 4 (ее определитель равен 69 ¹ 0), а значит, ранг указанной системы векторов равен 4. Поскольку система содержит четыре вектора, то она линейно независима и образует

Ранг этой матрицы равен 2 (ее определитель равен 0), а значит, ранг указанной системы векторов равен 2. Но поскольку система содержит три вектора, то она линейно зависима и не образует базис. □

50. Преобразование координат вектора при замене базиса. Координаты вектора определяются выбором базиса, а значит, координаты одного и того же вектора будут различными в разных базисах. Формулами преобразования координат

264

называются формулы, которые связывают координаты вектора в разных базисах.

Пусть в n -мерном линейном пространстве V заданы два различных базиса B1 = {e1,e2 ,...,en} и B2 = {e1′ ,e2′,...,en′} . Матрицей перехода от базиса B1 к базису B2 называется матрица системы векторов B2 в базисе B1 . Векторы из B2 единственным образом

Так как столбцы матрицы T – координаты системы векторов B2 в базисе B1 , то, с учетом их линейной независимости, матрица T – невырождена. Поэтому существует матрица T −1 , обратная матрице (5), которая является матрицей перехода от базиса B2 к базису B1 . Всякую невырожденную

матрицу порядка n можно рассматривать как матрицу перехода от одного базиса n -мерного линейного пространства к другому базису этого пространства.

n n

x= åxiei = åxi¢ei′

i=1 i=1

265

Таким образом

Сравнивая в левой и правой частях (6) коэффициенты, которые стоят перед вектором ei , будет иметь

266

базиса e1, e2 , e3 к новому базису e1¢, e2¢, e3¢ должны быть линейно

независимы, т.е. detT должен быть не равен нулю. В нашем случае detT = 0 -1+1- 0 - 0 - 0 = 0 . Поэтому таких зависимостей между

указанными базисами быть не может.

60. Подпространство. Пусть задано множество W , в котором определены те же операции, что и в линейном пространстве V . Множество W V назовем подпространством линейного пространства V , если выполнены следующие

линейного пространства V образует подпространство данного пространства V, а само пространство V можно рассматривать как подпространство этого пространства. Такие подпространства называют тривиальными, а все другие, если они имеются,

нетривиальными.

Например, множество W всех свободных векторов a = (a1;a2 ;a3 ) , параллельных некоторой плоскости, для которых определены операции сложения и умножения вектора на число,

является подпространством линейного пространства 3 ; множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n −1 , является

267

подпространством линейного пространства множества всех алгебраических многочленов степени n .

сложение элементов и умножение элемента на число понимать в обычном смысле.

пространства V многочленов не выше пятой степени.

Пример 19. Найти размерность и базис подпространства решений однородной линейной системы

ìx1 + x2 - x3 + x4 = 0, ïïx1 - x2 + x3 - x4 = 0, íï2x1 - x2 - 3x3 + x4 = 0,

ïî3x1 - x2 + x3 - x4 = 0.

Записать общее решение данной системы.

Решение. Если рассматривать линейное пространство n , векторами которого являются всевозможные системы действительных чисел, то совокупность всех решений системы

является подпространством n .Число векторов, определяющих фундаментальную систему решений, находится по формуле k = n − r , где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы. Таким образом, размерность подпространства решений однородной линейной системы равна k .

В нашем случае число неизвестных равно 4. Преобразуем систему методом Гаусса:

268

Очевидно, ранг системы равен 3. Значит, k = n − r = 4 − 3 =1 . Следовательно, подпространство решений системы одномерное. Решением системы является множество векторов (0;−c;c;2c), c .

Полагая c =1, получаем базис подпространства решений

(0;−1;1;2) .

Задания для самостоятельной работы

1.Образуют ли линейное пространство все геометрические векторы, имеющие общее начало в начале координат и расположенные во II октанте?

2.Является ли множество C[a,b] вещественных функций,

пространством?

3.Образуют ли линейные пространства следующие множества чисел с обычными операциями сложения и умножения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

(2;5;−1;−2), (0;−8;3;4) линейно независимыми.

6.Докажите, что система векторов, два вектора которой различаются скалярным множителем, линейно зависима.

7.Докажите, что любая подсистема линейно независимой системы векторов также линейно независима.

8.Проверить, является ли пространство n -мерных векторов, у которых координаты с нечетными номерами равны нулю, линейным пространством.

269

9.Проверить, является ли пространство n -мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны между собой, линейным пространством.

270