Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(практика) I часть

.pdf

Скачиваний:

115

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

2.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3833 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

б) Q(x1, x2 , x3 ) = 3x12 - 4x1x2 + 7x1x3 + 5x22 - 4x2 x3 + 7x32 ;

в)

Q(x1, x2 , x3, x4 ) = 2x12 - 3x1x2 - 4x1x3 + 8x22 - 5x2 x3 + x32 +10x1x4 +

+10x x +13x2												-11x x .
		2		4						4					3	4																							Q(x1, x2 ) :
			Решение: а) составим матрицу квадратичной формы																																				Q(x1, x2 ) :
	æ	29						-		15 ö																						29				-	15
	æ									15 ö																											15
	ç											÷																													587
A =	ç									2		÷		. Главные миноры										29		= 29 > 0,											2		=				> 0 .
	ç			15								÷																					15
	ç											÷
	ç	-								7		÷																				-				7			4

					2																													2
	è				2							ø																						2						Q(x1, x2 )
			По						критерию							Сильвестра							квадратичная											форма						Q(x1, x2 )
положительно определенная;																													Q(x1, x2 , x3 )
			б)						матрица						квадратичной								формы						Q(x1, x2 , x3 )									имеет					вид
	æ	3						-2			7			ö
	ç													÷
	ç													÷
A =	ç	-2						5 -22						÷	. Ее главные миноры
	ç	7						-2						÷
	ç										7 ÷
	ç										7 ÷
	è 2													ø
																				3			-2					7
																												7
														3	-2												-22				127
				3		= 3 > 0,											=11 > 0,			-2					5					=					> 0 .


													-2			5					7		-2				7			4
													-2			5

																				2
																				2
			Квадратичная													форма			Q(x1, x2 , x3 )											является положительно
определенной;																																				Q(x1, x2 , x3, x4 ) :
			в) составим												матрицу			квадратичной											формы							Q(x1, x2 , x3, x4 ) :
	æ			2				-1,5							-2		5	ö
A =	ç	-1,5								8				-2,5			5	÷
A =	ç	-2						-2,5							1		-5,5	÷ . Вычисляя главные миноры, получаем
	ç			5						5				-5,5			13	÷
	è			5						5				-5,5			13	ø
															2		-1,5		55								2		-1,5							-2				183


							2		= 2 > 0,									=				> 0,				-1,5			8				-2,5				= -					< 0 .


															-1,5		8	4									-2		-2,5							1		4
															-1,5		8

			Квадратичная													форма			Q(x1, x							2 , x3, x4 ) , согласно													критерию

Сильвестра, не является положительно определенной. □

321

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных.

Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы называют знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов переменных одного знака, называют полуопределенными (соответственно

неотрицательными, неположительными).

Неопределенными называют квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные так и отрицательные квадраты переменных.

40. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение квадратичной формы к каноническому виду можно осуществить с помощью преобразования

x = Ty ,

(9)

где в (9) Т – матрица, приводящая матрицу А квадратичной формы к диагональному виду; x, y - векторы размерности n.

Столбцами матрицы Т служат ортонормированные собственные векторы матрицы А.

Отметим также, что в этом случае преобразование T −1AT = Λ превращается в преобразование TT AT = Λ и отпадает необходимость находить обратную матрицу T −1 .

Пример 6. Привести к каноническому виду квадратичную

форму Q(x1, x2 ) = 29x12 -13x1x2 + 7x22 .

Решение. Приведем квадратичную форму Q(x1, x2 ) к каноническому виду с помощью линейного невырожденного преобразования. Для этого сгруппируем в Q(x1, x2 ) все слагаемые,

содержащие x1 , затем слагаемые, содержащие x2 , затем выделим полные квадраты:

	æ		13			2			ö
Q(x1, x2 ) = 29x12 -13x1x2 + 7x22	= 29ç x12	- 2 ×		x1x2	+	13		x22	÷	-
							2
	ç	58				58			÷
	è								ø

322

-		132		x	2 + 7x 2			= 29æ x			-		13		x			ö2	+				643		x	2.
-				x	2 + 7x 2			= 29æ x			-				x		2 ÷		+						x	2.
		4 × 29		2			2		ç	1		58					2 ÷				116				2
		4 × 29							è			58						ø			116
С помощью линейного невырожденного преобразования
							y	= x -		13	x ,				y			= x
							y	= x -		58	x ,				y			= x
							1		1	58		2				2			2
квадратичная форма Q(x1, x2 ) приводится к каноническому виду
								%										2				643				2
			Q(x1, x2 ) Q( y1, y2 ) = 29y1																+		116				y2 .
	132																ö2				116
	132								æ			13					ö2			643						. □
-			x22		+ 7x22 = 29ç x1 -									x2			÷	+						x22
-	4	× 29	x22		+ 7x22 = 29ç x1 -							58		x2			÷	+		116				x22
	4	× 29							è			58					ø			116
Пример		7.	Привести					к	каноническому														виду			квадратичную
					æ1 1 3ö
форму с матрицей A = ç						1	5	1	÷ .
					ç	3	1	1	÷
					è	3	1	1	ø

Решение. Заданная	квадратичная	форма	имеет	вид
Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 5x22 + x32 + 2x1x2 + 6x1x3 + 2x2 x3 .
Квадратичную форму	Q(x1, x2 , x3 )	можно	привести	к

каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

В примере 22 §3 были найдены собственные значения матрицы

A :

λ1 = -2, λ2 = 3, λ3 = 6

три соответствующих

им

линейно

независимых

собственных

вектора

æ -1ö

, x

1 ö

, x

æ1ö

= ç

-1÷

= ç

÷ .

Пронормировав эти векторы, имеем

x =

= ç -

;0;

÷ , x

= ç

;

= ç

;

÷ .

3 3

6 6 6

Непосредственной проверкой убедимся, что векторы

x1 ,

x2 ,

попарно ортогональны.

Строим ортогональную матрицу Т, приводящую квадратичную форму к каноническому виду:

323

		æ	-		1						1						1		ö
		ç																	÷

					2							3					6
		ç			2							3					6		÷
	T =	ç			0			-				1					2		÷ .
	T =	ç			0			-											÷ .
		ç	1								1 3						16		÷
		ç	1								1 3						16		÷
		ç																	÷

					2							3					6
		è			2							3					6		ø
Ей соответствует невырожденное линейное преобразование (9):
ìx = -				1		y +				1			y		2	+		1		y ,
ìx = -						y +							y			+				y ,
ï	1		2				1				3						6			3
ï			2				1				3				2		6
ï	x		= -				1		y			+			2		y ,
í

							3									6
ï		2					3				2					6	3
ï			1					1									1
ï x =			1			y +		1					y			+	1			y ,

			2								3						6
î	3		2				1				3			2			6			3

применяя которое, получим искомую квадратичную форму

Q( y1, y2 , y3 ) = λ1y12 + λ2 y22 + λ3 y32 = -2y12 + 3y22 + 6y32 . □

Пример 8. Привести к каноническому виду квадратичную

форму Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 + 2x22 + 5x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3 .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем собственные векторы и собственные значения матрицы квадратичной формы:

2 - λ	2	1	= 0 Þ λ1 = 6, λ2 = 3, λ3 = 0 .
2 - λ	2	1
2	2 - λ	1
1	1	5 - λ

æç x11 ö÷

Координаты собственного вектора x1 = çç x12 ÷÷ , соответствующего

çè x13 ÷ø

собственному значению λ1 = 6 , найдем из системы

æ2

æ x1

1öç 1

ç 1

÷ç x1

= 6

ç x1

ïx

= x ,

Û í

÷ç 2

ç 2

ïx1

= 2x1.

øç x1

ç x1

è 3

324

æ1 ö

Тогда x1 = cçç1 ÷÷ . Аналогично, координаты собственного вектора

çè 2÷ø

æç x12 ö÷

x2 = çç x22 ÷÷ , соответствующего собственному значению λ2 = 3,

çè x32 ÷ø

получим из системы

1ö

æ x2

, .

ç x2

= 3ç x2

÷ Û

ïx2

= -x3

= -x2.

ïx2

ç x2

æ -1ö

Получаем x2 = cçç -1÷÷ .

çè 1 ÷ø

æç x13 ö÷

Координаты собственного вектора x3 = çç x23 ÷÷ , соответствующего

çè x33 ÷ø

собственному значению λ3 = 0 , определим из системы

1ö

æ x3

= 0, .

2 2 1

ç x3

÷ = 0 Û

ïx3

= -x3.

1 1 5

ïx3

ç x3

æ -1ö

Имеем x

= cç

÷ .

Выбирая

с =1,

получаем

три

линейно независимых

æ1

-1ö

, x

собственных вектора x

= ç

-1÷

= ç

÷ .

325

Пронормировав эти векторы, будем имееть
1		x1	æ			1					1					2		ö						2		æ							1			1		1	ö
x	=			= ç				;						;				÷ , x							= ç					-					;-		;			÷	,
		x1
																																		3
			è			6 6 6												ø								è								3		3 3			ø
								x		3		=		æ		-	1							1						ö
														ç							;						; 0÷ .
														ç							;						; 0÷ .
														è				2						2						ø
Непосредственной проверкой убедимся,																																		что векторы							x1 , x2 , x3
попарно ортогональны.
Строим ортогональную матрицу Т, приводящую квадратичную
форму к каноническому виду:
							æ						1					-				1				-					1			ö
							ç																											÷

														6								3										2
							ç							6								3										2		÷
					T = ç								1					-				1									1			÷ .
					T = ç													-																÷ .
							ç						26								1 3										2			÷
							ç						26								1 3										2			÷
							ç																							0				÷

														6								3
							è							6								3												ø
Ей соответствует невырожденное линейное преобразование (9):
				ì x =								1		y -						1			y		2		-		1				y ,
				ì x =										y -									y				-						y ,
			ï			1							6			1					3											2		3
			ï										6								3											2
			ï									1									1										1
				íx2 =											y1 -									y2		+								y3,

													6								3											2
			ï										6								3											2
			ï						x				=			2			y			+			1			y				,
			ï													2									1
			ï
			î								3					6		1								3					2

используя которое, получим искомую квадратичную форму

Q( y1, y2 , y3 ) = λ1y12 + λ2 y22 + λ3 y32 = 6y12 + 3y22 . □

Задания для самостоятельной работы

1.Записать матрицу квадратичной формы и найти ее ранг:

1)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 - 6x1x2 + 2x22 - 8x2 x3 + 3x32 ;

2)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 3x22 + 4x1x3 - 2x2 x3 ;

3)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x1x2 + 4x2 x3 -10x1x3 ;

326

4)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = 3x12 + 2x1x2 − 4x22 + x32 − 4x2 x4 ;

5)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x1x2 + x2 x3 + x3x4 .

2.Определить вид следующих квадратичных форм:

1)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = 6x12 − 8x22 + 7x32 − x42 ;

2)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 − x22 + x32 − x42 ;

3)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 − x22 − 3x32 − x42 .

3.Привести квадратичную форму Q к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования:

1)Q(x1, x2 ) = x12 + 4x1x2 − x22 ;

2)Q(x1, x2 ) = 8x12 − 4x1x2 + 2x22 ;

3)Q(x1, x2 ) = 6x12 − 6x1x2 ;

4)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 + 4x1x2 + x22 − 4x2 x3 + x32 ;

5)Q(x1, x2 , x3 ) = x1x2 + x2 x3 + x1x3 ;

6)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x1x2 + x22 − 6x1x3 − 2x32 ;

7)Q(x1, x2 , x3 ) = 5x12 +10x1x2 − x22 + x1x3 ;

8)Q(x1, x2 , x3 ) = x1x2 + 2x22 − x2 x3 + x32 ;

9)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 6x1x2 − x22 + 2x2 x3 − x32 + 8x1x3 ;

10)Q(x1, x2 , x3 ) = 6x12 −12x22 + 6x2 x3 ;

11)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 − 8x1x2 + x22 + x32 ;

12)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 + x22 + 3x32 − 8x1x2 + 5x1x3 ;

13)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 − x22 + 2x32 +16x1x2 +12x1x3 − 6x2 x3 ;

14)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = 3x12 − x22 + 4x42 + 6x1x2 + 8x2 x3 −16x3x4 ;

15)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 − x22 + 2x32 − 2x42 + 4x1x2 − 2x2 x3 − 6x2 x4 ;

327

16)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = 4x1x2 + 2x1x3 − 2x2 x3 + 4x2 x4 ;

17)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 + 4x32 − 2x42 + x1x2 − 4x2 x4 + 6x3x4 − 8x1x4 ;

18)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 − 2x42 + 4x2 x3 + 8x1x4 ;

19)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x22 + 4x32 − 2x42 + 6x1x2 − 6x1x4 + 8x2 x4 .

4.Являются ли положительно определенными следующие квадратичные формы:

1)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 + 6x1x2 − 2x1x3 − x22 + x2 x3 ;

2)Q(x1, x2 , x3 ) = 6x12 − 2x22 + x1x3 − x2 x3 ;

3)Q(x1, x2 , x3 ) = 3x12 − 5x1x2 +16x1x3 + 3x22 + 2x2 x3 ;

4)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 − 6x1x2 + 4x1x3 − x22 − 4x2 x3 −10x1x4 ;

5)Q(x1, x2 , x3, x4 ) = 2x12 − 5x1x3 + x22 − 3x32 + 6x2 x3 − 4x1x4 .

5.Найти все значения λ , при которых положительно определены следующие квадратичные формы:

1)Q(x1, x2 ) = 2λx12 + 6x1x2 − λx22 ;

2)Q(x1, x2 ) = 3x12 − λx1x2 + 8x22 ;

3)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + λx1x2 + λx1x3 − 2x22 + λx32 ;

4)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 − λx22 + 2λx1x3 + 6x32 ;

5)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 6x1x2 + λx22 + 2x2 x3 + 2x32 .

6.Найти ортогональную матрицу, приводящую квадратичную форму Q к каноническому виду, и записать этот канонический вид:

1)Q(x1, x2 ) = 8x1x2 + 6x22 ;

2)Q(x1, x2 ) =19x12 + 6x1x2 +11x22 ;

3)Q(x1, x2 ) = 5x12 + 4x1x2 + 8x22 ;

4)Q(x1, x2 ) = 5x12 − 4x1x2 + 2x22 ;

328

5)Q(x1, x2 ) = 7x12 + 4x1x2 + 4x22 ;

6)Q(x1, x2 ) = x12 + 8x1x2 + 7x22 ;

7)Q(x1, x2 ) = 8x12 + 3x1x2 + 4x22 ;

8)Q(x1, x2 ) = 2x12 + 22x1x2 + 3x22 ;

9)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 4x22 + x32 + 6x1x2 +12x1x3 + 6x2 x3 ;

10)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 + x22 + 3x32 − 42x2 x3 ;

11)Q(x1, x2 , x3 ) = 3x12 + 8x22 + 5x32 − 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2 x3 ;

12)Q(x1, x2 , x3 ) = 5x12 + 9x22 + 9x32 −12x1x2 − 6x1x3 ;

13)Q(x1, x2 , x3 ) = x1x2 + x2 x3 ;

14)Q(x1, x2 , x3 ) = 4x12 + x22 + 9x32 − 4x1x2 +12x1x3 − 6x2 x3 ;

15)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 5x22 + x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2 x3 ;

16)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 3x22 + x32 + 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2 x3 ;

17)Q(x1, x2 , x3 ) =11x12 + 5x22 + 2x32 +16x1x2 + 4x1x3 − 20x2 x3 ;

18)Q(x1, x2 , x3 ) = 5x12 + 2x22 + 2x32 − 2x1x2 + 2x1x3 − 4x2 x3 ;

19)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + x22 + 5x32 − 6x1x2 − 2x1x3 + 2x2 x3 ;

20)Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 + 2x22 + 5x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3 ;

21)Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 3x22 + x32 − 2x1x3 ;

22)Q(x1, x2 , x3 ) = 8x12 +10x22 + 2x32 − 8x1x2 − 8x2 x3 ;

23)Q(x1, x2 , x3 ) = 4x12 + 3x22 + 4x1x2 − 4x1x3 ;

24)Q(x1, x2 , x3 ) = 6x12 − 2x22 + 4x32 + 8x2 x3 ;

25)Q(x1, x2 , x3 ) = 4x12 + x22 + 4x1x3 + 4x2 x3 .

329

§ 5. Применение квадратичных форм к упрощению кривых и поверхностей второго порядка

10. Упрощение уравнений кривых второго порядка.

Уравнение кривой второго порядка имеет вид

a	x2 + 2a		xy + a	22	y2	+ a	x + a	y + a = 0 ,	(1)
11	12			22		13	23	33
где коэффициенты		a11, a12 , a22				одновременно в нуль			не

обращаются.

Отметим, что в §3.6 изложен геометрический подход к исследованию линий второго порядка, заданных уравнениями вида (1). Здесь уравнение (1) будем упрощать, используя теорию квадратичных форм двух переменных.

Первые три члена левой части уравнения (1) образуют квадратичную

форму двух переменных x1 = x, x2 = y :

Q(x, y) = a11x2 + 2a12 xy + a22 y2										(2)
с матрицей				æ a11		a12
				æ a11		a12		ö
			A = ç a			a	22	÷ .		(3)
				è	12		22	ø
Приведем ортогональным преобразованием форму (2),
согласно пункту 4.40, к каноническому виду:
Q1 (x¢, y¢) = λ1 (x¢)2 + λ2 ( y¢)2 ,										(4)
где λ1,λ2 – корни характеристического уравнения матрицы А:
			a11 - λ		a12			= 0 .		(5)
			a11 - λ		a12
			a12		a22 - λ
При таком ортогональном преобразовании уравнение (1) примет вид
¢	2	¢		2	¢	¢		¢ ¢	¢	(6)
λ1 (x )		+ λ2 ( y )			+ a13x		+ a23 y		+ a33 = 0 ,	(6)

где a13′ , a23′ , a33′ – вещественные числа.

Выделяя в левой части уравнения (6) полные квадраты, приводим его к каноническому виду, т.е. к виду из теоремы 1 §3.6.

Кривую второго порядка, определяемую уравнением (1),

называют центральной, если det A ¹ 0 , и нецентральной – в

случае det A = 0 .

330

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3833 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016260.1 Кб26Маргарин раздат.doc
#
25.11.20181.61 Mб18Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб115Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc