Математика для инженеров(практика) I часть
.pdf
|
|
|
|
æ |
-2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ -2c1 - c2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
= |
ç |
÷ |
|
Собственный |
|
вектор |
x |
3 |
|
найдем |
|
так, |
чтобы |
||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
1 |
÷ . |
|
|
|
|
= ç |
|
c1 |
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
c |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
векторы |
x2 |
и |
x3 |
были линейно независимы. При |
c |
= 0, c |
2 |
=1 |
имеем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
-1;0;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Получили |
три |
|
|
линейно |
независимых |
собственных вектора |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
= |
æ1ö |
, x |
2 |
|
æ -2ö |
3 |
|
æ -1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 -2 -1ö |
|||||||||||||||||
x |
|
ç |
|
2 |
÷ |
|
= ç |
1 |
÷, x |
|
|
= ç |
0 |
÷ . Составляем матрицу T = ç |
2 |
|
1 |
0 |
÷ . |
||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 0 1 |
÷ |
|||||||
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Находим T −1 = |
1 |
æ |
1 |
|
2 |
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
-2 |
2 |
-2 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
ç |
-1 |
-2 |
5 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Матрица T −1AT имеет диагональный вид. Действительно, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
æ 1 2 1 ö æ 5 -2 -1öæ |
1 -2 -1ö æ |
0 0 0ö |
.□ |
|||||||||||||||||||||||||
T |
AT |
= |
ç |
-2 2 |
-2 |
÷ ç |
-2 2 -2 |
֍ |
2 1 |
|
0 |
÷ |
ç |
0 6 0 |
÷ |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
ç |
÷ ç |
֍ |
|
÷ |
= ç |
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
-1 |
-2 5 |
ø è |
-1 |
-2 5 |
øè |
1 0 1 |
ø è |
0 0 6 |
ø |
|
|||||||||||||||||
Задания для самостоятельной работы
1.Является ли линейным преобразованием замена каждого вектора пространства его зеркальным отображением относительно координатной плоскости Oxz ?
2.Линейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости Oxy состоит в повороте каждого вектора против
часовой стрелки на угол ϕ = 56π . Записать матрицу оператора
2A−1 + E .
3.Линейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости Oxy состоит в повороте каждого вектора против
часовой стрелки на угол ϕ = 23π . Записать матрицу оператора
2A2 - 
3A - 2E .
4. Даны два линейных преобразования
311
y1 = 3x1 + 2x2 - x3, |
y1 = 6x1 - x2 + x3, |
y2 = 6x1 + x3, |
(А) и y2 = -x1 - x2 - x3, (В). |
y3 = -x2 + x3 |
y3 = -x3. |
Найти AB − BA . |
|
5. Даны линейные преобразования |
|
y1 = 4x1 + 2x2 - x3, |
y1 = x2 + x3, |
y2 = x1 - x2 + 2x3, |
(А) и y2 = x1 + 4x2 - x3, (В). |
y3 = x3 - x1 + x2 , |
y3 = 2x1 + 3x2. |
|
Найти AT B + 2BT A . |
|
x′ = 3x + 2y , y′ = 6x - 2y . Найти |
||||
6. |
Дано линейное преобразование |
||||||
|
обратное линейное преобразование. |
|
|
||||
7. |
Дано линейное преобразование |
x′ = 2x - 3y + z , |
y′ = 3x + 2y - z , |
||||
|
z = 3x − 2y . Найти обратное линейное преобразование. |
|
|||||
8. |
При |
каком |
значении |
λ |
линейное |
преобразование |
|
|
y1 = -3x1 + 2x2 - x3, y2 = 6x1 - λx2 + 3x3, y3 = x1 - x2 |
не |
имеет |
||||
|
обратного? |
|
λ |
|
|
|
|
9. |
При |
каком |
значении |
линейное |
преобразование |
||
y1 = 3x1 - x2 , y2 = x1 + x3, y3 = 6x1 - 7x2 + λx3 не имеет обратного?
10.Пусть |
в |
|
базисе B={e1,e2} |
|
|
линейное |
преобразование |
имеет |
||||||||||||||||||||||
матрицу |
|
|
A = (-31 |
02). Найти |
матрицу этого преобразования в |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
% |
|
1 |
|
2 |
} , где |
|
1 |
|
|
1 |
+ e |
2 |
, e |
2 |
|
|
1 |
- e |
2 |
. |
|
|
||||||
базисе B= |
{e ,e |
|
e |
= e |
|
|
|
= 2e |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
% |
% |
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.В |
базисе |
B={e1,e2} |
|
линейное |
|
преобразование имеет |
матрицу |
|||||||||||||||||||||||
A = (-63 |
|
12). |
Найти |
матрицу |
|
этого |
|
преобразования |
в |
базисе |
||||||||||||||||||||
% |
1 |
|
2 |
} |
, где |
|
1 |
1 |
- e |
2 |
, e |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B={e ,e |
|
e |
= 3e |
|
|
|
= 3e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
% |
% |
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. В |
базисе |
B={e1,e2} |
|
линейное |
|
преобразование имеет |
матрицу |
|||||||||||||||||||||||
|
æ1 |
|
2 |
ö |
Найти |
матрицу |
|
этого |
|
преобразования |
в |
базисе |
||||||||||||||||||
A = ç |
|
|
|
÷ . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
è3 |
|
-4ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
% |
1 |
|
2 |
} |
, где |
|
1 |
1 |
- e |
2 |
, e |
2 |
|
|
1 |
+ 2e |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
B={e ,e |
|
e |
= e |
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
% |
% |
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
312
13. Пусть в базисе B={e1,e2} линейное преобразование имеет матри-
цу A = |
æ1 |
|
1ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
0 |
|
|
÷ . Найти матрицу этого преобразования в базисе |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
è |
|
1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
% |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
- 3e |
2 |
, e |
2 |
|
= |
|
|
1 |
+ e |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
B={e ,e |
|
} , где e |
= 6e |
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
% |
% |
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14.В базисе |
B={e1,e2 ,e3} |
линейное преобразование имеет матрицу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ 3 |
|
|
1 |
|
2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = ç |
-3 |
|
0 |
|
1 |
÷ . Найти матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
A этого преобразования в базисе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
4 |
|
|
1 |
|
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
% |
|
1 |
|
2 |
,e |
3 |
}, где |
|
1 |
= |
1 |
|
|
2 |
, e |
2 |
= e |
2 |
|
+ e |
3 |
, e |
3 |
|
|
|
1 |
+ e |
2 |
+ e |
3 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
B={e ,e |
|
|
e |
|
2e - e |
|
|
|
|
|
|
= 3e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
% |
% |
|
% |
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15.В базисе |
B={e1,e2 ,e3} |
линейное преобразование имеет матрицу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ 4 |
|
1 |
|
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = ç |
-2 |
|
-1 |
0 |
÷ |
. Найти матрицу |
|
|
|
|
этого |
|
|
преобразования |
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
0 |
|
|
-2 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
è |
|
|
-1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
% |
|
|
1 |
|
2 |
,e |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
+ e |
2 |
, |
e |
2 |
= e |
2 |
, e |
3 |
|
1 |
+ 3e |
2 |
- e |
3 |
. |
|
|
|||||||||||||
базисе B={e ,e |
|
|
}, где e |
|
= e |
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
% |
% |
|
% |
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.В базисе |
B={e1,e2 ,e3} |
линейное преобразование имеет матрицу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ 1 |
|
|
-1 |
-2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = ç |
1 |
|
|
0 |
|
0 |
÷ |
. Найти матрицу |
|
|
|
|
этого |
|
|
преобразования |
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
-2 |
|
-2 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
базисе |
|
|
|
% |
|
|
1 |
|
2 |
,e |
3 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
- e |
2 |
, e |
2 |
|
1 |
- e |
2 |
|
+ 2e |
3 |
, |
||||||||||||||
|
|
|
B= |
{e ,e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
= e |
|
|
= e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
% |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e%3 = e1 + e2 .
17.В базисе B={e1,e2 ,e3} линейное преобразование имеет матрицу
æ 1 |
-3 |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-2 |
0 |
0 |
÷ |
Найти |
матрицу |
% |
этого |
преобразования |
в |
||||||||||||
A = ç |
÷ . |
A |
||||||||||||||||||||
ç |
1 |
-4 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
базисе |
% |
|
1 |
2 |
,e |
3 |
где |
1 |
1 |
+ e |
2 |
+ e |
3 |
, e |
2 |
= 3e |
2 |
+ e |
3 |
, |
||
B={e ,e |
|
|
e |
= e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
% % |
|
% |
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
e%3 = e1 - e3 .
313
18.В базисе |
B={e1,e2 ,e3} линейное преобразование имеет матрицу |
|||||
æ1 |
2 |
1 |
ö |
% |
||
A = ç |
2 |
1 |
0 |
÷ |
||
. Найти матрицу A этого преобразования в базисе |
||||||
ç |
3 |
4 |
1 |
÷ |
|
|
è |
ø |
|
||||
% |
|
1 |
|
2 |
,e |
3 |
} |
, где |
|
1 |
1 |
2e |
2 |
, e |
2 |
= e |
2 |
- 3e |
3 |
, e |
3 |
|
|
|
1 |
- 2e |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
B={e ,e |
|
|
e = e + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
% |
% |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
19.В базисе B={e1,e2 ,e3} |
линейное преобразование имеет матрицу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ6 |
|
|
5 |
|
0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = ç |
1 |
|
-2 |
|
3 |
÷ |
. Найти матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
A этого преобразования в базисе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
9 |
|
|
0 |
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
% |
|
1 |
|
2 |
,e |
3 |
} |
, где |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
, e |
2 |
= -3e |
2 |
+ e |
3 |
, |
e |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
. |
|
|
|||||||||||||
B={e ,e |
|
|
e = -e - e |
|
|
|
|
|
|
= -e - e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
% |
% |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20.В базисе |
B={e1,e2 ,e3} |
линейное преобразование имеет матрицу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ 2 |
|
-2 |
|
|
3 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ç |
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
÷ |
|
Найти |
матрицу |
|
% |
|
этого |
|
|
|
преобразования в |
||||||||||||||||||||||||||
A = ç |
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
A |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
2 |
|
|
1 |
|
|
-2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
% |
|
|
1 |
|
|
2 |
,e |
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
, |
e |
2 |
= e |
2 |
+ e |
3 |
, e |
3 |
|
1 |
+ 3e |
3 |
. |
||||||||||||||
базисе B={e ,e |
|
|
|
}, где e |
|
= e - e |
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
% |
|
% |
|
|
% |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21.В базисе |
B={e1,e2 ,e3} |
линейное преобразование имеет матрицу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ1 |
|
1 |
0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ç |
0 |
|
1 |
1 |
÷ |
. Найти матрицу |
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A = ç |
|
÷ |
A этого преобразования в базисе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
1 |
|
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
% |
|
1 |
|
2 |
,e |
3 |
} |
, где |
|
1 |
1 |
2e |
2 |
, e |
2 |
= -2e |
2 |
+ e |
3 |
, |
e |
3 |
|
1 |
- e |
3 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
B={e ,e |
|
|
e = e + |
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
% |
% |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22. Определить характеристические числа и собственные векторы
линейного преобразования с матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) |
æ 3 -5ö |
, |
2) |
æ |
6 |
-3ö |
, |
3) |
|
æ |
1 -2ö |
, |
|||||
A = ç |
|
|
÷ |
A = ç |
2 |
1 |
÷ |
A = ç |
-1 0 |
÷ |
|||||||
|
è -4 4 |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|||||
4) |
æ3 2 |
ö |
, |
|
5) |
æ |
1 |
3ö |
, |
|
6) |
|
æ |
2 -3ö |
, |
|
|
A = ç |
|
÷ |
|
A = ç |
|
÷ |
|
A = ç |
÷ |
|
|||||||
|
è6 2 |
ø |
|
|
|
è |
2 2ø |
|
|
|
|
è |
1 -2ø |
|
|
||
7) |
æ5 3 |
ö |
, |
8) |
æ6 4ö |
, |
|
|
æ -2 4 ö |
|
|
||||||
A = ç |
|
|
÷ |
A = ç |
|
÷ |
|
9) A = ç |
7 |
÷ . |
|
||||||
|
è1 |
-3ø |
|
|
è8 2ø |
|
|
|
è |
-5ø |
|
|
|||||
314
23. Определить спектр матрицы и собственные векторы A |
|
|
||||||||||||||||||
|
æ |
1 -3 4ö |
|
|
æ 4 -1 -2 |
ö |
|
æ |
1 0 1 ö |
|
|
|||||||||
|
ç |
4 |
-7 8 |
÷ |
, 2) A = |
ç |
2 1 -2 |
÷ |
|
ç |
÷ |
, |
|
|||||||
1) A = ç |
÷ |
ç |
÷ , 3) A = ç |
1 2 0 ÷ |
|
|||||||||||||||
|
ç |
6 -7 7 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
-1 1 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
|
||||||
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
è |
8 0 -1ø |
|
|
|||||||||
|
æ |
6 |
-5 -3ö |
|
æ 4 -5 7ö |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
3 |
-2 -2 |
÷ |
|
ç |
1 |
-4 9 |
÷ |
, |
6) |
|
|
|||||||
4) A = ç |
÷ |
, 5) A = ç |
÷ |
|
|
|||||||||||||||
|
ç |
2 |
-2 0 |
÷ |
|
ç |
-4 0 5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||
æ 1 |
|
2 |
0 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ç |
0 |
|
2 |
0 |
÷ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ç |
-2 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
-2 -1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
æ |
1 |
3 6ö |
|
|
æ |
2 0 -6ö |
|
|
|
æ |
4 -1 0 ö |
|
|||||||
|
ç |
3 |
4 3 |
÷ |
|
|
ç |
1 3 -2 |
÷ |
, |
|
ç |
|
÷ |
, |
|||||
7) A = ç |
÷ |
, 8) A = ç |
÷ |
|
9) A = ç |
3 1 -1÷ |
||||||||||||||
|
ç |
6 |
3 1 |
÷ |
|
|
ç |
-1 0 1 |
÷ |
|
|
|
ç |
1 0 1 |
÷ |
|
||||
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
||||||||
|
|
æ |
5 -2 1ö |
|
|
|
|
æ5 2 1 ö |
|
æ5 2 1 ö |
|
|||||||||||||||||
10) A = |
ç |
-2 |
1 |
|
0 |
÷ |
, |
11) A = |
ç |
2 |
|
0 |
|
-4 |
÷ |
|
ç |
2 |
|
-3 |
-4 |
÷ |
, |
|||||
ç |
|
÷ |
ç |
|
|
÷ , 12) A = |
ç |
|
÷ |
|||||||||||||||||||
|
|
ç |
1 0 3 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
1 |
|
-4 3 |
÷ |
|
ç |
1 |
|
-4 3 |
÷ |
|
||||||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
è |
|
ø |
|
|||||||||||||
|
|
æ |
6 -4 -2ö |
|
|
|
|
|
æ8 0 2ö |
|
|
æ |
4 0 2ö |
|
|
|||||||||||||
13) A = |
ç |
-4 |
1 |
|
-2 |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
0 |
4 |
0 |
÷ |
, 15) A |
|
ç |
0 |
1 |
2 |
÷ |
, |
|
|||
ç |
|
÷ |
, 14) A = ç |
÷ |
= ç |
÷ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ç |
-2 -2 4 |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
2 0 5 |
÷ |
|
|
ç |
2 2 0 |
÷ |
|
|
|||||||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
||||||||||||
|
|
æ |
6 |
0 |
0 |
ö |
|
|
|
|
æ 3 |
|
4 |
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16) A = |
ç |
0 -2 |
4 |
÷ |
, |
17) A = |
ç |
1 |
|
6 |
2 |
÷ |
|
|
18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ç |
÷ |
ç |
|
÷ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ç |
0 4 4 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
4 1 |
-2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
æ 2 |
|
-4 |
-2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ç |
1 |
|
2 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ç |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
-4 |
|
0 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
A состоит в повороте пространства на |
|||||||||||||||||||||
24. Линейное преобразование |
||||||||||||||||||||||||||||
угол |
π |
|
вокруг |
оси |
Oz . |
|
Найти |
характеристические |
числа |
|
и |
|||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственные векторы этого преобразования.
315
25. |
Линейное преобразование |
A состоит в повороте пространства на |
|||||
|
угол |
π |
вокруг оси |
Ox . |
Найти характеристические |
числа |
и |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
собственные векторы этого преобразования. |
|
|
||||
26. |
Линейное преобразование |
A состоит в повороте пространства на |
|||||
|
угол |
5π |
вокруг оси |
Oz . |
Найти характеристические |
числа |
и |
|
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
собственные векторы этого преобразования.
27.Определить невырожденную матрицу T , приводящую матрицу A
кдиагональному виду. Записать этот вид, если
1) A = |
æ |
9 1ö |
, |
|
2) A |
æ 6 2 ö |
|
3) |
æ -6 1 ö |
|
|
|
|
|||||
ç |
|
÷ |
|
= ç |
÷ , |
|
A = ç |
4 |
÷ , |
|
|
|
|
|||||
|
è |
5 5ø |
|
|
|
è12 |
-4ø |
|
|
è |
-3ø |
|
|
|
|
|||
4) A = |
æ |
-1 1ö |
, |
5) A |
æ -10 2 ö |
, |
6) |
æ 2 7 ö |
|
|
|
|
|
|||||
ç |
7 5 |
÷ |
= ç |
÷ |
A = ç |
|
÷ , |
|
|
|
|
|
||||||
|
è |
ø |
|
|
è 4 |
-12ø |
|
|
è |
2 15ø |
|
|
|
|
|
|||
7) A = |
æ |
-2 2ö |
, |
8) A |
æ 6 -7ö |
|
9) |
æ -4 5 ö |
|
|
|
|
||||||
ç |
|
|
÷ |
= ç |
÷ , |
|
A = ç |
-14 15 |
÷ . |
|
|
|
|
|||||
|
è |
12 3ø |
|
|
è -3 10 ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|||||
28.Привести матрицу A к диагональному виду, если |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) A = |
æ |
-8 6ö |
, |
2) A |
æ8 12ö |
|
3) |
æ13 4 ö |
, |
|
|
|
|
|||||
ç |
4 2 |
÷ |
= ç |
÷ , |
|
A = ç |
|
÷ |
|
|
|
|
||||||
|
è |
ø |
|
|
è3 3 ø |
|
|
è |
5 21ø |
|
|
|
|
|
||||
4) A = |
æ |
2 |
9ö |
, |
|
|
|
æ 2 |
7ö |
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
ç |
4 |
÷ |
|
|
5) A = ç |
÷ , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
è |
7ø |
|
|
|
|
è6 |
3ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
|
3 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ç |
|
-2 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è6 |
|
ø |
|
|
|
T , |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
29.Найти |
|
преобразование |
приводящее |
матрицу |
|
|
|
к |
||||||||||
диагональному виду. Записать этот вид, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
æ |
8 -4 -2ö |
æ |
0 2 0 ö |
|
æ |
8 0 3 ö |
|
||||||||||
1) A = |
ç |
-2 6 |
4 |
÷ |
ç |
4 -2 0 |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
, |
|||
ç |
÷ , 2) A = ç |
÷ , 3) A = ç -1 3 0 |
|
÷ |
||||||||||||||
|
ç |
2 -2 3 |
÷ |
ç |
3 0 -2 |
÷ |
|
ç |
4 0 -3 |
÷ |
|
|||||||
|
è |
ø |
è |
ø |
|
è |
ø |
|
||||||||||
|
æ |
1 -4 3 ö |
|
æ -7 -4 2 ö |
|
æ |
2 0 2ö |
|
|
|
||||||||
4) A = |
ç |
0 3 |
|
÷ |
|
ç |
|
|
÷ |
|
ç |
0 6 2 |
÷ |
, |
|
|||
ç |
|
0 ÷ |
, 5) A = ç |
1 -3 -1÷ , 6) A = ç |
÷ |
|
||||||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
ç |
-4 2 6 |
÷ |
|
ç |
4 0 0 |
÷ |
|
|
|
||
|
è |
0 -2 -1ø |
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||
316
æ |
2 |
5 |
1ö |
|
æ0 -2 -4 |
ö |
æ |
2 |
4 |
2ö |
|||||
ç |
0 |
1 |
0 |
÷ |
, |
ç |
4 |
-6 |
-5 |
÷ |
ç |
1 |
3 |
0 |
÷ |
7) A = ç |
÷ |
8) A = ç |
÷ |
, 9) A = ç |
÷ . |
||||||||||
ç |
4 |
0 |
2 |
÷ |
|
ç |
4 |
-2 |
3 |
÷ |
ç |
4 |
4 |
2 |
÷ |
è |
ø |
|
è |
ø |
è |
ø |
|||||||||
§ 4. Квадратичные формы и их матрицы
10. Понятие квадратичной формы. Квадратичной формой n действительных переменных x1, x2 ,K, xn называется выражение
Q(x) = Q(x1, x2,K, xn ) = a11x12 + a12x1x2 +K+ a1n x1xn + a21x2x1 +
+a22x22 +K+ a2n x2xn +K+ an1xnx1 + an2xn x2 |
+K+ annxn2 = ååaij xi xj , (1) |
|
n n |
|
i=1 j=1 |
где вещественные числа aij называются коэффициентами
квадратичной формы.
Квадратичную форму (1) всегда можно представить так, чтобы коэффициенты при xi x j и x j xi были равны между собой.
Действительно, имеем
aij xi x j + a ji x j xi = (aij + a ji )xi x j = 12 (aij + a ji )xi x j + 12 (aij + a ji )x j xi .
Поэтому в дальнейшем будем считать, что в квадратичной форме (1)
aij = a ji . |
(2) |
Из коэффициентов квадратичной формы составим симметрическую матрицу
æ a11 |
a12 |
K a1n ö |
|
|
||
ç a |
a |
K a |
÷ |
, |
(3) |
|
A = ç |
12 |
22 |
|
2n ÷ |
||
ç |
K |
K |
K K ÷ |
|
|
|
ç |
|
a2n |
|
÷ |
|
|
è a1n |
K ann ø |
|
|
|||
которую назовем матрицей квадратичной формы.
Обратно, всякой симметрической матрице (3) соответствует единственная квадратичная форма (1) с точностью до обозначения переменных x1, x2 ,K, xn .
Рангом r квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных (1) называется
317
невырожденной, если ее матрица А невырождена, т. е. r = n , |
и |
|||||||||||
вырожденной, если r < n . |
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть x = col(x1; x2;K; xn ) – столбец, тогда xT = (x1; x2 ;K; xn ) |
– |
||||||||||
строка. Имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) = xT Ax . |
(1΄) |
|||
|
Пример 1. Записать матрицу квадратичной формы Q(x1, x2 , x3 ) = |
|||||||||||
= 2x2 |
- 6x x |
2 |
+ 4x x - 6x2 +11x2 |
и найти ее ранг. |
|
|||||||
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
|
Решение. Здесь a11 = 2,a12 = -3,a13 = 0,a22 = -6,a23 = 2,a33 =11 . |
|||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-3 |
0 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-3 |
-6 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ç |
2 ÷ . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 11ø |
|
||
|
Определитель этой матрицы |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
2 |
-3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= |
-3 |
-6 |
2 |
= -132 - 99 - 8 = -239 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
11 |
|
|
|
Так как det A ¹ 0 ,то ранг матрицы А равен трем, т. е. r = 3.□
В квадратичной форме (1΄) перейдем к новым переменным
y1, y2 ,K, yn |
по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ì x1 = c11 y1 + c12 y2 +K+ c1n yn , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ïx = c y + c y |
2 |
+K+ c |
|
y |
n |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
2 |
21 1 |
22 |
|
2n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
í |
........................................ , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï x = c y + c |
|
y |
2 |
+K+ c |
nn |
y |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
î |
n |
n1 |
1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||
или в матричной форме |
|
x = Cy , |
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
æ y1 |
ö |
|
æ c11 c12 |
K c1n ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ç y |
2 |
÷ |
, |
çc |
c |
K c |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где y = ç |
|
÷ |
C = ç |
21 |
22 |
K |
2n ÷ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ç |
M |
÷ |
|
ç |
K |
K |
K ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
|
|
÷ |
|
ç |
|
cn2 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è yn |
ø |
|
è cn1 |
K cnn ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда получим квадратичную форму |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
T |
By |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Q( y) = y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
318
n переменных y1, y2 ,K, yn , где B = CT AC .
Квадратичные формы (1’) и (5) называют конгруэнтными, если det C ¹ 0 .
20. Канонические и нормальные квадратичные формы.
Квадратичная форма Q(x) называется канонической, если она
не содержит произведений различных переменных, т. е. имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) = Q(x1, x2 ,K, xr ) = åaii xi2 , |
(6) |
||
где r ≤ n . |
|
i=1 |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
Каноническая |
квадратичная |
форма |
называется |
||||
нормальной, |
|
|
|
||||||
если |
|
aii |
|
= 1,i = |
|
, т. е. |
отличные от |
нуля коэффициенты при |
|
|
|
1, r |
|||||||
квадратах переменных равны +1 или –1.
Пример 2. Определить вид следующих квадратичных форм:
а) Q(x1, x2 , x3, x4 ) = 3x12 − 7x22 + 5x42 ;
б) Q(x1, x2 , x3, x4 ) = x12 − x32 + x42 .
Решение: а) данная квадратичная форма имеет канонический вид, т.к. она не содержит произведений различных элементов;
б) |
квадратичная форма имеет нормальный вид, т.к. a11 =1, |
a22 = 0, |
a33 = −1, a44 =1. □ |
Любая квадратичная форма невырожденным преобразованием (4) может быть приведена к каноническому или нормальному виду.
Пример 3. Привести к нормальному виду квадратичную форму
Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 + 27x22 + 36x32 .
Решение. |
Преобразуем |
данную квадратичную форму так: |
|||||||||||
Q(x1, x2 , x3 ) = ( |
|
x1 )2 + (3 |
|
x2 )2 + (6x3 )2 . С |
помощью |
замены |
|||||||
2 |
3 |
||||||||||||
переменных |
y1 = |
|
x1 , |
y2 = 3 |
|
x2 , |
y3 = 6x3 |
квадратичная форма |
|||||
2 |
3 |
||||||||||||
приводится |
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
нормальному |
виду |
|
Q(x1, x2 , x3 ) |
% |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ y2 + y3 . □ |
|
|
|||||
Q( y1, y2 , y3 ) = y1 |
|
|
|||||||||||
319
Пример 4. Привести к каноническому виду квадратичную
форму Q(x1, x2 , x3 ) = 2x12 + 4x1x2 + 3x22 + 4x2 x3 + 4x32 . |
|
|
Решение. Преобразуем |
данную квадратичную |
форму |
следующим образом: |
|
|
Q(x1, x2 , x3 ) = 2(x12 + 2x1x2 + x22 ) + x22 + 4x2 x3 + 4x32 = |
|
|
= 2(x1 + x2 )2 + (x2 + 2x3 )2. |
|
|
Сделаем замену переменных y1 = x1 + x2 , y2 = x2 + 2x3, |
y3 = x3 . |
|
Тогда квадратичную форму |
Q(x1, x2 , x3 ) можно записать в |
|
эквивалентном ей каноническом виде
Q(x1, x2 , x3 ) Q% ( y1, y2 , y3 ) = 2y12 + y22 . □
30. Знакоопределенные квадратичные формы.
Квадратичная форма (1) называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов, т.е.
Q(x1, x2 ,K, xn ) ~ Q% ( y1, y2 ,K, yn ) ,
где
% |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
, y2 |
,K, yn ) = y1 |
+ y2 |
+K+ yn . |
(7) |
||
Q( y1 |
Таким образом, квадратичная форма (1) является положительно определенной тогда и только тогда, когда она принимает только положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных x1, x2 ,K, xn .
Главными минорами квадратичной формы (1) называют миноры порядка 1, 2,K, n ее матрицы А, расположенные в левом
верхнем углу, т.е. числа
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
K a1n |
|
|
a |
, |
|
a11 |
a12 |
|
,K, |
a21 |
a22 |
K a2n |
. |
(8) |
|
|
|
|||||||||||
11 |
|
|
a |
21 |
a |
|
|
K |
K |
K K |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
an1 |
an2 |
K ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Критерий Сильвестра. Квадратичная форма (1) является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры (8) положительны.
Пример 5. Являются ли положительно определенными следующие квадратичные формы : а) Q(x1, x2 ) = 29x12 −15x1x2 + 7x22 ;
320