Математика для инженеров(практика) I часть

Решение. а) тождественное преобразование не меняет базисных

векторов, т.е. выполняется равенство A(ei ) = ei¢, i =1,n . В координатной форме эти равенства имеют вид

e1¢ =1×e1 + 0×e2 +K + 0×en , e2¢ = 0 ×e1 +1×e2 +K + 0 ×en ,

K K K K K K K

en¢ = 0 ×e1 + 0 ×e2 +K+1×en.

Следовательно, матрицей тождественного преобразования

Пример 5. В четырехмерном линейном пространстве V

y1 = A(e1) = 2e3 + 3e4 , y2 = A(e2 ) = 5e1 - e4 , y3 = A(e3 ) = e1 + 2e2 ,

y4 = A(e4 ) = 2e2 + e3 . Записать этот оператор в координатной форме.

Решение. Согласно формуле (3) данный оператор в координатной форме имеет вид

y1 = 2x3 + 3x4 , y2 = 5x1 - x4 , y3 = x1 + 2x2 , y4 = 2x2 + x3. □

291

Пример 6. Линейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости Oxy состоит в повороте каждого вектора

против часовой стрелки на угол ϕ . Найти матрицу этого

преобразования.

Решение. Каждому вектору x этой плоскости поставим в соответствие вектор y = A(x) , который получен поворотом вектора x на один и тот же угол ϕ . Такое преобразование линейно, так как условия (1) выполнены. Найдем матрицу этого преобразования в базисе i , j .

30. Действия над линейными операторами. Из пункта 20

вытекает, что каждая квадратная матрица порядка n задает некоторый оператор А n-мерного линейного пространства V и наоборот.

Это обстоятельство позволяет на множестве линейных операторов определить операции, аналогичные операциям на множестве матриц.

Пусть A :V → V , B :V → V – два линейных оператора.

292

соответствие вектор C(x) = A(x) + B(x) V. Если в пространстве V

задан базис, то матрица оператора С в заданном базисе равна сумме матриц операторов А и В в этом базисе.

оператора α A в заданном базисе равна произведению матрицы оператора А на число α .

Результат последовательного использования двух линейных операторов A :V → V , B :V → V называют их произведением и обозначают B o A или BA (оператор, который выполняется первым, записывают с правой

стороны), т.е. (B o A)(x) = B ( A(x)). Если в пространстве V задать базис и

обозначить через А матрицу оператора А, а через В матрицу оператора В в этом базисе, то матрица оператора B o A в том же базисе равна произведению

Пример 8. Даны два линейных преобразования

293

294