Математика для инженеров(практика) I часть
.pdfРешение. а) тождественное преобразование не меняет базисных
векторов, т.е. выполняется равенство A(ei ) = ei¢, i =1,n . В координатной форме эти равенства имеют вид
e1¢ =1×e1 + 0×e2 +K + 0×en , e2¢ = 0 ×e1 +1×e2 +K + 0 ×en ,
K K K K K K K
en¢ = 0 ×e1 + 0 ×e2 +K+1×en.
Следовательно, матрицей тождественного преобразования
является единичная матрица |
|
|
|
|
|
æ 1 |
0 |
... |
0 |
ö |
|
ç |
0 |
1 |
... |
0 |
÷ |
A = ç |
÷ . |
||||
ç... |
... |
... |
...÷ |
||
ç |
0 |
0 |
... |
1 |
÷ |
è |
ø |
б) аналогично пункту а), |
для любого x должно выполняться |
||||||
равенство A(ei ) = αei¢, i = |
|
. |
Матрица |
преобразования подобия |
|||
1,n |
|||||||
имеет вид |
æα |
|
|
|
|
||
|
0 |
... |
0 ö |
|
|||
|
ç |
0 |
|
α |
... |
÷ |
|
A = |
ç |
|
0 ÷ |
. □ |
|||
ç... |
... |
... |
...÷ |
||||
|
ç |
0 |
|
0 |
... |
÷ |
|
|
è |
|
α ø |
|
Пример 5. В четырехмерном линейном пространстве V
имеется линейный оператор А, переводящий базис |
e1,e2 ,e3,e4 в |
систему |
векторов |
y1 = A(e1) = 2e3 + 3e4 , y2 = A(e2 ) = 5e1 - e4 , y3 = A(e3 ) = e1 + 2e2 ,
y4 = A(e4 ) = 2e2 + e3 . Записать этот оператор в координатной форме.
Решение. Согласно формуле (3) данный оператор в координатной форме имеет вид
y1 = 2x3 + 3x4 , y2 = 5x1 - x4 , y3 = x1 + 2x2 , y4 = 2x2 + x3. □
291
Пример 6. Линейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости Oxy состоит в повороте каждого вектора
против часовой стрелки на угол ϕ . Найти матрицу этого
преобразования.
Решение. Каждому вектору x этой плоскости поставим в соответствие вектор y = A(x) , который получен поворотом вектора x на один и тот же угол ϕ . Такое преобразование линейно, так как условия (1) выполнены. Найдем матрицу этого преобразования в базисе i , j .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
||||||||||
На основании рис.1 запишем: |
|||||||||||||||||||||
|
A( |
|
|
) = |
|
|
|
+ |
|
|
|
1 = cosϕ |
|
|
|
+ sinϕ |
|
|
, |
||
|
|
|
OA1 |
OB |
|||||||||||||||||
|
|
i |
i |
j |
|||||||||||||||||
|
A( |
|
) = |
|
+ |
|
= -sinϕ |
|
+ cosϕ |
|
. |
||||||||||
|
|
|
OC |
OP |
|||||||||||||||||
|
j |
i |
j |
||||||||||||||||||
Поэтому |
æcosϕ |
|
|
|
-sinϕ ö |
||||||||||||||||
A = ç |
|
|
|
|
|
÷ . □ |
|||||||||||||||
|
è sinϕ |
|
|
|
cosϕ ø |
30. Действия над линейными операторами. Из пункта 20
вытекает, что каждая квадратная матрица порядка n задает некоторый оператор А n-мерного линейного пространства V и наоборот.
Это обстоятельство позволяет на множестве линейных операторов определить операции, аналогичные операциям на множестве матриц.
Пусть A :V → V , B :V → V – два линейных оператора.
Суммой операторов А и |
В называют линейный |
оператор |
C = A + B :V → V , который |
каждому вектору x V |
ставит в |
292
соответствие вектор C(x) = A(x) + B(x) V. Если в пространстве V
задан базис, то матрица оператора С в заданном базисе равна сумме матриц операторов А и В в этом базисе.
|
Произведением линейного |
оператора A :V → V на число |
α |
называют оператор B :V → V , который каждому вектору |
|
x V |
ставит в соответствие |
вектор α A(x) = B (x) . Матрица |
оператора α A в заданном базисе равна произведению матрицы оператора А на число α .
Результат последовательного использования двух линейных операторов A :V → V , B :V → V называют их произведением и обозначают B o A или BA (оператор, который выполняется первым, записывают с правой
стороны), т.е. (B o A)(x) = B ( A(x)). Если в пространстве V задать базис и
обозначить через А матрицу оператора А, а через В матрицу оператора В в этом базисе, то матрица оператора B o A в том же базисе равна произведению
матриц В и А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Произведение операторов чаще называют композицией или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
суперпозицией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 7. |
Преобразование |
A состоит в повороте каждого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора плоскости Oxy на угол |
|
π |
|
вокруг начала координат. |
Записать |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицу оператора A + 2E . |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Решение. Используя результаты |
примера 6, |
получаем, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
π |
|
æ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
æ |
|
-sin |
ö |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
çcos |
3 |
3 |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A = ç |
|
|
|
÷ = ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ç |
|
π |
|
π |
÷ |
ç |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç sin |
3 |
cos |
|
3 |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
è |
|
|
|
ø |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
æ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
3 |
|
|
|
- |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
÷ |
æ1 |
0 |
ö |
ç |
|
2 |
|
|
2 |
÷ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
A + 2E = ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
+ 2ç |
|
÷ |
= ç |
|
|
|
|
÷ |
.□ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
÷ |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
÷ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
è0 1 |
ø |
ç |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
Пример 8. Даны два линейных преобразования
293
|
|
y1 = x1 + 3x2 + 5x3, |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
= x |
+ 3x + |
11 |
x , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y2 = 3x1 + 5x2 + 7x3, (А) и y2 = 5x1 - 4x2 + 7x3, |
|
|
(В) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y3 = 9x1 + 8x2 + 7x3 |
|
|
|
|
|
|
|
y3 = |
23 |
x1 +10x2 |
|
+15x3. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Найти 2A − 3B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. |
|
Матрицы линейных преобразований соответственно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
|
|
3 |
11ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
æ1 |
3 |
5ö |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
равны |
ç |
3 |
5 |
7 |
÷ |
|
|
ç |
|
5 |
|
|
-4 |
|
|
÷ |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A = ç |
÷, B = |
ç |
|
|
|
7 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
9 |
8 |
7 |
÷ |
|
|
ç |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
è |
ø |
|
|
ç |
|
10 |
15 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
|
|
3 |
|
|
11ö |
|
|
æ |
-1 |
|
|
-3 - |
13 |
ö |
|
|||||||||||
|
|
|
|
æ1 3 5ö |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
2A - 3B = |
ç |
3 5 7 |
÷ |
|
|
ç |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
= |
ç |
-9 |
|
|
22 |
|
÷ |
. □ |
||||||||||||||||
2ç |
÷ - 3ç |
|
|
-4 7 |
÷ |
|
ç |
|
|
-7 |
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ç |
9 |
8 |
7 |
÷ |
|
|
ç |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
ç |
|
10 |
|
|
15 ÷ |
|
|
ç - |
|
-14 |
-28 |
÷ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
||||
|
Пример 9. Даны линейные преобразования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y1 = x1 + 2x2 , |
|
|
|
|
|
|
y1 = x2 + 2x3, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 = x2 + 2x3, (А) и y2 = x1 - x3, |
|
|
|
(В) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y3 = x3 - x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 = 2x1 + 4x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Найти AB, BA . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. |
|
|
Матрицы |
|
|
данных |
|
|
|
|
линейных |
|
преобразований |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 |
|
|
2 |
0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ0 |
1 |
|
|
2 ö |
|
|
|
|
|
||||||||
соответственно равны |
A = |
ç |
|
0 |
|
|
1 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
0 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ç |
|
|
|
÷ |
, B = ç |
|
|
-1÷ . Тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è -1 0 1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 4 0 ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
æ |
1 2 0öæ0 1 2 |
ö æ |
2 1 0 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
AB = |
ç |
0 1 2 |
֍ |
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
5 8 -1 |
÷ |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ç |
֍ |
1 0 -1÷ |
= ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ç |
-1 0 1 |
֍ |
2 4 0 |
÷ |
|
ç |
2 3 -2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
è |
øè |
ø è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
294
|
æ |
0 1 2 öæ 1 2 0 |
ö æ-2 1 4 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
֍ |
0 1 2 |
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
BA = ç |
1 0 -1֍ |
÷ = |
ç |
|
2 2 -1÷ . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
2 4 0 |
֍ |
-1 0 1 |
÷ |
|
|
ç |
|
2 8 8 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
øè |
ø è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 10. Линейное преобразование |
|
|
|
A состоит в повороте |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вокруг начала координат на угол π |
|
каждого вектора плоскости Oxy . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу преобразования 2A2 - |
|
|
|
|
|
A + 3E . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. По формуле преобразования поворота (см. пример |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π ö |
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-sin |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çcos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
6), получаем A = ç |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ÷ = |
ç |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
÷ . Матрица искомого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
÷ |
|
ç |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç sin |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
6 |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
преобразования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ö2 |
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
- |
|
|
3 |
- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
æ1 0 |
ö |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2A2 - 3A + 3E = 2ç 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ÷ |
|
|
- 3 ç 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
÷ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3ç |
÷ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
÷ |
|
|
|
è0 1 |
ø |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
æ |
|
|
|
|
|
|
|
ö |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||
1 |
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 0ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ç |
|
÷ - ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ + |
|
|
|
= ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
3ç |
0 1÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. □ |
|
||||||||||||||||
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
è |
|
ø |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Если для линейного преобразования с матрицей A найдутся такие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейные преобразования |
|
|
с матрицами В и С, что BA = E, |
AC = E ( E – |
единичная матрица), то B = C . В этом случае обозначают B = C = A−1 , а
295
линейное преобразование с матрицей A−1 называют обратным
линейным преобразованием по отношению к линейному преобразованию
с матрицей A . Таким образом A−1A = AA−1 = E .
Ясно, что каждое невырожденное преобразование с
матрицей A имеет обратное преобразование с матрицей притом только одно.
Пример 11. Дано линейное преобразование x′ = 2x y′ = x + 3y . Найти обратное линейное преобразование.
A−1 и
+ 2y ,
|
|
Решение. Матрица данного преобразования A = |
æ 2 |
|
2ö |
. Для |
||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è1 |
|
3ø |
|
||
этой матрицы |
|
A |
|
= 4, A11 = 3, A12 = -1, A21 = -2, A22 = 2 . |
|
|
Тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
матрица обратного |
|
|
|
линейного преобразования |
æ |
3 |
|
- |
1 ö |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
æ 2 2ö−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A− |
|
1 |
|
æ A A ö |
1 |
æ 3 -2ö |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
= ç1 3÷ |
= |
A |
|
ç A A |
÷ |
= 4 |
ç |
-1 2 ÷ |
= ç |
|
|
1 1 ÷ . |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
21 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
è 12 |
22 ø |
|
|
è |
ø |
ç |
- |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
4 |
|
|
|
|
÷ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
2 ø |
|
||||||
|
|
Отсюда обратное |
|
|
линейное |
преобразование |
|
|
имеет |
вид |
||||||||||||||||||||
x = |
3 |
x¢ - |
1 |
y¢ , y |
= - |
1 |
x¢ + |
1 |
y¢. □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример 12. Линейное преобразование A состоит в повороте |
||||||||||||||||||||||||||||
каждого вектора плоскости Oxy |
на угол π |
вокруг начала координат. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти матрицу A−1 .
Решение. Матрица преобразования поворота вокруг начала координат на угол π3 имеет вид
296
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
æ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
-sin |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
çcos |
3 |
|
|
3 |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
A = ç |
|
|
|
|
|
÷ = |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
π |
|
|
|
|
π |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç sin |
3 |
|
|
|
cos |
|
3 |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Для этой матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, A = |
|
|
|
|
|
, A = |
1 |
. |
||||||||||||||||||
|
A |
|
|
=1, A = |
, A = - |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
2 |
|
22 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда матрица обратного преобразования |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö−1 |
æ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
- |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
A−1 = ç |
|
|
|
÷ |
= |
ç |
|
|
|
|
|
÷ . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ç |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 13. При каком значении λ линейное преобразование
y1 = -2x1 + x2 + x3, y2 = x1 - 2x2 + x3, y3 = x1 + x2 + λx3 |
не |
имеет |
||||||
обратного? |
|
|
Матрица |
преобразования |
имеет |
вид |
||
|
Решение. |
|
||||||
æ -2 |
1 |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
ç |
1 |
-2 |
1 |
÷ |
. Это линейное преобразование не имеет обратного, |
|||
A = ç |
÷ |
|||||||
ç |
1 |
1 |
λ |
÷ |
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
если det A = 0 , т.е. det A = 4λ +1+1+ 2 − λ + 2 = 3λ + 6 = 0 при λ = −2 .
□
297
40. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных
базисах. Пусть в n -мерном линейном пространстве V заданы два базиса
Β = { e1,e2 ,K,en } и Β% = { e%1,e%2 ,K,e%n } ; первый из них назовем старым, а
второй – новым. Обозначим через Т линейное преобразование,
переводящее базис Β в Β% .
Если A – матрица линейного преобразования в старом
базисе Β , то матрица A% этого преобразования в новом базисе Β% имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
−1 |
AT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Отметим, что в случае, когда существует некоторая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрица T такая, что выполняется соотношение (4), матрицы A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и A называют подобными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
14. |
|
|
Пусть |
в |
|
|
базисе |
|
|
|
|
B={e1,e2} |
|
|
линейное |
|||||||||||||||||||||||||||||||
преобразование |
имеет матрицу |
|
A = |
æ1 |
2 |
ö |
|
|
Найти |
матрицу |
|
|
этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
4 |
÷ . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
è3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
1 |
|
2 |
, где |
1 |
|
|
|
1 |
+ 3e |
2 |
, e |
2 |
= |
1 |
- e |
2 |
. |
||||||||||||||||||
преобразования в базисе B={e ,e |
|
e = e |
|
|
|
|
2e |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 |
|
|
2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 2 ö |
|
|
|
|
|
1 |
æ -1 -2ö |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T = ç |
|
÷, T −1 = - |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
= ç |
|
|
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è3 |
-1ø |
|
|
|
|
|
7 |
è -3 1 |
ø |
ç |
3 |
|
|
- |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Тогда по формуле (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 7 |
|
|
|
|
7 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
æ 1 2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 2 ö |
|
|
|
|
|
|
æ 37 4 ö |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
æ |
1 2öæ1 2 |
ö |
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
æ |
7 0ö |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||||||||
% |
−1 |
AT |
7 7 |
|
|
|
7 7 |
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
A = T |
|
= ç |
3 |
|
|
|
1 |
÷ |
ç |
֍ |
3 |
|
|
÷ |
= ç |
3 |
|
|
|
1 |
÷ |
ç |
|
|
|
÷ = ç |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
÷ . □ |
|||||||||||
|
|
|
ç |
|
- |
֏ |
3 4øè |
-1ø |
|
|
ç |
|
- |
֏15 2 |
ø |
ç |
|
|
|
|
- |
2 ÷ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
è 7 |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è 7 |
|
|
|
7 ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
7 ø |
Пример 15. Пусть в базисе B={e1,e2 ,e3} линейное преобразо-
298
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
- |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
вание имеет матрицу |
A = ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0÷ . Найти матрицу |
A этого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
}, |
|
ø |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,e |
|
где |
|
|
, e |
= e |
+ e |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
преобразования в базисе B={e ,e |
|
|
|
|
|
|
e |
= e - e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
% |
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
%3 |
1 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
= e - e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 -1 |
|
|
|
0 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ 1 1 1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T = |
ç |
0 1 |
|
|
|
|
1 ÷ |
, T −1 = |
ç |
-1 1 1 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 0 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
-1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 1 -1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
По формуле (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
- |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 1 1 1 |
ö |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
æ1 -1 0 |
ö |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
% |
|
|
−1 |
|
|
1 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A = T |
|
AT |
= |
|
ç |
-1 1 1 |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0÷ |
ç |
0 1 1 |
÷ |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
1 0 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
-1ø |
ç |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
è |
|
|
-1ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
- |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1+ |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ÷. |
□ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
- |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
50. Собственные векторы и собственные значения линейного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оператора. Пусть A – линейный |
|
|
|
оператор |
|
в n -мерном линейном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве V , определяемый матрицей A порядка n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
299
Собственным вектором данного линейного оператора (матрицы A ) называется такой ненулевой вектор x V , который удовлетворяет условию
Ax = λx , |
(5) |
причем λ – действительное число, |
называемое собственным |
числом или собственным значением оператора A (матрицы A ).
Пример 16. Показать, что любой ненулевой n -вектор x является собственным вектором линейного оператора n -мерного пространства, определяемого единичной матрицей E , при этом собственные значения равны единице.
Решение. По правилам умножения матриц имеем:
æ 1 |
0 |
K 0 öæ x |
ö |
æ x |
ö |
|
||
ç |
0 |
1 |
K 0 |
֍ x12 |
÷ |
ç x12 |
÷ |
. □ |
Ex = çK K K K÷çK÷ |
= çK÷ |
|||||||
ç |
0 |
0 |
K 1 |
֍ x |
÷ |
ç x |
÷ |
|
è |
|
|
|
øè n |
ø |
è n |
ø |
|
Собственные векторы и собственные значения удовлетворяют следующим свойствам:
1)Собственный вектор линейного оператора имеет единственное собственное значение λ .
2)Если x – собственный вектор линейного оператора A с
собственным |
значением |
λ и α ¹ 0 (α Î ) , то |
α x – также |
собственный вектор оператора A с собственным значением λ . |
|||
3) Если |
x и y – |
линейно независимые |
собственные |
векторы линейного оператора A с одним и тем же собственным значением λ , то x + y – также собственный вектор этого
оператора с собственным значением λ . |
|
|
|
||||
4) Если |
|
x и y |
– собственные |
векторы линейного |
|||
оператора |
|
|
|
|
|
|
A |
с различными собственными числами λ1 и λ2 |
( λ1 ¹ λ2 ), то x |
и y |
|||||
– линейно независимы. |
|
|
|
|
|
||
Условие при котором система (5) имеет нетривиальное |
|||||||
решение, запишется в виде: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
det ( A - λ E) = 0 . |
|
|
(6) |
|
Уравнение |
(5) |
называется |
характеристическим |
||||
уравнением |
матрицы |
А, |
многочлен |
det ( A - λ E) |
– |
характеристическим многочленом матрицы А, а его корни –
300