Математика для инженеров(теория)I том

Пример 4. Исследовать уравнение упругих колебаний

сопряженные, причем Reλ1,2 < 0 . Точка покоя – устойчивый

Точка покоя – устойчивый узел (все решения затухающие и колеблющиеся);

д) α < 0,α 2 - β 2 ³ 0 (случай большого «отрицательного трения»). Корни λ1 и λ2 – действительные и положительные. Точка покоя – неустойчивый узел. □

20 . Исследование систем дифференциальных уравнений, как математических моделей, методом качественной тео-

рии. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

583

ренцируемые в некоторой области D плоскости Oxy (или

во всей плоскости).

Для исследования положения равновесия общей системы (1) надо

перенести начало координат в исследуемое положение равновесия системы (8) и разложить функции f (x, y) и

g(x, y) в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ог- раничиваясь членами первого порядка. Тогда система (8)

Если вещественные части корней характеристического уравнения (2) отличны от нуля, то положение равновесия x = y = 0 системы (8) имеет тот

же тип, что и положение равновесия системы (1), получаемой из (9) при R1(x, y) = 0, R2 (x, y) = 0.

Исследование окрестности положения равновесия системы (8) – это локальная задача качественной теории дифференциальных уравнений. В отдельных случаях, исследовав поведение фазовых кривых в окрестности каждого положения равновесия, удается решить глобальную задачу качественной теории – установить поведение фазовых кривых системы (8) на всей фазовой плоскости или установить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. Однако, в общем случае эта задача довольно сложная. Более простой оказывается за-

дача в случае, если уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, а, значит, фазовые кривые системы (8) расположены на интегральных кривых уравнения (10), т.е. на линиях u(x, y) = C ,

584

где ∂∂ux = g(x, y), ∂∂uy = − f (x, y) . Примером такого рода сис-

тем может служить механическая система с одной степенью свободы, без трения, описываемая дифференциальным уравнением Ньютона

Потенциальной энергией механической системы на-

зывают функцию

x

U (x) = −ò f (ξ ) dξ (a < c < b).

c

Уравнение (11) будет эквивалентным системе уравнений

Положение равновесия x = x0 уравнения (11) бу-

дет являться критической (стационарной) точкой потенциальной энергии U (x) . Действительно, если

x = x0 – положение равновесия, то f (x0 ) = 0,

U ′(x0 ) = − f (x0 ) = 0 .

К и н е т и ч е с к о й э н е р г и е й н а з о в ем фун к ц и ю

K (y) = y2 . Т о г д а п о л н а я м е х а н и ч е с к а я э н е р г и я

2

E(x, y) = U (x) + K(y) . Полная энергия E(x, y) является

решением системы (12), а, значит, каждая фазовая кривая этой системы целиком лежит на одной ли- н и и у р о в н я э н е р г и и , т . е . н а м н о ж е с т в е {(x, y):U (x) + K(y) = C} п р и н е к о т о р о м з н а ч е н и и C .

585

тенциальной энергии. Если значение E увеличивается от E0 до нуля, то эти кривые остаются замкну-

тыми, но сильно «вытягиваются» вправо. При E = 0 линия уровня размыкается, причем если x → ∞ , то y → 0 , т.е. ось абсцисс является для нее асимптотой.

При E > 0 все линии уровня незамкнуты и каждая из них имеет две асимптоты при x → +∞, y = ±2E . □

Пример 7. Исследовать фазовые кривые систе-

мы уравнений

dxdt = y, dydt = x2 − x4 .

Решение. Это система уравнений Ньютона. Ее

потенциальная энергия U = − x3 + x5 . Критические

3 5

точки потенциальной энергии x = 0, x = ±1. В точке

x =1 потенциальная энергия имеет локальный минимум, а в точке x = −1 – локальный максимум.

Точка x = 0 – вырожденная критическая точка по-

тенциальной энергии. Характеристическое урав-

нение, соответствующее положению равновесия (x0; y0 ) , име-

587

(рис. 16).

Направление движения фазовой точки по фазовым кривым можно определить, используя то, что, согласно первому из уравнений системы x&(t) = y(t) ,

абсцисса фазовой точки со временем возрастает, если движение происходит в фазовой полуплоскости y < 0 . □

Пример 8. Линейный осциллятор с вязким тре-

нием. Малые колебания осциллятора в том случае, если сила вязкого трения будет пропорциональна скорости, описываются уравнением

mz&&+ hz& + kz = 0,

где m – масса, h – коэффициент трения, k – коэффициент упругости осциллятора.

Электрическим аналогом этой системы служит колебательный контур с омичным сопротивлением R , ко-

т о р о е у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю

где на этот раз точка обозначает производную по τ , а не по t , как

впредыдущем случае.

Вотсутствие вязкого трения (δ = 0) получаем

консервативную систему, т.е. систему, в которой действуют консервативные силы – потенциальные силы, не зависящие от времени. Фазовые траектории на плоскости Oxx& представляют собой концен-

трические окружности с центром в начале координат. Однако, для любого сколь угодно малого δ , (0 < δ <1) в фазовом портрете происходят качествен-

ные изменения. Действительно, общим решением уравнения (13) при 0 < δ <1 является

588

x = Ae−δτ cos(ωτ +α),

где ω = 1− δ 2 ; A,α – произвольные постоянные. Согласно этому

решению, параметрические уравнения траекторий на фазовой плоско- сти Oxy имеют вид

риями служит семейство логарифмических спиралей с а с и м п т о т и ч е с к о й т о ч к о й в начале координат. На плоскости Oxy фазовые траекто-

рии также представляют собой спирали, которые скручи- ваются к началу координат (рис. 17) . При движении по

любой из этих фазовых траекторий точка асимптотически (при t → ∞ ) приближается к началу координат, где нахо- дится особая точка – устойчивый фокус. Точка x = 0, y = 0

представляет собой отдельную фазовую траекторию, кото-

рая отвечает асимптотически устойчивому положению равновесия осциллятора. Если коэффициент вязкого тре- ния достаточно большой (δ >1) , то общее решение уравнения (13)

где A, B – произвольные постоянные.

Значит, при любых начальных усло- виях движение затухает по экспоненциаль- ному закону. В этом случае семейство инте-

гральных кривых представляет собой на плоскости Oxy деформированные парабо-

589

лы, касающиеся прямой y = − p1x (рис. 18, стрелками отмечено на-

правление движения точки). Единственная особая точка этого семей- ства, как и в предыдущем случае, находится в начале координат и представляет собой устойчивый узел. В граничном случае (δ =1) так-

же получаем семейство кривых параболического типа, а в начале ко- ординат – устойчивую точку типа узла. Таким образом, при любых значениях физических параметров в области δ > 0 и любых началь- ных условиях рассматриваемая система выполняет затухающие (перио- д и ч е с к и е и л и а п е р и о д и ч е с к и е ) д в и ж е н и я . □

Задания для самостоятельной работы

1.Проинтегрировать уравнения и найти частные решения, где заданы начальные условия:

3.Решить задачи Коши:

а) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2, y′′(0) = 3 ;

б) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = 6, y′(0) =10 ;

в) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) =1 ;

г) y′′′ + y′′ = 0, y(0) =1, y′(0) = 0, y′′(0) =1.

590

4. Решить уравнения:

б) y′′ - 2y′ - 3y = 0; y(0) =1, lim y(x) = 0.

x→∞

8.Найти максимальный прогиб консольной балки длины l , нагру- женной на конце сосредоточенной силой P . Собственным весом балки пренебречь (q = 0) .

9.Методом исключения решить следующие систе-

мы:

591

10. Решить методом Эйлера следующие системы

11. Частица массы m движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса r .

Считая поверхность цилиндра абсолютно гладкой, найти закон изменения координаты частицы со временем, если в начальный момент времени частица находилась на оси Ox . Ее начальная скорость v0 составляет угол α с горизонтом.

592