Математика для инженеров(теория)I том

Пусть теперь точка М стремится к точке О вдоль прямой y = k x ,

Таким образом, при стремлении точки (x; y) к (0;0) вдоль разных

лучей получаются разные пределы. Следовательно, данная функция в точке O предела не имеет. □

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число ε > 0 , найдется

δ -окрестность точки M0 (x0; y0 ) , что во всех ее точках M (x; y) , отличных от M0 , аппликаты соответствующих точек по- верхности z = f (x, y) отличаются от числа А по модулю

м е н ь ш е , ч е м н а ε . Так же, как и в случае функции одной переменной, предел суммы, частного и произведения функций несколь- ких переменных равен сумме, частному и произведению пределов, если пределы существуют (в случае частного

предел знаменателя не равен нулю).

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M0 (x0; y0 ) ,

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D,

называется непрерывной в D.

Если в точке M0 (x0; y0 ) не выполняется условие непрерывности,

а z – п о л н ы м п р и р а щ е н и е м ф у н к ц и и f (x, y) в т о ч к е

M0 (x0; y0 ) .

453

Функция z = f (x, y) будет непрерывной в точке M0 (x0; y0 )Î D ,

если выполняется равенство lim Dz = 0 , т.е. полное приращение

x→0 y→0

функции в этой точке в пределе равно нулю, если приращения ее аргументов x и y стремятся к нулю.

Из непрерывности функции z = f (x, y) в точке M0

следует ее непрерывность по каждой из переменных x и y. Обратное утверждение неверно.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию

функция (3) не является непрерывной по совокупности пе- ременных x и y. □

Арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводят к непрерывным функциям (аналогичные теоремы для функции одной переменной – в главе 5).

Функции, непрерывные в замкнутой ограниченной области обладают свойствами, аналогичными свойствам

н е п р е р ы вн ы х н а о т р е зк е ф ун к ц и й о д н о й п е р е м е н н о й (§5 .12), а именно: если функция z = f (N ) непрерывна в

замкнутой ограниченной области D , то в этой области: а) функция ограничена, т. е. существует такое число

б) функция достигает своего наименьшего и наи- большего значений в этой области.

Отметим, что для функций, непрерывных на незамк- нутых или неограниченных множествах, указанные свой- ства могут и не выполняться.

454

2. Показать, что функция u = xx +− yy при x → 0, y → 0 может стремиться

к любому пределу. Привести примеры таких изменений x и y, чтобы:

а) limu =1 ; б) limu = 2 .

3. Найти точки разрыва функций:

455

ГЛАВА 14

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Частные производные функции многих переменных

Пусть задана функция z = f (x, y) . Так как x и y – неза-

висимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Придадим независимой переменной x приращение x , сохраняя y неизменным. Тогда z получит приращение z , которое называется частным прира-

щением z по х:

x z = f (x + x, y) − f (x, y) .

Аналогично получаем частное приращение z по y:

ее окрестности. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой

457

ции по одной из этих переменных при условии постоянст- ва значений остальных независимых переменных. Поэтому

частные производные функции нескольких переменных находят по правилам вычисления производных функций

Из существования частной производной функции по некоторой переменной следует непрерывность функции по этой переменной. Однако существование всех частных производных функции в точке не гарантирует непрерыв- ности функции в этой точке. Так, например, функция, за- данная формулой (13.2.3), не является непрерывной в точ-

нескольких переменных

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой ок- рестности точки M (x; y) и ее полное приращение в точке

М определяется равенством:

459

где α = α ( x, y) → 0 и β = β ( x, y) → 0 при Dx ® 0 и

Dy ® 0 .

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции, т. к. сумма двух дру-

гих слагаемых является бесконечно малой более высокого

нейная относительно Dx и Dy , называется полным дифференциалом

Утверждение 1 (необходимое условие дифференци-

руемости функции). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x; y) , то в этой точке существуют частные производ-

Аналогично доказывается, что в точке М существует част-

460

где ¶¶xz dx , ¶¶yz dy – частные дифференциалы.

Утверждение 2 (достаточное условие дифференци-

руемости функции). Если функция z = f (x, y) в некоторой окре- стности точки M (x; y) имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в точке (x; y) .

Упражнение 1. Доказать утверждение 2.

Таким образом, если для функции y = f (x) одной пе- ременной существование производной f ′(x) в точке явля-

ется необходимым и достаточным условием ее дифферен- цируемости в этой точке, то для того, чтобы функция

z = f (x, y) была дифференцируема в точке, только сущест-

вования частных производных недостаточно; дифференци- руемость имеет место, если дополнительно потребовать непрерывность частных производных, как это следует из утверждения 2.

Свойства и правила вычисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух и большего числа переменных.

Пример 1. Найти полный дифференциал функции u = xy2z .

461

Полный дифференциал часто используется для оцен- ки погрешности вычислений.

Пусть дифференцируемая функция n переменных за- дана формулой u = f (x1, x2 ,K, xn ) . Тогда абсолютная по- грешность u вычислений по этой формуле оценивается

величиной

462