Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6040 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

первообразную. Тогда и левая часть равенства (5), функция u(x)v¢(x) ,

имеет первообразную, причем
òu(x)v¢(x)dx = òêé(u(x)v(x))¢	- u¢(x)v(x)úù dx =
ë	û

= ò(u (x)v(x))′ dx - òu¢(x)v(x)dx = u (x)v(x) - òu¢(x)v(x)dx .

Учитывая, что u¢(x)dx = d u и v¢(x)dx = d v , формулу (4) можно

записать в виде
òu d v = u ×v - òvd u . □	(6)

Пример 3. Найти òxexd x .

Решение. При интегрировании по частям важно правильно выбрать функции u,v так, чтобы интеграл справа в формулах (4) (или (6)) оказался приводимым к табличному. В данном случае

удобно положить x = u ,	exd x = d v . Из последнего равенства
н а й д е м	ф у н к ц и ю	v :
	òd v = òexdx , v = ex .

Применяя формулу (6), находим

òxexdx = òxd ex = xex - òexd x = xex - ex + C .

При интегрировании по частям можно не выписывать функции u и v, а только подразумевать их.

Например,

òxexdx = òx(ex )′d x = òxd ex = xex - òexd x = xex - ex + C . □

§ 4. Интегрирование рациональных функций

10 . Интегрирование простейших рациональных дробей. Рассмотрим неопределенные интегралы от про-

стейших рациональных дробей:

;

,k >1,k Î ;

x - a

(x - a)

, a ¹ 0 ;

Mx + N

dx,M ¹ 0 ;

+ bx + c

+ 2 p x + q

393

5) ò

Mx + N

dx , k >1,k , M ¹ 0 .

(x2 + 2 p x + q)k

В интегралах 4) и 5) считаем, что

p2 - q < 0 ,

т.е. трех-

член

x2 + 2 p x + q

не имеет действительных корней.

1) ò

= ò(ln

x - a

)¢ dx = ln

x - a

+ C ,

x - a

= ò(x - a)−k d (x - a) = -

(x - a)−k+1

+ C, k >1.

- a)

k -1

(1)

+ bx + c

+ a x +

x +

4a2

± m

ç x

4a2

г д е t = x +

,± m2

, т . е . и н т е г р а л с в е д е н к

4a2

Mx + N

x +

2x + 2p -2p +

4) ò

dx = Mò

dx =

+ 2px + q

(x2 + 2 p x + q)

(N - p M )ò

(2)

+ 2 p x + q

ln (x2 + 2 p + q)+ (N - p M )

ò x2 + 2 px + q

Второе слагаемое является интегралом типа 3).

Упражнение 1. Вычислить интеграл 5).

Пример 1. Найти ò

+ 2x

+ 5

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе.

= ò

+ 2x + 5

+ 4

394

Сделаем замену x +1 = t , x = t −1,dx = dt . Имеем

æ t

x +1

= ò

è 2

arctg

+ C =

arctg

+ C

+ 2x + 5

æ t

è 2

. □

Пример 2. Найти ò

x2dx

Решение.

Имеем:

- 6x +10

x2dx

(x2 - 6x +10)+ (6x -10)

6x -10 ö

ç1+

÷dx

ò x2

- 6x +10

x2 - 6x +10 ø

2x -

(2x - 6) +

= òdx + 3ò

dx = x + 3ò

x2 - 6x +10

(x2 - 6x +10)′ dx

= x + 3ò

+ 8ò

- 6x +10

- 3)

= x + 3ln(x2 - 6x +10)+ 8arctg(x - 3) + C . □

20 .

Интегрирование рациональных

функций.

Как

было показано

§10.9,

всякая

рациональная

дробь

P(x)

Q(x)

раскладывается на элементарные дроби. Поэтому для вы-

P(x)

числения òQ(x) dx нужно разложить подынтегральную

функцию на простейшие рациональные дроби и затем вы- числить интегралы от этих дробей.

Пример 3. Найти ò xd x ( ) .

(x +1)(x - 2) x2 +1

Решение. Очевидно, это правильная рациональная дробь. Разложим эту дробь на простейшие методом неоп-

ределенных коэффициентов (§10.9):
	x	=	A		+	B	+	Mx + N
									.	(3)
	(x +1)(x - 2)(x2 +1)		x +	1		x - 2		x2 +1	.	(3)

395

Правую часть равенства (3) приводим к общему зна- менателю и сравниваем многочлены, стоящие в числите- л я х л е в о й и п р а в о й ч а с т е й :

x = A(x - 2)(x2 +1)+ B(x +1)(x2 +1)+ (Mx + N )(x +1)(x - 2)		или
x = ( A + B + M ) x3 + (-2A + B + N - M ) x2 +	.	(4)
+( A + B - 2M - N ) x - 2A + B - 2N

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая эти коэффициенты, получим систему уравнений для определения чисел A, B, M, N:

при

x3 : A + B + M = 0 ,

(5)

при

x2 : -2A + B + N - M = 0 ,

при

x1 : A + B - 2M - N =1,

при

x0 : -2A + B - 2N = 0 .

(6)

Решая эту систему из четырех линейных уравнений,

находим неизвестные A, B, M и N.

Можно найти неизвестные коэффициенты несколько

а)

полагая в (4) x = −1 , получим -1 = A(-3× 2) . Откуда

A =

;

x = 2 ,

получим 2 = B ×3×5 .

б)

полагая

в (4)

Откуда

B =

;

в)

из уравнения (5)

находим

M = -A - B = -

= -0,3 ,

а из уравнения (6) N =

- A =

= -0,1.

Таким образом,

xdx

= ò

2dx

0,1ò

3x +1

dx =

(x +1)(x - 2)(x2 +1)

6(x +1)

15(x - 2)

x2 +1

0,1ò

3x +1

x +1

x - 2

dx =

x2 +1

396

2x +

x +1

x - 2

10× 2

x2 +1

x +1

x - 2

ln(x2

+1)-

arctgx + C . □

Пример 4. Найти ò

2x +1

dx .

(x2 + 5x + 6)(x + 2)

Решение. Данная рациональная функция является

правильной. Корнями многочлена

x2 + 5x + 6

являются чис-

ла –2 и –3. Поэтому

(x2 + 5x + 6)(x + 2) = (x + 2)2 (x + 3) , и раз-

ложение на простейшие дроби имеет вид

(x + 2)2 (x + 3)

x +

(x + 2)2

x + 3

Приводя выражение справа к общему знаменателю и сравнивая многочлены, стоящие в числителях правой и ле-

в о й

ч а с т е й ,

н а х о д и м :

x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 3) + C (x + 2)2 .

Полагая здесь

x = −2 , находим -2 = B×1 и

B = -2 .

Если положить

x = −3,

то имеем -3 = C (-1)2 и C = −3 .

Наконец, если

x = 0 ,

то получим 6 A + 3B + 4C = 0 и

A = -

(3B + 4C) = 3 .

Значит,

xd x

=ò

3d x

- ò

2d x

- ò

3d x

(x2 + 5x + 6)(x + 2)

x + 2

(x + 2)2

x + 3

= 3ln

x + 2

- 3ln

x + 3

+ C .□

x + 2

Интегрирование

некоторых

иррациональных функций

10 . Интегрирование простейших иррациональных функций. Пусть имеем интеграл вида

397

	æ		ö
ò	æ	ax + b	ö
ò	ç	÷
	Rç x, n		÷dx ,	(1)
	è	cx + d ø

где n Î , ad - bc ¹ 0 и R(u,v) – рациональная функция двух переменных u и v . Чтобы избавиться от иррациональ- ности, целесообразно сделать следующую замену:

		n		ax + b	= t .	(2)
Отсюда				cx + d

						n(ad - bc)tn−1
tn =	ax + b	, x =	b - dtn		, dx =		dt .

	cx + d		ctn - a			(ctn - a)2

Подставляя в (1) вместо x и dx их значения, получим

æ		ö	æ b - dtn
	ax + b
òRç x,		÷dx = òRçç		n	- a
è	cx + d ø		è ct

ö n(ad - bc)tn−1				ò			(t)dt ,
,t ÷			dt =		R	1
		2
÷	(ctn - a)
ø

где R 1(t) есть рациональная функция переменной t.

Таким образом, интеграл вида (1) заменой (2) сводится к интегралу от рациональной функции, методы вычисления которого изложены в §4. В этом случае говорят, что инте- грал вида (1) рационализируется.

Пример 1. Найти интеграл ò xx-+11 dx .

Решение. Сделаем замену переменной

= t . Имеем x +1 = t2 ,

x +1

x = t2 -1, dx = 2t d t и

x -1

-1-1

ò(

t2 - 2

)

æ t3

dx =

2t d t = 2

dt = 2

- 2t ÷

+ C =

x +1

è 3

(

x +1)

(x - 5) + C . □

= 2

- 2 x +1

+ C =

x +1

20 .	Интегралы		с	квадратичной
иррациональностью.
1. Интеграл
		dx	(A ¹ 0)	(3)

	ò Ax2 + Bx + C
	ò Ax2 + Bx + C

путем дополнения квадратного трехчлена Ax2 + Bx + C до полного квадрата приводится, в зависимости от знака А, к одному

398

из двух табличных интегралов видов 15 или 16 (см. таблицу основных

и н

) .

2. Интеграл

Dx + E

dx (AD ¹ 0)

можно привести

Ax2 + Bx + C

к интегралу (3) так:

DB ö

Dx + E

ç Dx +

+ E

(2Ax + B)dx

dx = ò

2A ø

dx =

+ Bx

+ C

+ Bx + C

DB ö

+ç E -

Ax2 + Bx + C + ç E -

Ax2 + Bx + C

2A ø

Ax2 + Bx + C

3. Вычислим интегралы

Имеем

x2 + b dx,b > 0,

a2 - x2 dx, a ¹ 0 .

(4)

x2 + b

x2dx

x2 + b dx = ò

dx = ò

+ bò

(5)

x2 + b

Вычислим интеграл ò

x2dx

по частям,

полагая u = x,

x2 + b

x dx

d v =

, тогда du = dx,v =

x2 + b . Получим

x2 + b

x2dx

= x x2 + b - ò x2 + b dx .

x2 + b

Подставляя последнее выражение в (5), будем иметь

2ò x2 + b dx = x x2 + b + bò

x2 + b

откуда, используя интеграл 16 из таблицы основных интегра-

лов, получим

1 æ

+ b dx =

ç x x

+ b + bln

x + x

+ b

÷ + C .

2 è

Аналогично можно показать, что

x ö

a2 - x2

dx =

ç x a2 - x2 + a2arcsin

+ C .

a ø

399

4. Интеграл òAx2 + Bx + C dx (A ¹ 0) , в зависимости от знака А, легко приводится к одному из интегралов (4).

§ 6. Интегралы от тригонометрических функций

10 . Интеграл вида òR(sin x ,cos x) dx ,		где R(u,v) – ра-
циональная функция двух	переменных u и v. В этом
случае функцию R(sin x,cos x)	называют	тригонометриче-

ской рациональной функцией.

Интеграл рационализируется, т.е. приводится к инте- гралу от алгебраической рациональной функции с помо-

щ ь ю

з а м е н ы

п е р е м е н н о й

t = tg

(1)

Действительно,

2tg

1- tg

2 x

1- t2

sin x =

cos x =

2 x

+ t2

2 x

1+ tg

1+ t2

(2)

2dt

x = 2arctgt,

dx =

1+ t2

R (sin x ,cos x) dx =

- t

R (t)dt ,

R ç

dt =

+ t

где R 1(t)

è1 + t

ø1

– рациональная функция переменной t.

Пример 1. Вычислить интеграл ò

2 + cos x

Решение. Положим t = tg

. Используя формулы (2),

= ò

dt = 2ò

= 2ò

2 + cos x

1- t2

1+ t2

2(1+ t 2 )

+1- t2

t2 + 3

2 +

1+ t2

400

x ö

ç tg

+ C =

+ C . □

arctg

arctgç

20 . Интегралы вида òsinax sinbxdx , òcosax cosbx dx ,

òsinax cosbx dx . Эти интегралы с помощью тригонометри-

ческих формул

sin axsin bx =

écos(a - b)x - cos

(a + b)xù ,

cosaxcosbx =

écos(a - b) x + cos(a + b)xù ,

sin axcosbx =

ésin(a + b)x + sin(a - b)xù

приводятся к следующим интегралам:

òcosα xdx =

sinα x + C , òsinα xd x = -

cosα x + C .

Пример 2. Вычислить интеграл òcos10xcos8 xdx .

Р е ш е н и е . Т а к

к а к cos10xcos8 xdx =

(cos2x + cos18x) ,

т о òcos10xcos8 xdx =

ò(cos2x + cos18x)dx =

sin 2x

sin18x

+ C . □

30. Интегралы вида òsinn x cosm xdx , где m и n – натуральные числа. Если n и m четные, то эти интегралы с помощью

тригонометрических формул
sin2 x =	1	(1- cos2x) , cos2 x =	1	(1+ cos2x),	sin xcos x =	1	sin 2x
	2		2			2

преобразуются в табличные.

Если хотя бы одно из чисел n и m нечетное, то от

нечетной степени отделяем множитель первой степени и интеграл сводится к табличному с помощью замены переменной. Пусть, на- пример, m – нечетное, т.е. m = 2 p +1. Тогда

òsinn xcos2 p+1 xdx = òsinn xcos2 p xd sin x = òsinn x(1- sin2 x)pd sin x

401

40 . Интегралы вида òR(tg x )dx и òR(sin2k x, cos2l x)dx.

Введем новую переменную t = tgx, тогда x = arctgt. Дифференцируя,

получаем dx =	1	dt. Значит, вычисление первого интеграла
	+ t2
1

свелось к вычислению интеграла от рациональной функ-

ц и и

п е р е м е н н о й

òR(tg x)dx = òR(t)

Так как

1+ t

sin2 x

tg2 x

cos2 x =

cos2 x

, то,

sin2 x + cos2

+ tg2 x

sin2 x + cos2 x

x 1

1+ tg2 x

подставляя во второй интеграл,

получаем

R(sin2k x, cos2l x)dx =

Rç

÷dx ,

, ç

1+ tg

то есть интеграл типа

òR(tg x)dx .

Пример 3. Вычислить òsin6 xcos5 xdx .

Решение.

òsin6 xcos5 xdx = òsin6 x(1- sin2 x)2 d sin x =

sin7 x

2sin9 x

sin11 x

+ C

. □

Пример 4. Вычислить ò

2 - sin

Решение.

Сделаем замену t = tgx,

тогда

= ò

arctg

+ C =

- sin

2 + t

ç 2 -

÷(1

+ t2 )

1+ t

æ tg x ö

+ C . □

arctgç

2 ø

§ 7. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

402

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 6040 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб18Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб115Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc