Математика для инженеров(теория)I том

10. Проверить, имеет ли целые корни многочлен

P(z) = z6 - 6z5 +11z4 - z3 -18z2 + 20z - 8.

11. Определить кратность корня z0 =1 многочлена

P(z) = z4 - 5z3 + 9z2 - 7z +12.

12. Найти многочлен наименьшей степени с действитель- ными коэффициентами, корнями которого были бы числа z1 = i (корень кратности 2) и z = −1− i.

13. Представить в виде произведения линейных множите- лей многочлены:

14. Представить в виде произведения линейных и квадра- тичных множителей с действительными коэффициен- тами многочлены:

число 3 + 4i является его корнем.

383

ГЛАВА 11

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

10 . Первообразная функция. Основной операцией дифференциального исчисления является отыскание про- изводной заданной функции. Однако возникает вопрос о существо- вании операции, обратной дифференцированию.

Восстановление функции по известной производной этой функции есть одна из основных задач интегрального исчисления.

Функция F (x) называется первообразной для функ-

Функция F (x) = -cos x является первообразной для функции f (x) = sin x на , т.к. F¢(x) = (-cos x)′ = sin x = f (x) .

384

F1 (x) - F2 (x) = C , что и требовалось доказать. □

Таким образом, если известна хотя бы одна первооб- разная для данной функции f (x) , то известно и все мно-

жество первообразных для этой функции.

Замечание 1. Ранее, в §6.1, было показано, что не все функции, заданные на каком-либо интервале X = (a;b)

имеют производную. Аналогично, не всякая функция имеет первообразную. Рассмотрим, например, функцию

Дарбу (следствие 8.2.2) производная принимает все свои промежуточные значения, а f (x) – всего три значения: 2, 3, 4.

20 . Неопределенный интеграл. Множество всех пер-

вообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается

ò f (x)dx .

Функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx –

подынтегральным выражением, переменная x – переменной интегри- рования.

385

Подчеркнем, что символ ò f (x)dx обозначает сово-

купность всех первообразных для функции f (x) .

Отыскание неопределенного интеграла по известной подынтегральной функции называется интегрированием

этой функции.

Пример 1. Найти следующие интегралы:

Свойства неопределенного интеграла.

1) Если функция F дифференцируема на некотором промежутке,

то на нем

òdF(x) = F(x) + C

или, что то же самое,

òF¢(x)dx = F(x) + C.

Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком инте- грала.

Отметим, что в этом равенстве под интегралом ò f (x)dx понима-

ется произвольная первообразная F функции f . Поэтому это равенство

можно записать в виде

dF(x) = f (x)dx.

Справедливость последнего следует из того, что F − первообразная f .

386

kò f (x)dx − из всевозможных функций k(F + C) = kF + kC. В силу

произвольности постоянной C , k ¹ 0, обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость дока-

занного равенства.

4) Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме

Следовательно,

òf (x)dx + òg (x)dx = F (x) + C1 + G (x) + C2 = F (x) + G(x) +

+(C1 + C2 ) = ò( f (x) + g (x))dx. □

§2. Таблица основных неопределенных инте-

гралов

Приведем таблицу основных интегралов. Формулы таблицы явля- ются следствием таблицы производных и определения неопределенно- го интеграла.

387

xa+1

1. òxa dx = a +1 + C , a ¹ -1. 2. ò dxx = ln x + C .

5. òsin xdx = −cos x + C . 6. òcos xdx = sin x + C .

7. ò cosdx2 x = tgx + C . 8. òsindx2 x = −ctgx + C .

9. òtg xdx = −ln cosx + C.

10.

11.

12.

13.

.

14.

,a ¹ 0 .

15.

,a ¹ 0 .

388

16.

, a ¹ 0 .

Проверим справедливость формул 14 и 16. Имеем:

.

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов, можно интегрировать неко- торые элементарные функции. Такое вычисление неопре- деленных интегралов называется непосредственным ин-

тегрированием.

Пример 2. Найти следующие интегралы:

Здесь использовались свойства 3) и 4) неопределен- ного интеграла. Воспользуемся формулой 1 из таблицы

= -2x - x2 + C .

Так как сумма нескольких произвольных постоянных есть произвольная постоянная, то ее обозначают одной буквой.

389

б) Рассуждая аналогично, как в примере а), получим

В последующем рассмотрим другие методы интегри- рования.

§ 3. Замена переменной в неопределенном интеграле

и интегрирование по частям

10 . Метод замены переменной интегрирования.

Под знаком интеграла может оказаться функция, для которой нет табличного интеграла и непосредственное интегрирование невозможно. В таком случае используют другие приемы, в частности, ме- т о д з а м е н ы п е р е м е н н о й .

Далее для удобства изложения запись F(x) x=ϕ (t) будет определять функцию F(ϕ(t)) .

Утверждение 1. Пусть функция x = ϕ (t) определена и дифференцируема на промежутке T, а X – множество ее значений. Пусть функция y = f (x) определена на множест-

390

ве X и имеет на этом промежутке первообразную. Тогда справедлива формула:

Сравнивая правые части формул (2) и (3), получаем формулу (1). □

При практическом использовании формулы (1) более

удобным является следующее ее представление

ò f (ϕ(x))dϕ(x) = ò f (t)dt t=ϕ(x) .

При интегрировании с помощью этой формулы говорят, что используется метод внесения под знак дифференциала.

Пример 1. Вычислить òln5 x dxx .

Решение. В таблице основных интегралов этот инте- грал отсутствует. Подберем такую замену переменной,

Перейдем обратно к переменной x:

òln5 x dx = ln6 x + C .

x6

Решить этот пример можно по-другому. Заметив, что

1x = (ln x)¢ , получим

391

ò f (ax + b)dx = ò f (t) 1a dt = 1a ò f (t)dt = 1a (F (t) + C1 ) = 1a F (ax + b) + C

.

В данном случае можно поступить и так:

ò f (ax + b)dx = ò f (ax + b) 1a (ax + b)¢ dx =

1a ò f (ax + b)d (ax + b) = 1a F (ax + b) + C . □

Отметим, что с помощью формулы (1) из таблицы основных опре- деленных интегралов, можно получить обобщенную таблицу, заменив x на u(x), где u(x) − любая непрерывно дифференцируемая

Первообразной для функции (u (x)v(x))′ является функция u(x)v(x) . По условию утверждения функция u¢(x)v(x) также имеет

392