Математика для инженеров(теория)I том

Гамма- и бетафункции позволяют вычислять ряд важных интегралов, в том числе несобственных. Проиллюстри-

руем этот факт двумя примерами.

p, q,m > 0 .

Заменяя переменную: xm = z , приходим к эйлерову

интегралу первого рода (бета-функции):

Последнее равенство следует из (8).

С помощью замены sin t = x к рассмотренному инте-

гралу сводится интеграл:

В заключение отметим, что гамма- и бетафункции широко используются в теории вероятностей и ма-

тематической статистике при описании законов распределения случайных величин.

Задания для самостоятельной работы

1. Составить интегральную сумму для функции f (x) =1+ x на отрезке [2; 8], деля отрезок на n равных частей и выбирая точки

443

444

445

ГЛАВА 13

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Основные понятия

10. Множества в n-мерном пространстве. Для изложения теории функций n переменных необходимо описать важнейшие

множества точек n-мерного евклидова пространства n .

Замечание 1. В этом случае удобно использовать геометрическую терминологию, обобщающую рассмотрен- ные ранее представления о плоскости и трехмерном про-

x1, x2 ,..., xn будем называть координатами этой точки и пи-

называется открытым n-мерным шаром радиуса r с центром в точке M0 . Открытый одномерный шар – это интервал (x10 − r; x10 + r) , двух-

мерный – круг без ограничивающей его окружности, трехмерный – обычный шар без ограничивающей его сферы.

Множество {M} всевозможных точек, координаты x1, x2 ,..., xn которых удовлетворяют неравенству

ρ(M , M0 ) ≤ r называется замкнутым n-мерным шаром ра-

диуса r с центром в точке M0 .

Множество {M} всевозможных точек M n , координаты x1, x2 ,..., xn которых удовлетворяют равенству

ρ(M , M0 ) = r , называется n-мерной сферой радиуса r с центром в точке M0 .

447

Отметим, что если к открытому n-мерному шару радиуса r с центром в точке M0 присоединить n-мерную

сферу радиуса r с центром в точке M0 , то получим

замкнутый шар радиуса r с центром в точке M0 .

Открытый n-мерный шар радиуса ε > 0 с центром в точке M0 будем называть ε -окрестностью точки M0 .

Множество {M} всех точек M, координаты x1, x2 ,..., xn

которых удовлетворяют неравенствам

крытым n-мерным координатным параллелепипедом с центром в точ- ке M0 или прямоугольной окрестностью точки M0 .

Очевидно, что любая ε -окрестность точки M0 со-

держит некоторую прямоугольную окрестность этой точки и, наоборот, любая прямоугольная окрестность точки M0 содержит некоторую

ε -окрестность этой точки.

Точка M множества {M} n называется внутрен-

ней точкой этого множества, если существует некоторая ε -окрестность точки M, все точки которой принад-

лежат множеству {M}.

Точка M n называется внешней точкой множе-

ства {M},

если существует некоторая ε -окрестность точки M, все

точки которой не принадлежат множеству {M}.

Точка M n называется граничной точкой множе-

ства {M}, если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой указанного множества. Другими словами, точка M является граничной

точкой множества {M} тогда и только тогда, когда в любой

ε -окрестности точки M найдутся как точки, принадле-

жащие множеству {M}, так и точки, ему не принадлежащие.

Произвольное множество {M} n называется от-

крытым,

448

если любая точка этого множества является его внутренней точкой, т.е. если любая точка M {M} принад-

лежит этому множеству вместе с некоторой ε -

окрестностью.

Произвольное открытое множество, содержащее данную точку M0 , называется окрестностью точки M0 .

Произвольное множество {M} n называется замкну-

тым, если это множество содержит все свои граничные точки.

Замечание 2. Можно сформулировать другое эквивалентное определение замкнутого множества. Для этого нужно ввести понятие

предельной точки произвольного множества {M} n . Точка A n

называется предельной точкой множества {M}, если в любой ε -окрестности точки A содержится хотя бы одна точка этого множе- ства, отличная от A. Множество будет замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Множество {M} n называется ограниченным, ес-

ли найдется n-мерный шар, содержащий все точки этого множества.

Введем понятие непрерывной кривой в n-мерном евклидовом пространстве n .

Непрерывной кривой L в пространстве n будем

называть множество {M} точек этого пространства, координаты x1, x2 ,..., xn которых представляют собой непрерывные

функции параметра t:

рывной кривой L, если

существует такая непрерывная кривая L, определяемая параметрическими уравнениями (2), что

x1 = ϕ1(α), x2 = ϕ2 (α), ..., xn = ϕn (α), y1 = ϕ1(β ), y2 = ϕ2 (β ), ..., yn = ϕn (β ).

Множество {M} n называется связным, если любые две точки

этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

449

Любое открытое и связное множество в простран-

стве n будем называть областью.

Если множество {M} представляет собой область, то множество {M } , полученное присоединением к множеству {M}

всех его граничных точек, называется замкнутой обла-

стью.

Отметим, что:

открытый n-мерный шар и открытый n-мерный координатный параллелепипед являются ограниченными, связными и открытыми множествами, т.е. дают

примеры ограниченных областей в пространстве n ;

n-мерная сфера в n дает пример замкнутого огра-

ниченного множества;

замкнутый n-мерный шар представляет собой ог-

раниченную замкнутую область в n ;

дополнение к открытому n-мерному шару представляет собой неограниченное замкнутое множество.

20 . Понятие функции многих переменных. На практике часто встречаются объекты или явления, завися- щие от нескольких переменных величин. Например, тем- пература Т в данной точке пространства (комнате) зависит как от координат точки (x; y; z), в которой она измеряется, так и от времени измерения t, т. е. от четырех перемен- ных. Объем прямоугольного параллелепипеда V равен произведению трех его измерений x, y, z.

Пусть D – некоторая область точек на плоскости Oxy, Z – некоторое множество из . Если каждой упорядочен- ной паре чисел (x, y) из области D поставлено в соответст-

Переменные x и y называются независимыми переменными (или аргументами), D – областью определения или суще-

ствования функции, множество Z всех значений функции –

областью ее значений.

Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде z = f (x, y) , или z = z(x, y) , или z = f (M ) , где M (x; y) и т.д.

Геометрически область определения D функции f (x, y) представляет собой конечную или бесконечную

часть плоскости Oxy, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае область D

450

соответствие одно определенное число u из по некото- рому закону f , то на множестве D задана функция n пе-

ременных u = f (M ) = f (x1, x2 ,..., xn ), nÎ , D − множество ее определения.

Множество определения функции n переменных есть подмножество пространства n , а множество значений функции при-

надлежит одномерному пространству 1 . Функцию несколь-

ких переменных можно рассматривать как отображение

круг с центром в начале координат и радиусом 1. Область D является замкнутой, т. к. включает свою границу – окружность. □

Геометрический смысл функции двух переменных: функция z = f (x, y) описывает некоторую поверхность в

нескольких переменных

Для функции двух (и большего числа) переменных

вводятся понятия предела функции и непрерывности, аналогичные

соответствующим понятиям для функции одной перемен- ной.

Рассмотрим δ -окрестность точки M0 (x0; y0 ) , т.е.

M0 (x0; y0 ) представляет собой внутренность круга (без его границы) с центром в точке M0 (x0; y0 ) и радиусом δ . Если

451

из δ -окрестности точки M0 удалить саму точку M0 , то получится проколотая δ -окрестность точки M0 ; точки проколотой окрестности удовлетворяют двойному нера-

венству 0 < ρ(M , M0 ) < δ .

Число А назовем пределом функции z = f (x, y) в точке

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути стремления точки M к M0 .

Пример 1. Найти lim sin xy .

x→0 x y→2

xy

Пример 2. Найти lim .

x→0 x2 + y2 y→0

Решение. Пусть сначала точка M (x; y) стремится к точке O(0;0)

452