Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 6038 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Обратно, если многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю и при некотором значении x0 перемен-

ной x , которое не совпадает с x1, x2 ,..., xn . В таком случае ни один из множителей x0 - x1, x0 - x2 ,..., x0 - xn не равен ну- лю, а поэтому an = 0. Повторяя рассуждения для многочле- на Pn−1(x) уже с высшим коэффициентом an−1, аналогично

показываем, что	an−1 = 0. Таким же образом доказывается
an−2 = ... = a1 = a0 = 0.
Утверждение 2.		Два многочлена Pn (x)	и Qn (x) тожде-
ственно равны друг		другу тогда и только	тогда, когда у

них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях x . Доказательство. Это утверждение следует из того, что разность данных многочленов есть многочлен, тождественно равный нулю. Тогда, на основании утверждения 1, все его коэффициенты равны

нулю.

30 . Признак кратности корня.

Утверждение 3 .

Если

x = x0

–

корень кратности k

многочлена Pn (x) , то x0

является корнем кратности k -1 его про-

P ¢ (x)

Доказательство. Действительно, если

x0 − корень крат-

ности k многочлена

Pn (x) ,

то имеет место представление

(x) = (x - x )

k S

n−k

(x), S

n−k

) ¹ 0 .

(5)

Дифференцируя это равенство, получаем

Pn′ (x) = k (x - x0 )k−1 Sn−k (x) + (x - x0 )k S¢n−k (x) = (x - x0 )k−1 Pn−k (x)

где

(x) = k S

n−k

(x) + (x - x ) S¢

(x); P

) = k S

n−k

) ¹ 0 ,

т.е.

n−k

Pn¢ (x) . □

является корнем кратности k -1 производной

Следствие 1. Для того, чтобы число

x = x0

было кор-

нем кратности k,k £ n ,

многочлена

Pn (x)

необходимо и

д о с т а т о ч н о ,

ч т о б ы

(x )

= P ¢

(x )

= P ²

) =K = P (k−1)

) = 0 , P

(k ) (x ) ¹ 0 .(6)

373

Упражнение 1. Доказать: а) если x0 – корень кратно- сти k многочлена Pn (x) , то имеют место соотношения (6);

б) если имеют место соотношения (6), то справедливо представление (5).

§ 9. Рациональные дроби

10 . Основные понятия. Рациональной дробью назы-

вается выражение вида

					R(x) =		Pn (x)	,			(1)
					R(x) =		Q (x)	,			(1)
							Q (x)
		(x) = a xn					m		(a		¹ 0) ,
где	P	(x) = a xn		+ a		xn−1 +K + a x + a			(a	n	¹ 0) ,
	n		n		n−1		1	0		n
Q	(x)	= b	xm + b		xm−1 +K +b x + b				(b ¹ 0) – многочле-
m		m	m−1				1	0	m

ны c действительными коэффициентами степеней n и m соответственно, x .

Если n < m , то дробь (1) называется правильной, в противном случае – неправильной. Каждая неправильная дробь, в соответствии с равенством (7.3), может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дро- би, т.е.

Pn (x)

= Sk (x) +

Rl (x)

Qm (x)

где Rl (x) – многочлен степени l, l < m .

Среди правильных дробей различают простейшие:

;

II.

(k ³ 2) ;

x - a

(x - a)k

III.

Mx + N

;

IV.

Mx + N

(k ³ 2),

x2 + px + q

(x2 + px + q)k

где A,M , N,a, p,q –

постоянные; k – целое положи-

тельное число; дискриминант

D = p2 - 4q < 0 .

20 . Разложение рациональной дроби на простей-

шие.

Утверждение 1. Если

x = a

– действительный корень

кратности k многочлена

(x) ,

т.е. Q (x)

= (x - a)k Q

(x) ,

m−k

374

Qm−k (a) ¹ 0 ,

то рациональную дробь

Pn (x)

можно предста-

Qm (x)

вить в виде:

Pn (x)

F (x)

(2)

Qm (x)

(x - a)k Q

(x)

(x - a)k

(x - a)k−1 Q

(x)

m−k

где A0

– действительное число; F (x) – многочлен с действи-

тельными коэффициентами,

а дробь

F (x)

–

пра-

(x - a)k−1 Q

(x)

вильная.

m−k

Действительно,

после

прибавления

и вычитания из

Pn (x)

дроби

выражения

получим

(x - a)k Q

(x)

(x - a)k

m−k

(x)

P (x)

+ ê

Qm (x)

(x - a)k

(x - a)k Q

(x)

(x - a)k

m−k

A 0

Pn (x) - A0Qm−k (x)

(x - a)k

(x - a)k Q

(x)

m−k

ú =

û (3)

Так как n < m и m − k < m , то при любом выборе постоянной A0

дробь	Pn (x) - A0Qm−k (x)		является правильной. Постоянную A выбе-

	(x - a)k Q	(x)	0
	m−k

рем так, чтобы число x = a было корнем многочлена Pn (x) - A0Qm−k (x),

т.е. определим A0

из условия Pn (a) - A0Qm−k (a) = 0 ,

отсюда

A0 =

Pn (a)

, Qm−k

(a) ¹ 0 . При таком выборе

A0 второе сла-

Qm−k (a)

гаемое в (3) может быть записано в виде (x − a)F(x) :

Pn (x) - A0Qm−k (x)

(x - a)F (x)

F (x)

. □

(x - a)k Q

(x)

(x - a)k Q

(x)

(x - a)k−1 Q

(x)

m−k

Следствие 1.

Если

x = a –

корень кратности k

много-

члена Qm (x) , то имеет место формула

375

Pn (x)

Qm (x)

(x − a)k Q

(x)

m−k

f (x)

(4)

Ak−1

+K +

(x − a)k

(x − a)k−1

x − a

Qm−k (x)

где

(x)

−

правильная дробь;

A i ,i = 0,1,K,k −1, –

Qm−k (x)

постоянные.

Для доказательства формулы (4) достаточно приме-

нить

(k −1)

раз

утверждение

слагаемому

F (x)

в правой части равенства (2).

(x − a)k−1 Q

(x)

m−k

Утверждение 2. Если знаменатель Qm (x) правильной

дроби

Pn (x)

имеет

вид

Qm (x) = (x2 + px + q)kQm−2k (x) ,

Qm (x)

p2 − 4q < 0 ,

где p

и q –

действительные числа,

то справед-

ливо равенство

Pn (x)

Qm (x)

(x + px + q)

Qm−2k (x)

B0 x + C0

Φ(x)

(x2 + px + q)k

(x2 + px + q)k−1Qm−2k (x)

где

B0 ,

–

действительные

числа,

Φ(x)

– правильная дробь.

(x2 + px + q)k−1Qm−2k (x)

Следствие 2. Если Qm (x) = (x2 + px + q)kQm−2k (x) ,

p2 − 4q < 0 ,

то имеет место равенство

(x)

Pn (x)

B0 x + C0

Qm (x)

+ px

+ q) Qm−2k (x)

+ px + q)

(5)

B 1x + C1

Bk−1x + Ck−1

Ψ (x)

+K +

(x2 + px + q)k−1

Qm−2k (x)

x2 + px + q

376

Ψ(x)

где Qm−2k (x) – правильная дробь, Bi ,Ci – постоянные

величины, i = 0,1,K,k −1.

Доказательство утверждения 2 и следствия из него аналогичны доказательству утверждения 1 и его следствия.

Упражнение 1. Доказать утверждение 2 и следствие из него.

Пусть теперь многочлен Qm (x) имеет вид:

Qm (x) = (x − a1 ) k1(x − a2 )k2 K

K(x − a r ) kr (x2 + p 1x + q1 )l 1(x2 + p 2 x + q2 ) l 2K(x2 + p s x + qs ) l s .

Тогда, на основании утверждений 1 и 2, справедливо

равенство

Pn (x)

A10

A11

A1(k1−1)

A 20

+K +

Qm (x)

(x − a ) k1

(x − a

) k1−1

x − a1

(x − a ) k2

A2(k2 −1)

A r (kr −1)

+K+

+K +

(x − a

) k2 −1

x − a2

(x − a

) kr

(x − a ) kr −1

x − ar

B x + C

B1(l 1−1) x + C1(l 1−1)

+K+

+ (6)

(x2 + p1x + q1 )l1

(x2 + p1x + q1 )l1−1

x2 + p1x + q2

B x + C

B2(l 2−1) x + C2(l 2−1)

+K+

+ ... +

(x2 + p2 x + q2 )l 2

(x2 + p2 x + q2 )l 2 −1

x2 + p 2 x + q2

Bs 0 x + Cs 0

Bs1x + Cs1

+K+

B s

(l s−1) x + Cs(ls −1)

(x2 + ps x + qs )l s

(x2 + ps x + qs )l s −1

x2 + ps x + qs

где A10, A11,K, A r(kr −1), B10 , B11,K, Bs(l s−1),C10 ,C11,K,Cs(l s−1)

–

постоянные величины, называемые коэффициентами раз-

ложения дроби на простейшие.

Общим знаменателем дробей в правой части является

Qm (x) ,

то есть

Pn (x)

T (x)

, откуда следует, что

Qm (x)

Pn (x) ≡ T (x) .

(6’)

377

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе- нях x многочленов Pn (x) и T (x) , получим систему линей-

ных уравнений, решая которую находим коэффициенты разложения (6). Такой способ определения коэффициентов разложения рациональной дроби на простейшие называет-

ся методом неопределенных коэффициентов.

Пример 1. Функцию

разложить на простейшие

− x2

Решение. Разложим знаменатель на множители

x5 − x2 = x2 (x3 −1) = x2 (x −1)(x2 + x +1) .

Dx + E

x5 − x2

x2 (x −1)(x2 + x +1)

x −1

x2 + x +1

Освобождаемся от знаменателя:

1 = A(x −1)(x2 + x +1)+ Bx(x −1)(x2 + x +1)+

+Cx2 (x2 + x +1) + (Dx + E)x2 (x −1).

Поскольку два многочлена тождественно равны толь- ко в том случае, если равны коэффициенты при одинако- вых степенях х (утверждение 8.2), то из этого равенства

получаем систему линейных алгебраических уравнений

B + C + D = 0,

A + C + E − D = 0,

C − E = 0,

−B = 0,

−A =1,

A = −1, B = 0,C =

, D = −

, E =

из которой находим

Итак,

= −

−

x −1

. □

− x

3(x −1)

(

+ x

)

Метод неопределенных коэффициентов является общим. В частных случаях коэффициенты можно определить проще.

378

Пусть знаменатель			Qm (x) правильной рациональной
дроби	Pn (x)	имеет действительный корень а кратности k .
дроби	Q (x)	имеет действительный корень а кратности k .
	m
В э т о м с л у ч а е Q			(x) = (x - a) kQ	(x) , Q	(a) ¹ 0 , а
		m	m−k	m−k

среди простейших дробей, на которые раскладывается

д р о б

Pn (x)

е т

Qm (x)

(7)

(x - a)k

Для вычисления коэффициента А в (7), который отве-

чает действительному корню а

многочлена

Qm (x) кратно-

сти k, нужно вычеркнуть в знаменателе дроби

Pn (x)

мно-

Q (x)

житель (x - a)k

и в оставшемся выражении взять

x = a .

Этот способ вычисления коэффициента А обычно называют методом вычеркивания. Отметим, что этот способ используется исключительно для вычисления коэффициентов при наи- высших степенях простейших дробей, которые отвечают

действительным корням многочлена Qm (x) .

Метод вычеркивания особенно эффективен, если зна- менатель Qm (x) имеет только разные действительные кор- ни.

Пример 2. Найти разложение
	5x + 2	(8)
	(x + 2)(x +1)(x - 2)

на простейшие дроби.

Решение. Согласно утверждению 1, запишем

	5x + 2	=	A1	+	A2	+	A3
								.
	(x + 2)(x +1)(x - 2)		x + 2		x +1		x - 2
Для нахождения A1 вычеркнем у дроби (8) множитель
(x + 2) и в оставшемся выражении возьмем						x = −2 .

379

Получим	A =		-10 + 2	= -2 .	Аналогично получим
Получим	A =	(-1)×(-4)		= -2 .	Аналогично получим
	1	(-1)×(-4)
A2 =1; A3 =1 . □
Замечание	1.	Умножая		обе	части равенства (4) на

(x - a)k , дифференцируя полученное равенство и подстав-

ляя	в	результат
дифференцирования	x = a , на k-м шаге	получаем общую

формулу для вычисления коэффициентов разложения (4):

			1	æ	P	(x)(x - a) k ö(k−1)
A	k−1	=		ç	n			÷
A		=		ç		Q	(x)	÷
			(k -1)!ç			Q	(x)	÷
				è		m		ø

=	1	æ	Pn (x)		ö(k−1)
		æ			ö(k−1)
		ç			÷
		ç			÷
	(k -1)!ç Q			(x) ÷
x=a		è	m−k		ø	x=a
x=a						x=a

(9)

Упражнение 2. Проверить формулу (9).

Пример 3. Разложить функцию

на про-

(x -1)(x + 2)3

стейшие дроби.

Решение. Согласно (4), имеем

(x -1)(x + 2)3

x -

(x + 2)3

(x + 2)2

x + 2

Коэффициент

A0 находим по формуле (9)

(k =1):

(x + 2)3

x=1

Поскольку x = −2 есть корень кратности k = 3 знаменателя данной

функции, то по формуле (9) находим

B =

;

è x -1

x=−2

B =

x ö¢

= -

;

(x -1)2

è x

1ø

x=−2

ö¢

B =

ç -

= -

(x -1)2 ÷

2 (x -1)3

x=−2

Таким образом

380

x	=	1	+	2	−	1	−	1	. □
(x −1)(x + 2)3		27(x −1)		3(x + 2)3		9(x + 2)2		27(x + 2)

Иногда для получения коэффициентов полезно в тож- дество (6’) подставить вместо х некоторые подобранные

числа (обычно вещественные нули знаменателя Qm (x)

данной дроби) или использовать тождества, которые получаются дифференцированием по х указанного тождества при некоторых подобранных значе- ниях х.

Пример 4. Разложить на простейшие дроби функцию

2x +1

(x −1)2 x

Решение. Имеем

2x +1

(x −1)2

x −1

(x −1)2 x

A(x −1)2

+ Bx + Cx(x −1)

(x −1)2 x

Отсюда

2x +1 = A(x −1)2 + Bx + Cx(x −1) .

(10)

Полагая здесь последовательно

x = 0, x =1, найдем, что

A =1, B = 3 .

Продифференцировав

равенство

(10),

получим

2 = 2A(x −1) + B + C (x −1) + Cx или 2 = 2(x −1) + 3 + C (x −1) + Cx .

Пр и x =1 н а й д е м , ч т о C = −1 . Ит а к , о к о н ч а т е л ь н о

2x +1

−

. □

(x −1)2 x

(x −1)2

x −1

Задания для самостоятельной работы

1. Представить комплексные числа в тригонометрической форме:

а) 5 + 3i ; б) −2 + i2 ; в) 2i ;

381

-sinα + i cosα

0 < α <

е) −2 ;

г)

2 3 - 2i ;

д)

;

в показательной форме:

ж) −1+ 2i ;

з) −i ;

и) i ;

к)

-1- i

;

л)

< α < π

sinα - i cosα ç

÷ .

2. Вычислить выражения:

ö40

1+ i

(1+ 2i)3 ;

(1- i )(1+ 2i)

а)

б)

;

в)

;

(3 - 4i)(5 - 6i)

1- i

г) (2 - 2i)7 ;

1- i ö3

д)

÷ .

1+ i ø

3. Найти все значения комплексных чисел:

а) 4

;

б) 5

;

в) 4

;

-1

-i

г)

2 - 2

3i ; д) 6 3 - 2i ;

е)

+ isin

çcos

÷ .

4. Записать в алгебраической форме числа:

π i

б) e2i ;

в) 5e3i ;

г) 3e4i .

а) e 3 ;

. Решить уравнение

z6 + 64 = 0.

. Найти необходимое и достаточное условие делимости

многочлена

f (x) = x3 + ax2 + 3x + c

на

многочлен

g(x) = x2 + px + 2.

. Определить

кратности

корней x1 = 2

x2 = -1 у много-

члена x5 - 5x4 + 7x3 - 2x2 + 4x - 8.

. Разложить на множители многочлен

f (x) = x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + x +1.

. Решить уравнения

а) z2 - 8z - 3iz +13 +13i = 0; б) z5 + 2z4 + z3 + z2 + z +1 = 0;

в) z

+ z

+ z +1

= 0; г) z

z -

= 0.

382

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 6038 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб18Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб115Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc