|
Пример 1. Найти центр тяжести массы, распреде- |
ленной вдоль полуокружности y = |
|
R2 - x2 |
|
при условии |
ρ =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В силу симметрии полуокружности относитель- |
но оси Oy имеем |
xc = 0 . Для нахождения yc |
используем |
формулу (4). Для данного случая: |
4π R2 = π R × 2π y . Отсю- |
|
|
|
2R |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
□ |
д |
а |
yc = |
|
» 0,637R |
. |
|
π |
|
|
Рассмотрим |
статические моменты и |
координаты |
центра тяжести плоской фигуры. Пусть дана криволи-
нейная |
трапеция, |
ограниченная |
линиями |
x = a, x = b, y = f (x), y = 0 ( f (x) |
непрерывна на |
[a;b] ), и на |
ней распределено вещество с плотностью ρ =1 . |
Разобьем стан- |
дартным способом отрезок [a;b] на n частичных отрез-
ков, а криволинейную трапецию на n соответствующих частей. Заменим каждую частичную трапецию прямо-
угольником с основанием D xk и высотой yk−1 = f (xk−1 ) .
Тогда получим приближенные выражения элемента
массы |
D mk » yk−1D xk |
и элементарных статических мо- |
ментов |
|
1 |
|
относительно |
|
|
координатных |
осей: |
(D M |
x |
) |
|
» |
y |
Dm , (D M |
y |
) |
|
» x |
D m . Суммируя |
получен- |
k |
|
k |
|
|
2 |
|
k−1 |
k |
|
|
|
k−1 |
k |
|
|
|
ные |
|
|
|
выражения |
и |
|
|
переходя |
к |
пределу при |
λ = max D xk ® 0 , |
получим |
выражение массы и |
статиче- |
1≤k≤n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ских моментов плоской фигуры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = b y dx, |
M x = |
1 |
b y2dx, |
M y = b xy dx . |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
2 ò |
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
Координаты центра тяжести |
xc и |
yc определяются |
так же, как и для материальной дуги, т. е. по формулам (3), в которых m,M x ,M y выражаются формулами (5).
|
Используя формулы |
(5), из равенства yc = |
M x |
|
m |
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
b y2dx = y |
|
b y dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 ò |
|
c |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
или, умножая на 2π , получим
bb
πò y2dx = 2π yc ò y dx .
aa
Впоследней формуле левая часть есть объем V тела, получаемого при вращении данной плоской фигуры около оси Ox, а правая – произведение площади S вращаю-
щейся фигуры на 2π yc - длину окружности, которую
описывает при вращении фигуры ее центр тяжести. Таким образом, получаем
Пример 2. Найти центр тяжести полукруга, ограниченного осью
Ox и полуокружностью y = 
R2 - x2 при условии ρ =1 . Решение. В силу симметрии полукруга относитель-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но оси Oy имеем |
xc = 0 . Согласно формуле (6), получаем |
|
4 |
π R3 |
= |
1 |
π R2 × 2π yc . Отсюда yc = |
4R |
» 0,424R . □ |
3 |
2 |
3π |
§ 9. Несобственные интегралы
При определении определенного интеграла пред-
полагалось, что |
выполнены |
условия: а) промежуток |
[a;b] конечен, б) |
функция f (x) |
ограничена на [a;b] . |
В этом случае определенный интеграл называется собственным. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называют несобственным.
10. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегри-
рования. Пусть функция f (x) определена на промежутке [a;+ ¥). Предположим, что она интегрируема на любом
отрезке |
[a; A] , |
|
A |
т.е. существует интеграл |
ò f (x)dx . Допустим, что при |
A → +∞ существует |
a |
|
A
lim ò f (x)dx =
A→+∞ a
(1)
Этот предел называется не-
собственным интегралом первого рода или несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования.
Рис. 1 Если в (1) предел, записанный слева, существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если же этот предел не
+∞
существует или бесконечен, то интеграл ò f (x)dx назы-
a
вается расходящимся.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию несобственного интеграла. Пусть функция f (x) неотрица-
тельная и невозрастающая на [a;+ ∞) (рис. 1).
A
Интеграл ò f (x)dx численно равен площади за-
a
штрихованной криволинейной трапеции. При возрастании А эта площадь будет увеличиваться. При этом она может неограниченно возрастать либо оставаться ограниченной и стремиться к какому-то пределу. Этот предел и есть
+∞
ò f (x)dx . Подчеркнем, что площадь фигуры, заключен-
|
a |
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
ной между графиком функции |
и осью Ox вправо |
|
от точки x = a , |
может быть конечной, несмотря на то, |
|
что фигура является неограниченной. |
|
|
|
Пример 1. |
Вычислить несобственные интегралы |
|
(или установить их расходимость): |
|
|
|
+∞ |
+∞ |
dx |
|
+∞ |
dx |
|
|
а) ò e−x dx , б) ò |
, |
в) ò |
, α ¹ 1. |
|
|
α |
|
0 |
1 |
x |
1 |
x |
Решение.
а) По определению имеем:
|
|
|
+∞ |
e−x dx = |
A |
e−x dx = lim |
æ |
-e−x |
|
A ö |
= lim (1- e− A )=1; |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
A→+∞ ò |
|
|
|
|
|
|
A→+∞ |
è |
|
|
|
|
|
|
0 ø |
A→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
lim (ln x |
|
1A )= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
ò |
dx |
= lim |
|
ò |
dx |
|
= |
|
lim |
ln A = +¥ , |
следо- |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
A→+∞ |
1 |
|
x |
|
A→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вательно, этот интеграл расходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
dx |
|
|
|
A |
−α |
|
|
|
|
æ |
1 |
|
|
|
1−α |
|
A ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
ò |
|
|
|
|
= lim |
ò x |
|
|
|
dx = lim |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
÷ = |
|
|
|
|
xα |
|
|
|
|
1-α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
A→+∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
A→+∞ |
è |
|
|
|
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
Alim→+∞ |
(A1−α -1) ,α ¹ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, |
|
что |
|
1−α < 0 , |
|
|
|
|
т.е. |
α >1. |
Тогда |
Alim→+∞ (A1−α -1)= -1 и |
|
+∞ dx |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò1 |
|
= |
|
, |
|
т.е. несобственный |
интеграл |
|
xα |
1-α |
|
+∞ |
dx |
сходится при α >1 и его значение равно (α -1)−1 . |
ò |
|
|
α |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−α > 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α <1. |
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
теперь |
|
|
|
|
|
|
|
т. |
|
е. |
Тогда |
Alim→+∞ (A1−α -1)= +¥ и данный интеграл расходится.
Этот пример свидетельствует о том, что функция
|
f (x) = |
1 |
|
в случае α >1 достаточно быстро стремится к |
|
α |
|
|
x |
|
|
|
|
|
нулю при |
x → +∞ , и это обеспечивает существование не- |
|
|
|
|
+∞ |
dx |
|
|
|
собственного интеграла ò |
. Если же |
α <1, то |
|
α |
|
|
1 |
|
1 |
x |
|
|
f (x) = |
|
стремится к нулю медленно при |
x → +∞ или |
|
α |
|
|
x |
|
|
|
|
совсем не стремится к нулю, и поэтому рассматриваемый интеграл расходится. □
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-¥;b) :
b
f (x)dx = lim ò f (x)dx .
B→−∞B
Если же функция f (x) определена на всей числовой прямой (−∞;+ ∞) , то полагают:
+∞ |
c |
+∞ |
|
ò |
f (x)dx = ò |
f (x)dx + ò f (x)dx , |
(2) |
−∞ |
−∞ |
c |
|
где с – произвольное число, при условии существования обоих интегралов в правой части равенства.
2 0 . Несобственные интегралы от неограниченных
функций. Пусть функция f (x) |
неограничена на [a;b] в |
о к р е с т н о с т и |
т о ч к и |
b . |
Предположим, |
что функция |
f (x) интегрируема на лю- |
бом о т р е з к е [a;c] [a;b) , т . е . |
с у щ е с т в у е т и н т е г р а л |
c |
|
|
|
|
|
|
ò f (x)dx |
, |
|
|
|
c [a;b) |
. |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
b |
|
Тогда, |
если |
существует |
lim |
ò f (x)dx = ò f (x)dx , |
то |
|
|
|
c→b−0 |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
его называют несобственным интегралом второго рода или несобственным интегралом от неограниченной функции.
Если указанный предел существует и конечен, то рассматриваемый интеграл называется сходящимся, в противном случае –
р |
а |
с |
х |
о |
д |
я |
щ |
и |
м |
с |
я |
. |
|
Если функция f (x) определена на промежутке (a;b] |
и неог- |
р а н и ч е н а в о к р е ст н о с т и т о ч к и x = a , |
т о п о л а г а ют |
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f (x)dx = |
lim |
ò f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
a |
|
c→a+0 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, если функция не является ограниченной в любой окрестности внутренней точки c интервала (a; b) , то полагаем
b c b
ò f (x)dx =ò f (x)dx +ò f (x)dx,
a a c
а несобственные интегралы в правой части равенства уже определены.
§ 10. Интегралы, зависящие от параметра
b
Рассмотрим интеграл ò f (x,t )dx , где подынтеграль-
a
ная функция зависит от параметра t и при каждом t (из области задания параметра) непрерывна по x на отрезке [a;b] . Т. к. определенный интеграл зависит от подынтеграль-
ной функции, то при изменении параметра t меняется и интеграл, т. е. он является функцией t, которую обо-
з |
н |
а |
ч |
и |
м |
I (t) |
: |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
I (t) = ò f (x,t)dx . |
|
(1) |
a
Интеграл (1) называется интегралом по конечному промежутку, зависящим от параметра t .
10. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.
Пусть при каждом t из некоторого отрезка [c;d] функ-
ции f (x,t) и ft¢(x,t) |
непрерывны по x , |
a ≤ x ≤ b . |
|
|
Найдем производную интеграла (1) по параметру t. |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
b é f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,t + Dt) |
- f (x,t)ù dx |
|
d I |
|
|
|
D I |
|
I (t + Dt) - I (t) |
òë |
|
û |
|
|
= lim |
= lim |
= lim |
a |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
Dt |
|
|
d t |
t→0 Dt |
t→0 |
Dt |
t→0 |
|
|
= lim |
b f |
(x,t + Dt) - f (x,t) |
dx = b ft¢(x,t)dx |
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
|
Dt |
ò |
|
|
|
|
|
или |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ b |
ö¢ |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çç ò f (x,t)dx÷÷ |
= ò ft¢ (x,t)dx , |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
è a |
|
ø t |
a |
|
|
|
т.е. производная по параметру от интеграла, зависящего от этого параметра, равна интегралу от производной подынтегральной функции по параметру.
|
1 |
ln(1 |
+ tx) |
|
|
Пример 1. Найти I′(t) , если I (t) = ò |
dx , t [1;2] . |
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
439
|
|
Решение. |
|
Поскольку |
функции |
|
f (x,t) = |
ln(1+ tx) |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
f |
′(x,t) = |
|
|
|
непрерывны при каждом |
t Î[1;2] |
на отрезке |
|
1 |
+ tx |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xÎ[0;1] , то, согласно (2), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
1 dx |
ln(1+ tx) |
|
1 |
1 |
|
+ t) . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
(t) = ò |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
ln(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ tx |
t |
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Несобственные интегралы |
от |
функции |
f (x,t) , |
по |
аналогии с §9, определяются при каждом допустимом значении параметра t .
20. Гамма-функция. Гамма-функцией, или эйлеровым интегра-
лом второго рода, называется интеграл
∞ |
|
òe−x xβ −1 dx = Γ(β ). |
(3) |
0
Интеграл (3) является несобственным т. к. верхний предел интегрирования бесконечен; кроме того, если β -1< 0 , то подынтегральная функция неограничена
при x → 0 . Разобьем этот интеграл на два интеграла:
1∞
Γ(β ) = òe−x xβ −1 dx + òe−x xβ −1 dx = Γ1(β ) + Γ2 (β ) ,
01
которые исследуем на сходимость.
Покажем, что интегралы Γ1(β ) и Γ2 (β ) сходятся по параметру β на каждом конечном отрезке a £ β £ b , где 0 < a < b < +∞.
Действительно, пусть |
0 < a <1, b >1. Тогда подынтегральная |
функция f (x, β ) = e−x xβ −1 |
подчиняется неравенствам: |
|
|
|
|
|
|
0 ≤ e−x xβ −1 ≤ xa−1, если 0 < x £1, |
a £ β £ b, |
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ e−x xβ −1 ≤ xb−1e−x , если x ³1, |
a £ β £ b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
xa |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Несобственные |
интегралы |
òxa−1dx = |
|
|
|
= |
, |
a |
|
|
a |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞
ò xb−1e−xdx
1
являются сходящимися. Отсюда следует сходимость по параметру β [a;b] каждого интеграла Γ1(β ) и Γ2 (β ) .
∞ |
|
|
∞ |
|
При β =1 имеем G(1) = òe−x dx = -e−x |
|
|
|
0 =1. |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Интегрируя (3) по частям, получаем |
|
∞ |
∞ |
|
β G(β ) = β òe−x xβ −1 dx = xβ e−x |
|
0∞ |
+ òe−x xβ dx = G(β +1). |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
G(β + n) = (β + n -1)(β + n - 2)...(β +1)G(β ) . |
(4) |
Из формулы (4) следует, что для получения значе- |
ний |
|
|
|
|
G -функций на каждом промежутке (n;n +1], n =1, 2,.... достаточно |
знать значения G(β ) для 0 < β £1 . |
В частности, полагая в |
(4) β =1, имеем G(n +1) = n!G(1) = n!. |
Равенство (4) |
позволя- |
ет обобщить функцию n! на множестве всех положи-
тельных |
чисел β != G(β +1) . |
Кроме |
того, |
равенство |
G(β ) = G(β +1) позволяет определить |
функцию |
G(β ) для |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β < 0, β ¹ -1; - 2;.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
гамма-функции G(β ) (0 < β <1) |
справедлива |
формула дополнения |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
G(β )G(1- β ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(5) |
|
sin(βπ ) |
|
|
|
Из формулы (5) при β = |
1 |
|
|
|
æ |
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
π »1,77. |
|
|
получаем Gç |
|
÷ |
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
|
|
|
30. Бета-функция. Бета-функция, или эйлеров интеграл первого |
рода, определяется формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B( p,q) = òx p−1(1- x)q−1dx. |
|
|
|
(6) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, что подынтегральная функция не ограничена при x →1− 0 , если q −1< 0 . Интеграл (6) в
этом случае становится несобственным от неограниченной функции. Можно доказать, что он сходится, или что бета-функция определена, если p > 0, q > 0.
Подстановкой x =1− t в интеграле (6) убеждаемся,
что бета-функция симметрична относительно своих аргументов:
|
|
|
|
Β( p,q) = Β(q, p). |
|
|
|
|
|
Интегрируя (6) |
по частям при q >1, приходим к со- |
о |
т |
н |
о |
|
ш |
е |
н |
и |
ю |
: |
|
|
|
B( p,q) = |
|
|
q -1 |
|
B( p,q -1). |
|
|
|
|
|
|
|
p |
+ q -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя эту формулу, второй аргумент в (6) можно сделать не больше 1.
В силу свойства симметрии справедлива также формула
|
B( p,q) = |
p -1 |
|
B( p -1,q) . |
|
p + q -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью подстановки x = |
|
|
y |
, 0 £ y < +¥, бета- |
|
1 |
+ y |
|
|
|
|
|
|
функция записывается в виде несобственного интеграла
|
∞ |
|
y p−1dy |
|
|
|
|
|
|
|
B( p,q) = ò |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(1+ y) |
p+q |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая здесь q =1− p (0 < p <1) , |
имеем |
∞ |
|
y p−1dy |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
B( p,1- p) = ò |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
(7) |
|
|
1+ y |
|
|
sinπ p |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если p = |
1 |
|
, то |
B |
æ |
1 |
, |
1 ö |
= π. |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
2 ø |
|
|
Связь между бета- и гаммафункциями выражает-
ся формулой Эйлера
B( p,q) = G( p)G(q) . |
(8) |
G( p + q) |
|
Если в (8) q =1− a, 0 < p = a <1 , то, согласно (7),
Это свойство гамма-функции называют формулой
|
|
1 |
æ |
1 |
ö |
|
|
|
|
дополнения. При a = |
= π »1,77. |
|
|
получаем Gç |
|
÷ |
|
2 |
2 |
|
|
è |
ø |
|
|
|
