Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 6041 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

Отметим, что не всякая первообразная элементарной функции является элементарной функцией. Неопределен- ные интегралы от таких функций называют «неберущими- ся». К ним относятся следующие:

sin x

dx ,

cos x

dx ,

(0 < k <1) ,

òe−x2 dx ,

1− k2 sin2 x

òsin x2dx , òcos x2dx , ò 1− k2 sin2 x dx

(0 < k <1) .

Каждый из приведенных интегралов представляет собой функцию, которая не выражается в элементарных функциях.

Следует отметить, что интеграл от дифференциально- го бинома, т.е. интеграл вида

òx α (a + bx β ) γ dx ,	(1)
где α, β ,γ – рациональные числа, выражается	через
элементарные функции только в трех случаях: 1) γ	– це-

лое число; 2) α +1 – целое число; 3)			α +1	+ γ – целое чис-
	β		β
ло.	Последнее	было		установлено
Л. Эйлером и П. Л. Чебышевым.
При этом рекомендуются следующие замены пере-
менных:
1)	x = tk , где k общий знаменатель α и β ,
2)	a + bxβ = tk , где k знаменатель γ ,
3)	a + bxβ = tk xβ , где k знаменатель γ .

Задания для самостоятельной работы

1. Найти интегралы:
	а)		ò(3 − x2 )3 dx ;	б) ò	x4	+ x−4 + 2		dx ;	в)
	а)		ò(3 − x2 )3 dx ;	б) ò		x	3	dx ;	в)
						x
ò	x3 + 3
		dx ;
	x2 −1	dx ;

403

	г) ò(2x+1 − 5x−1) dx ; д) ò(2x + 3x ) dx ; е) òtg2 x dx ; ж)
ò	dx	.

	8 − x2

2. Найти следующие интегралы, воспользовавшись ука-

занной заменой переменной:

а) ò

, x =

;

б) ò

dx, t =

x + 2

x2 − 4

x + 2

3. Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:

а) ò

;

б) ò

cos2 x

dx ; в)

2x +1

sin x

(arccos x)2

dx .

1− x2

4. Применяя формулу интегрирования по частям, найти

следующие интегралы:
а) òarctg xdx ;	б)	òxsin xdx ; в)
òx2ex dx ;
г) òxarctg3xdx ;	д)	òx2 ln 2x dx .

5. Применяя различные методы, найти следующие инте- гралы:

а)

òe

dx ;

б)

ò(x2 − 2x + 5)ln x dx ;

в) ò

;

− 2x +

г)

òx2arctg3x dx ;

д)

(x −1)2

dx ;

+ 3x +

е)

ò a2 − x2 dx .

6. Найти следующие интегралы:

а) ò

2x + 5

dx ; б)

x3 +1

dx ;

в)

+ 3x −10

− 5x

+ 6x

dx ;

− 3x + 2)

404

г) ò		dx	;	д) ò			dx			.
	x	3			(x	2	− 4x + 4)(x	2
		+1							− 4x + 5)

7. Найти следующие интегралы:

а) òx

x +1

dx ;

б)

x −1

в) ò

x +1

dx ;

1− x

−

dx ;

г) ò

x + 1

x −1

д)

x + 1 +

x −1

8. Найти следующие интегралы:

а)

;

б)

+ 2cos x

в)

1+ tg x

dx ;

1− tg x

г)

sin 2x

dx ;

д)

+ sin

е)

sin2 x cos2 x dx .

ò 1− x − (1− x)3 ;

ò x(1+ 2x + 3x ) .

ò1−sinsinx x dx ;

òsin2 xcos3 x dx ;

405

ГЛАВА 12

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл

10 . Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная не-

отрицательная функция y = f (x) (рис.1). Рассмотрим кри- волинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = f (x) , прямыми x = a, x = b и осью Ox. Поставим задачу о вычислении площади этой криволинейной трапеции. С этой целью отрезок [a;b] разобьем на n произвольных час- тей точками: a = x0 < x1 < x2 <K < xk−1 < xk <K < xn = b .

Через точки xk ,k = 0,1,K,n , проведем прямые, параллельные оси Oy. Криволинейная трапеция ABCD разобьется на n частичных кри-

волинейных трапеций.			Теперь
на	каждом	из	отрезков
[x0 ; x1], [x1 ; x2 ],K,		[xn−1 ; xn ] выбе-

Ррем произвольно по точке ξk ,

ис. 1	ξk [xk−1	; xk ], k =1,2,K,n, вычис-

лим значения f (ξk ), k =1,2,K,n ,		и каждую частичную

криволинейную трапецию заменим прямоугольником с вы-

сотой	f (ξ1 ) , f (ξ2 ) , K, f (ξn ) . Тогда можно полагать, что
для площади S криволинейной трапеции ABCD справедли-
	n
во соотношение S ≈ å f (ξk ) (xk − xk−1 ) .
	k=1
Очевидно, что это равенство будет тем точнее, чем
меньше	max (xk − xk−1 ) = λ . Поэтому площадь криволинейной
	1≤k≤n

трапеции определяют как

406

	n
	S = lim å f (ξk ) (xk − xk−1 ) .		(1)
Число S	л→0 k=1	определенным интегралом от
Число S	называют	определенным интегралом от
			b
функции f (x)	по отрезку	[a;b] и обозначают	ò f (x)dx .

Точный смысл предела в (1) и подробное рассмотрение та- кой конструкции дается в следующем пункте.

20 . Определение определенного интеграла. Пусть

функция f (x) определена на отрезке [a;b] .	Разобьем этот
о т р е з о к н а n ч а с т е й т о ч к а м и	xk ,k = 0,1,K,n :
a = x0 < x1 < x2 <K < xk−1 < xk <K < xn = b	.


Введем обозначения: xk = xk − xk−1,			k =1,2,K,n, λ = max	xk .
На каждом из отрезков [xk−1; xk ]			1≤k≤n
На каждом из отрезков [xk−1; xk ]			произвольно выберем
по точке ξk ,	k =1,2,K,n . Рассмотрим следующую сумму:
	n	(ξk ) xk .
	σ = å f	(ξk ) xk .		(2)
	k=1	интегральной суммой
Сумма	(2) называется	интегральной суммой		для

функции f (x) на отрезке [a;b] .

Число А называется пределом интегральных сумм (2) при λ → 0 ,

если ε > 0	δ = δ (ε ) > 0 , такое, что для любого разбиения
отрезка [a;b]	точками xk ,k = 0,1,K,n , для которого λ < δ , при лю-
бом выборе точек ξk [xk−1; xk ] выполняется неравенство
				n
				n
		σ − A	=	å f (ξk ) xk − A	< ε .
		σ − A	=	å f (ξk ) xk − A	< ε .
				k=1
Другими словами, предел интегральных сумм не за-

висит ни от способа разбиения отрезка [a;b] , ни от выбора точек ξk на отрезках [xk−1; xk ] , k = 0,1,..., n.

Функция f (x) называется интегрируемой на отрезке

[a;b] , если на этом отрезке существует конечный предел А ее интегральных сумм (2) на этом отрезке. Число А назы-

вается определенным интегралом функции f (x) на отрез-

ке [a;b] и обозначается

407

b
ò f (x)d x .	(3)

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

На основании предыдущего пункта заключаем, что геометрический смысл определенного интеграла (3) со- стоит в том, что он равен площади криволинейной трапе-

ции, если f (x) ³ 0 (рис.1).

Из определения интеграла следует, что значение интеграла (3) есть число, зависящее от функции f (x) , пределов интегрирования а и b и не зависящее от переменной интегрирования.

	b
Пример 1. Найти определенный интеграл ò1d x .
	a
Решение. Построим для функции	f (x) =1	на отрезке [a;b]
n	n
интегральную сумму σ = å f (ξk )D xk	= åD xk .	Учитывая, что
k=1	k=1

Dxk = xk - xk−1 , имеем

σ= (x1 - x0 ) + (x2 - x1 ) + (x3 - x2 ) +K +

+(xn−1 - xn−2 ) + (xn - xn−1 ) = b - a.

Следовательно, òd x = lim σ = b - a . □
a	λ→0

Нетрудно показать, что интегрируемая функция обя- зательно является ограниченной (если функция не ограни- чена, то при фиксированном разбиении интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой за счет выбо- ра одной из промежуточных точек). С другой стороны, ог- раниченность недостаточна для интегрируемости, что по- казывает следующий пример.

Пример 2. Доказать, что функция Дирихле

ì0, если x - иррациональное,

D( x ) = í

î1, если x - рациональное, не интегрируема на любом отрезке [a;b] . Решение. Произведем разбиение отрезка [a;b] :

a = x0 < x1 < x2 <K < xk−1 < xk <K < xn = b .

408

Составим интегральную сумму

		n
		σ = åD(ξk )D xk .				(4)
		k=1
Покажем,	что	предел	интегральных сумм		(4)	при
λ = max D xk ® 0	не	существует.		Действительно,	если	вы-
1≤k≤n
брать все ξk иррациональными,				то σ = 0 ; если же выбрать
			n
все ξk рациональными, то			σ = åD xk = b - a ¹ 0 . Это означа-

k=1

ет, что не существует числа А, удовлетворяющего определе- нию определенного интеграла. Таким образом функция Дирих-

ле является ограниченной на отрезке [a;b] , но не интегри- руемой на нем. □

§ 2. Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим свойства определенных интегралов. Предполагаем, что интегралы, входящие в доказываемые

формулы, существуют.		f , определенной в точке a ,
Для любой функции		f , определенной в точке a ,	по-
ложим, по определению,		a
		a
	ò f (x)dx = 0 ,
		a
а для функции, интегрируемой на отрезке [a; b] ,
	a	b
	ò f (x)dx = -ò f (x)dx, a < b.
	b	a
Эти определения в известной мере естественны. В первом случае,
т.е. при a = b ,	следует считать, что все промежутки		раз-
биения отрезка	[a;b] становятся точками, а их длины		Dxk
		n
равны нулю. Поэтому все интегральные суммы å f (ξk )Dxk в
		k=1

этом случае также равны нулю, а вместе с ними обращается в нуль и интеграл.

409

Во втором случае следует считать отрезки [xk−1; xk ] разбиения отрезка [a;b] ориентированными в отрицательном направ- лении оси Ox (см. § 2.1), поэтому их величины xk − отрицательными.

Отсюда следует, что все интегральные суммы, образуемые для ò f (x)dx,

отличаются лишь знаком от соответствующих интегральных

сумм ò f (x)dx.

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

b	b
òc f (x)d x = cò f (x)d x, c = const .
a	a

Доказательство. Построим интегральную сумму для

	n
функции c f (x)	на отрезке [a;b] : σ = åc f (ξk ) xk .
	k=1

Очевидно, åc f (ξk )

k=1

xk = cå f (ξk ) xk . Тогда, по определению

k=1

определенного		интеграла,	имеем
b	n
òc f (x)d x = lim åc f (ξk )		xk =
a	λ→0 k=1

= lim cå f (ξk )

λ→0 k=1

xk =c lim å f (ξk )

λ→0 k=1

xk = cò f (x)d x. □

2) Определенный интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов, т.е.

b	b	b
ò( f (x) + g(x))d x = ò f (x)d x + òg (x)d x .			(4)
a	a	a
Доказательство. Действительно, построив инте-
гральную сумму σ f +g	для функции	f (x) + g (x) на	отрезке
[a;b] , имеем:

σ f +g = å( f (ξk )+ g (ξk ))

k=1

n	(ξk )	n
xk = å f	(ξk )	xk + åg (ξk ) xk =
k=1		k=1
= σ f +σ g .

410

Перейдем к пределу при λ → 0 и получим равенство
(4). □
3) Аддитивность	определенного интеграла. Если
c	b

существуют интегралы ò f (x)dx		и ò f (x)dx , то существует также ин-
	a	c
b
теграл ò f (x)dx и для любых чисел a, b,c
a
b	c	b
ò f (x)d x = ò f (x)d x + ò f (x)d x .			(5)
a	a	c
Действительно,	предел интегральной суммы не зави-

сит от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные от- резки и от выбора ξk . Это позволяет при составлении ин- тегральной суммы включить точку c в число точек раз-

биения. Пусть c = xm ,	т.е.
	[a;b] = [a; c] È[c; b] =
= ([a; x1]) È[x1; x2 ] È...È[xm−1; xm ]) È ([xm ; xm+1] È...È[ xn−1; b]).
Тогда
n	m	n
å f (ξk )Dxk = å f (ξk )Dxk + å f (ξk )Dxk .
k=1	k=1	k=m+1
Переходя к пределу при		max{Dxk } = λ ® 0 , имеем
		1≤k≤n
b	c	b
ò f (x)dx =ò f (x)dx +ò f (x)dx. □
a	a	c

§ 3. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении

10 . Оценки интегралов. Рассмотрим свойства опреде- ленных интегралов, описываемые с помощью неравенств.

1) Если f (x) ³ 0 на отрезке [a;b] , то

ò f (x)d x ³ 0 .

411

Действительно,

интегральная

сумма σ = å f (ξk )D xk

k=1

для

такой

функции

является неотрицательной, так как

f (ξk ) ³ 0, D xk

³ 0, k =1,2,K,n .

Следовательно, предел инте-

(x)d x , также будет неот-

гральных сумм при

λ → 0 ,

т.е. ò f

рицательным.

□

2) Если для функций f (x)

и g (x)

на отрезке [a;b]

справедливо

неравенство

f (x) £ g (x) , то

ò f (x)d x £òg (x)d x .

Доказательство.

Рассмотрим функцию g (x) - f (x) .

Очевидно,

для каждого xÎ[a;b] выполняется неравенство

g (x) - f (x) ³ 0

и,

соответствии

предыдущим

свойством,

ò(g

(x) - f (x))d x ³ 0 . Отсюда òg

(x)d x ³ ò f (x)d x . □

3) Для любой интегрируемой на отрезке [a;b] функ-

ции

f (x) имеет место неравенство:

ò f (x)d x

£ ò

f (x)

d x .

(1)

Прежде

всего

убедимся в существовании интеграла

от

f (x)

. Если в промежутке [xk ; xk+1] взять любые две точ-

ки

x′

x′′ ,

то

(см. Введение, § 5)

¢¢

f (x )

- f (x )

Поэтому,

обозначив

через

ωk колебание функции

f (x)

на

отрезке

[xk ; xk+1] ,

по

определению

колебания

(§ 5.12), будем иметь ωk £ ωk , так что

0£ åωk Dxk £ åωk Dxk

истремление к нулю суммы справа влечет за собой то же для суммы слева.

412

<<< < Предыдущая 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 6041 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб18Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб115Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc