Математика для инженеров(теория)I том

òh g (x)dx = h ( f (-h) + 4 f (0) + f (h)).

−h 3

Последнюю формулу и называют формулой Симп-

сона.

В общем случае, когда пределы интегрирования a и b, пере-

носим начало координат в точку x = a +2 b оси абсцисс и

сводим вычисление интеграла к предыдущему случаю. Тогда будем иметь

Для увеличения точности вычисления интеграла

= b6-na (( y0 + y2n ) + 4( y1 + y3 +K + y2n−1 ) + 2( y2 + y4 +K+ y2n−2 )).

423

Отметим, что абсолютная погрешность вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона не превосходит

Формулы (1) и (7) тем точнее, чем больше n. Каждый из изложенных двух методов содержит четкий алгоритм, который легко реализуется на современных компьютерах.

§ 7. Геометрические приложения определенного инте-

грала

10 . Вычисление площадей плоских фигур. Из геомет-

рического смысла определенного интеграла (§1) выте-

b

кает, что ò f (x)dx от неотрицательной функции f (x)

a

численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x) , прямыми x = a , x = b и y = 0 .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между осью Ox и синусоидой y = sin x, x [0;π ] (рис.1).

π

Решение. Имеем S = òsin xdx = −cos x π0 = −(cosπ − cos0) = 2 .

0

□

Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее площадь представляют в виде суммы или разности площадей фигур, являющихся криволинейными трапециями. В частности, если фигура ограничена снизу и свер-

424

ху графиками не обязательно неотрицательных, но непрерыв-

425

хорды Ck−1 Ck ,k =1,2,K,n; ω = max lk . Длина полученной

1≤k≤n

n

ломаной будет выражаться формулой Ln = ålk .

k=1

Кривая будет спрямляемой, если множество {| l |} длин, впи-

По формуле конечных приращений имеем

f (xk ) - f (xk−1 ) = f ¢(ξk ) (xk - xk−1 ) , ξk Î(xk−1 ; xk ) .

Подставляя полученное выражение в (2), найдем lk = 1+ ( f ¢(ξk ))2 ×D xk , Dxk = xk - xk−1

и

Ln = ån 1+ ( f ¢(ξk ))2 × D xk .

k=1

Следовательно, величина Ln есть интегральная

сумма для функции 1+ ( f ¢(x))2 на отрезке [a;b] . Пере-

ходя к пределу в полученном выражении при ω → 0 , по-

лучаем формулу

3

ками x = 0 и x = 3 .

Решение. По формуле (3) находим

426

– переменная точка дуги AB, определяется формулой:

a

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями

используя связь между прямоугольными и полярными координатами, параметрические уравнения этой кривой следующие:

x = r cosϕ , y = r sinϕ (α ≤ ϕ ≤ β ) .

неотрицательная функция, имеющая на [a;b] непре-

рывную производную. Поверхность, образованная вра-

427

щением k - го звена ломаной C0 C1KCn вокруг оси O x ,

есть боковая поверхность усеченного конуса с площа-

a

Упражнение 2. Обосновать равенство (10).

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями (5) или в полярных координатах (7), то, соответственно, будем иметь:

40 . Объем тела вращения. Пусть функция f (x) не-

прерывна и неотрицательна на отрезке [a;b] . Построим

соответствующую криволинейную трапецию ABCD

(рис. 5а)).

Если криволинейную трапецию ABCD вращать вокруг оси Ox, то образуется тело, называемое телом вращения (рис.5б)). Поставим задачу определения и вычисления объема V этого тела.

С этой целью разобьем отрезок [a;b] точками:

a = x0 < x1 <K < xn = b , Dxk = xk - xk−1 , λ = max D xk .

1≤k≤n

428

Произвольно выберем по точке ξk [xk−1 ; xk ] , вычислим f (ξk ) , k =1,2,K,n . Построим плоскости, проходящие через каждую точку xk и перпендикулярные оси Ox. Они

разобьют тело вращения на n частей (элементарных тел). Каждое элементарное тело заменим цилиндром с

k=1

Вправой части этого равенства стоит интеграль-

Таким образом, формула (12) есть формула для вычисления объема тела вращения вокруг оси Ox криволинейной

трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x) и прямыми x = a, x = b, y = 0 .

Пример 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox области под параболой y = x2 от

x = 0 до x = 2 .

Решение. По формуле (4) имеем

429

§ 8. Физические приложения определенного интеграла

10 . Работа переменной силы. Пусть под действием переменной силы F = F (x) материальная точка C дви-

жется по прямой Ox, причем направление силы совпадает с направлением движения. Требуется определить работу, которую производит эта сила F при перемещении точки С из положения x = a в положение x = b .

элементарном пути постоянна и равна F (ξk )). Составим

сумму всех таких произведений

которая выражает приближенно работу силы F на отрезке [a;b] .

Сумма (1) есть интегральная сумма для непрерывной функции F = F (x) на отрезке [a;b] . Ее предел при

a

430

20 . Центр тяжести. Статическим моментом мате-

риальной точки, находящейся в плоскости Oxy, относительно оси Ox (или Oy) называют произведение массы этой точки на ее ординату (соответственно абсцис-

су). Статическим моментом системы таких точек

C1,C2 ,K,Cn относительно координатной оси называют

сумму статических моментов всех точек системы относительно этой оси.

Центром тяжести системы материальных точек

с массами m1,m2 ,K,mn называется точка С, обладающая

тем свойством, что если в ней сосредоточить всю массу системы m = m1 + m2 +K + mn , то ее статический момент по

отношению к любой оси равен статическому моменту системы точек относительно той же оси. Пусть

M x(n) (M y(n) ) – статический момент системы точек отно-

сительно координатной оси Ox (Oy). Тогда координаты xc и yc центра тяжести С удовлетворяют соотношени-

ям:

Значит, центр тяжести данной системы материальных точек имеет координаты:

Выразим статические моменты и координаты центра тяжести дуги плоской линии через определенные и н т е г р а л ы . П у с т ь д у г а A B з а д а н а у р а в н е н и е м

y = f (x), x [a;b] , где f (x) − непрерывно дифференцируемая на [a;b] функция и на этой дуге распределено вещество с плотностью ρ (x) . Разделим дугу AB на n частичных дуг Ck−1Ck ,k =1,n , и сосредоточим массу каждого из элементов Ck−1Ck в одной его точке Dk (xk ; yk ) . Тогда

получим пр ибли женные знач ения э лемента массы

431

D mk » ρ (xk ) Ck−1Ck и элементарных статических моментов относительно координатных осей (D M x )k » yk D mk ,

a

и ее статических моментов относительно координатных осей:

Используя определение центра тяжести C (xc ; yc ) материальной дуги AB, составим равенства mxc = M y , myc = M x .

b

ò y1+ y¢2 dx = yc × L , где L – длина дуги AB (см. (7.4)).

a

где S – площадь поверхности, которая получается при вращении дуги AB вокруг оси Ox, а 2π yc есть длина ок-

ружности, которую описывает точка C (xc ; yc ) при вра-

щении вокруг оси Ox.

432