Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6042 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Само же неравенство (1) легко получить непосредственно, исходя

из интегральных сумм

			å f (ξk )Dxk		£ å	f (ξk )	Dxk ,
			å f (ξk )Dxk		£ å	f (ξk )	Dxk ,
где Dxk	> 0 , так как a < b,			и переходя к пределам. □
4)	Если для любого			xÎ[a;b] выполняется неравенство
m £ f (x) £ M , то
				b
		m(b - a) £ ò f (x)d x £ M (b - a) .						(2)
				a
Доказательство. Воспользовавшись свойством 2)
имеем
b	b		b			b	b	b
òmdx £ ò f		(x)dx £ òMdx или mòdx £ ò f (x)dx £ M òdx .
a	a		a			a	a	a

Так как òdx = b - a , то последнее неравенство эквивалентно (2). □

20 . Теорема о среднем значении.

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] , то существует точка cÎ[a;b] , такая, что

b
ò f (x)dx = f (c)(b - a) .	(3)
a	формулы
Выясним вначале геометрический смысл	формулы
(3). Если предположить, что f (x) ³ 0 "xÎ[a;b] ,	то в (3)

интеграл слева равен площади криволинейной трапеции,

ограниченной графиком функции	y = f (x) , прямыми
x = a, x = b и осью Ox .
Из равенства (3) следует,
что площадь		криволинейной
трапеции (рис.1) равна площади
некоторого		прямоугольника с
основанием	b − a	и высотой f (c) .

	Доказательство. Так как функция
	f (x) непрерывна на	отрезке
Рис. 1	[a;b] , то, по второй	теореме
Рис. 1	Вейерштрасса, она	достигает
	Вейерштрасса, она	достигает

413

своего наименьшего и	наибольшего значений, то есть
для любого x [a;b] :
m ≤ f (x) ≤ M , где	m =	min	f (x),M = max	f (x) .
		x [a;b]	x [a;b]
Тогда, в соответствии		с предыдущим свойством 4),

m(b − a) ≤ ò f (x)dx ≤ M (b − a) .

a		b
	1
Отсюда имеем m ≤		ò f (x)dx ≤ M .
	b − a
		a

Воспользуемся теоремой Больцано-Коши о промежу- точном значении непрерывной функции и получим, что

существует точка c [a;b] такая, что

	1	b
f (c) =		ò f (x)dx ,	(4)
	b − a
		a
то есть справедлива формула (3). □
Отметим, что величину, заданную формулой (4), на-
зывают средним значением функции f (x)			на отрезке [a;b] .

§ 4. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница

10. Интеграл с переменным верхним пределом. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a;b] . Выберем произвольное x [a;b] .

Тогда функция	f (x) будет интегрируемой на отрезке [a; x],
		x
т.е. для любого	x[a;b] имеет смысл интеграл ò f (t)dt .
		a
Теперь каждому x [a;b] поставим в соответствие число, равное
x
ò f (t)dt . Это означает, что на отрезке [a;b]		будет определена функция
a
	x
	F (x) = ò f (t )dt .	(1)

414

Функция F (x) называется интегралом с переменным верхним пределом. Его основное свойство выражается сле-

д у ю щ е й	т е о р е м о й .
Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке
x
[a;b] , то функция F (x) = ò f (t)dt является дифференцируе-
a
мой на [a;b] , причем
æ x	ö′
ç ò	÷	(2)
F¢(x) = ç	f (t)dt ÷ = f (x) ,	(2)
è a	ø

т. е . производная от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции в точке, рав- н о й в е р х н е м у п р е д е л у .

Доказательство. Достаточно доказать, что существует

lim	F (x + D x) - F (x)			= f (x),	xÎ [a;b] .

x→0		D x
Из определения функции				F (x) и свойств определен-
ного интеграла следует
	x+Δ x			x	x+Δ x
F (x + D x) = ò f			(t )dt = ò f (t)dt + ò f (t)dt .
Значит,		a		a	x
			x+Δ x		x+Δ x
	x			x
F (x + D x) - F (x) = ò f		(t)dt + ò f (t )dt - ò f (t )dt = ò f (t)dt .
	a		x	a	x

К полученному интегралу применим теорему о среднем значении. Будем иметь: F (x + D x) - F (x) = f (c)D x , где с – неко-

торая точка,		заключенная между x и x +				x .
Тогда	F (x + D x) - F ( x)		= f (c)	и	lim	F (x + D x) - F ( x)			=
		D x				D x
					x→0
= lim f (c) = f (x) , так как			при	x → 0		имеем		c → x и
x→0				x [a;b] . □
функция f (x)		непрерывна в точке
Теорему 1 можно сформулировать следующим образом: если функ-
ция f (x) н е п р е р ы в н а н а			о т р е з к е		[a;b] , т о		ф у н к ц и я

415

x
F (x) = ò f (t )dt	является ее первообразной на [a;b] . Следовательно,
a
ò f (x)dx = F (x) + C						.
Теорема 2. Пусть на [a;b] задана последователь-
ность { fn (t)}	непрерывных функций, равномерно сходящих-
ся к некоторой функции			f (t) . Тогда
		x		x
	lim	ò	fn (t)dt =	ò	f (t)dt	(3)
	n→∞	ò		ò
		a		a

равномерно по x на [a;b] , т.е. при равномерной сходимо-

сти возможен предельный переход под знаком интеграла.

Доказательство. Из условий теоремы 2 и теоремы 5.15.2

вытекает, что

предельная

функция

f (t)

непрерывна на

[a;b] и max

(t) − f (t)

= r → 0 при n → ∞ . Поэтому

t [a;b]

ò fn (t)dt − ò f (t)dt

≤ ò

fn (t) − f (t)

dt ≤

(4)

≤ òmax

fn (t) − f (t)

dt ≤ òrndt =

a − b

rn .

В (4) правая часть не зависит от x и стремится к нулю при n → ∞ . Откуда и следует соотношение (3). □

Упражнение 1. Используя соотношения (4), привести подробное доказательство равенства (3).

20 . Формула Ньютона – Лейбница.

Теорема 3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке

[a;b]

и Φ(x) – какая-либо ее первообразная, то справедлива формула Ньютона-Лейбница

b
ò f (x)dx = Φ(b) − Φ(a).	(5)
a
Доказательство. Пусть Φ(x) – какая-либо первооб-
разная для непрерывной на [a;b] функции	f (x) . Тогда, по

416

теореме 1, функция F (x) = ò f (t )dt также является первооб-

		a
разной	для	f (x)	на	[a;b] .

По утверждению 11.1.1 любые две первообразные для функции f (x) отличаются на постоянную:

F (x) = F(x) + C, C - const, xÎ[a;b] .				(6)
Положив в (6) x = a , получим F (a) = F(a) + C = 0 .
Значит,	C = -F(a) , поэтому равенство (6)	принимает
вид
	x
	ò f (t)dt = F(x) - F(a) .
	a
Отсюда, при x = b , получим формулу Ньютона-Лейбница (5). □
Разность	F(b) - F(a) принято обозначать	F(x )	b	. По-
Разность	F(b) - F(a) принято обозначать	F(x )	b	. По-
			a
			a

этому формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде

ò f (x)dx =F(x) ba .

Пример 1. Вычислить следующие определенные инте- гралы:

	π									1					0
	4									1		2			0				dx
а)	òsin 2xdx,						б)			òxex		2	dx,		в) ò				dx		.
а)	òsin 2xdx,						б)			òxex			dx,		в) ò		2	+ 2x + 2			.
	0									0					−1 x			+ 2x + 2
Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница,
имеем:
π									π
4				1					π		1	æ		π		ö			1
4									4
а) òsin 2xdx = -					cos2x				4	= -					- cos0		=			,
												çcos				÷
				2							2	çcos		2		÷			2
0				2					0		2	è		2		ø			2
0					1				0
1	2 dx =	1	ex2		1		1	(e -1) ,
1
б) òxex						=
б) òxex		2				=	2
0		2				0	2
0						0

417

= arctg(x +1)

. □

в) ò

= ò

= arctg1− arctg0 =

(x +1)

−1

−1 x

+ 2x + 2 −1

§ 5. Замена переменной в определенном интеграле.

Интегрирование по частям

10 . Замена переменной.

Утверждение 1. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] , а функция x = ϕ (t) имеет непрерывную про- изводную на отрезке [α ; β ] , причем отрезок [a;b] является множеством значений функции x = ϕ (t) и ϕ (α ) = a , ϕ (β ) = b .

Т о г д а	с п р а в е д л и в а		ф о р м у л а
	b	β
	ò f (x)dx = ò f (ϕ (t))ϕ′(t)dt .		(1)
	a	α
Доказательство. Пусть F – первообразная для функ-
ции f (x) , т.е.	F′(x) =	f (x), x [a;b] .
Тогда имеем
	b
	ò f (x)dx = F (b) − F (a) .		(2)

Положим G(t) = F (ϕ (t)). По правилу дифференцирова-

н и я с л о ж н о й ф у н к ц и и п о л у ч и м ,	ч т о
G′(t) = F′(ϕ (t))ϕ′(t ) = f (ϕ (t))ϕ′(t)	.
Следовательно, функция G(t) есть первообразная для

функции f (ϕ (t))ϕ′(t) на отрезке [α ; β ] , и, по формуле Ньютона-Лейбница, найдем

β
ò f (ϕ (t ))ϕ′(t )dt = G (β ) − G (α ) =	(3)
α	(3)
= F (ϕ (β )) − F (ϕ (α )) = F (b) − F (a).

Правые части равенств (2) и (3) совпадают. Сравни- вая их левые части, получим формулу (1). □

Пример 1. Вычислить ò x31− x dx.

−7

418

Решение. Выполним замену переменной по формуле 1- x = t3 . Тогда x =1- t3, dx = -3t2dt . Определим пределы интегрирова- ния по переменной t . Из формулы 1- x = t3 при x = −7 следует, что t = 2 ,

т.е. α = 2;

при

x = 28 следует,

что t = −3,

т.е. β = −3.

Тогда,

по

−3

(

)

ò x3

dx = ò (1- t3 )t(-3t2 )dt = 3 ò (t3 - t6 )dt =

1- x

−7

−3

æ t4

t7 ö

. □

= 3çç

÷÷

= -1040

7 ø

−3

Замечание 1. При использовании формулы замены переменной в интеграле (1) справа нужно перейти к новым пределам и, в отличие от неопределенного интеграла, здесь не нужно возвращаться к старой переменной.

20 . Интегрирование по частям.

Утверждение 2. Если функции u = u (x) и v = v(x)	име-
ю	т

непрерывные производные на отрезке [a;b] , то справедли-

в	а	ф	о	р	м	у	л	а
		b		b
		òu d v = u v		ba - òvd u .				(4)
								(4)

		a		a
	Доказательство.		Очевидно, функция u(x)v(x)				является

первообразной для функции v(x)u¢(x) + u (x)v¢(x) : (u (x)v (x))′ = v(x)u¢(x) + u(x)v¢(x) .

Следовательно,

b
ò(v(x)u¢(x) + u(x)v¢(x))dx = (u(x)v (x))					ba или
ò(v(x)u¢(x) + u(x)v¢(x))dx = (u(x)v (x))					ba или
a
b	(x)dx = (u(x)v(x))	b	b
òu(x)v			- òv(x)u	(x)dx .

		a
¢			¢
a			a

Так как u¢(x)dx = d u ,v¢(x)dx = dv , то эту формулу можно записать в виде (4). □

Формулу (4) называют формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

419

Пример 2. Найти интеграл òxexdx .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

1	1	10	1	1
òxexdx = òxd ex = xex		10	−òexdx = e − òexdx =
0	0		0	0

e − ex 1 = e − (e −1) =1. □

§ 6. Приближенное вычисление определенных инте-

гралов

В ряде прикладных задач встречаются функции, пер- вообразные которых не выражаются через элементарные функции.

Это приводит к необходимости применения приближенных методов вычислений определенных интегралов. Следует заме- тить, что приближенные методы часто используются и в случае ин- тегралов, выражающихся через элементарные функции.

10 . Метод трапеций. Пусть на отрезке [a;b] задана не-

прерывная функция		f (x) . Требуется						вычислить интеграл
b
ò f (x)dx . Разобьем	отрезок				[a;b]		на	n равных		частичных
a
отрезков точками
a = x0 < x1 < x2 <K < xn = b .
В этом случае				b − a
x = x		− x	=	b − a		,	k =1,2,K,n .
x = x		− x	=			,	k =1,2,K,n .
k	k	k−1			n
Проведя прямые		x = xk ,			k = 0,1,K,n ,				всю криволиней-
ную трапецию разобьем			на		n частичных криволинейных
							трапеций (рис. 1). Со-
							единим		две	соседние
							точки		(xk−1; f (xk−1 ))		и
							(xk ; f (xk )) хордой и рас-
							смотрим		n	соответст-
							вующих		прямоугольных
Рис. 1							трапеций. Площадь k-ой
Рис. 1							такой		трапеции равна

420

f (xk−1 )2+ f (xk ) D xk .

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, имеем

b - a

ò f (x)d x » å

f (xk−1 ) + f (xk )

D xk =

( f (xk−1 ) + f (xk )).

k=1

2n k=1

n−1

Пусть yk = f (xk ). Тогда å( f (xk−1 ) + f (xk )) = y0 + yn + 2å yk и

k=1

n−1

k=1

f (x) dx »

b - a æ y + y

k ÷

÷ .

(1)

k=1

Для наглядности на рис.1 рассмотрена неотрицатель- ная непрерывная функция, однако, формула (1) имеет ме- сто для любой интегрируемой на отрезке [a;b] функции

f (x) .

Эта формула называется формулой трапеций. Она тем точнее, чем больше число n. В частности, если функция f (x) имеет вторую непрерывную производную на [a;b], то

ошибка этой формулы (абсолютная погрешность) не пре-

восходит

εn =

(b - a)3

max

f ¢¢(x)

12n2

x [a;b]

Пример 1.

Вычислить

приближенно

интеграл

òx4dx ,

полагая

n = 4 .

Найти его

точное

значение и сравнить с

приближенным.

Решение. Очевидно,

òx4dx =

= 6,4 .

Если n = 4,

[a;b] = [0;2] , то

= 0, x

= 0,5, x = 1,

x = 1,5,

x = 2,

b - a

= 0,5,

y = 0,

y = (0,5)4 = 0,0625,

= 1,

= (1,5)4 = 5,0625, y

= 16.

Подставляя полученные данные в формулу трапеций (1), имеем

421

0 +16

òx4dx » 0,5ç

+ 0,0625 +

1+ 5,0625

= 0,5(8 + 6,1250) =

14,125

= 7,0625.

Таким образом, в данном

случае ошибка равна

7,0625 − 6,4 = 0,6625 . □

20 . Метод Симпсона. Этот

Рис.

метод дает более точную при-

ближенную формулу для вычисления определенного

интеграла. Пусть

a = −h,b = h ,

т. е. пределы

интегриро-

вания расположены симметрично относительно начала

координат. Кривую y = f (x) заменим параболой

y = g (x) =α x2 + β x + γ ,

(2)

проходящей через точки A(-h; f (-h)), B(0; f (0))

и C (h; f (h))

(

)

(x)dx

Тогда интеграл

ò f

приближенно будет равен:

−h

ùh

β x

h(α h2 + 3γ ). (3)

ò g (x)dx =

êα x

+ γ xú

α h3 + 2γ h =

−h

Полагая в выражении (2) последовательно x = −h, 0, h ,

получаем

g (-h) =α h2 - β h + γ , g (0) = γ , g (h) = α h2 + β h + γ .

Отсюда

g (-h) + 4g (0) + g (h) =

(4)

= 2(α h2 + 3γ ).

С р а в н и в а я ( 3 )

и ( 4 )

б у д е м и м е т ь

(g (-h) + 4g (0) + g (h)) .

ò g (x)dx =

−h

Но g (-h) = f (-h), g (0) = f (0), g (h) = f (h) .

Значит,

422

<<< < Предыдущая 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 6042 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб18Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб51Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб115Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc