Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

128

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 6057 58 59 60 > Следующая >>>

Общее решение системы (13) в этом случае есть ли- нейная комбинация полученных действительных решений, соответствующих λ1,2 ,λ 3,...,λ n .

Пример 3. Решить систему x& = 2x − y, y& = x + 2y .

Решение. Характеристическое уравнение системы

2 - λ -1

= λ2

- 4λ + 5 = 0

2 - λ

имеет корни

λ1,2 = 2 ± i . Находим собственный вектор,

который соответствует корню λ1 = 2 + i . Из системы

ì(2 - (2 + i))γ1 -γ 2 = 0,

ì-iγ1 -γ 2 = 0,

2 = 0,

Û í

- iγ 2 = 0,

î(γ1 + (2 - (2 + i))γ

îγ1

находим,

что

γ 2 = -iγ1 .

При

γ1 =1

собственный вектор

есть

ö æ1+ 0×i ö

1ö

æ1ö

æ 0 öö

γ = ç

= ç ÷ = ç

0 - i

= ç ÷

+ iç ÷

ç p

= ç ÷, q

= ç ÷÷ .

è -iγ

1 ø

-i

ø è

0ø

è -1ø

è0ø

è -1øø

Решение системы получим так:

æ x ö

æ 1

(2+i)t

1 ö

æe2t

(cost + i sin t)

ç ÷

= ç

÷e

(cost + isin t) = ç

÷ =

è y ø

è -i ø

(sin t - i cost)

èe

æe2t

cost

æe2t sin t

= u + iv.

= ç

÷ + iç

sin t

cost

èe

è -e

Откуда

u = e2t

æcost

= e2t

æsint

÷ , v

÷ . Общее решение ис-

èsint

è -cost

ходной

системы

имеет

вид

æ x ö

= C u + C v = C e2t æcost ö + C

e2t

æsint

или

ç ÷

è y ø

èsint

è -cost

вкоординатной форме

x= C1e2t cost + C2e2t sin t = e2t (C1 cost + C2 sin t) , y = C1e2t sin t - C2e2t cost = e2t (C1 sin t - C2 cost) . □

563

в) Если среди корней λ1,λ2 ,...,λn уравнения (15) есть

кратные, например λ1 кратности k,					то ему соответствуют
решения вида	x	= P (t)eλ1t ,	x	= P (t)eλ1t ,..., x		= P (t)eλ1t ,	где
	1	1	2	2	n	n
P1(t), P2 (t),..., Pn (t)	–	многочлены от t,			степени не выше,		чем

k −1, которые в совокупности имеют k произвольных ко- эффициентов, причем все остальные коэффициенты этих

многочленов выражаются через них.

П р и м е р 4 . П р о и н т е г р и р о в а т ь с и с т е м у x = 5x − y ,

y = x + 3y

Решение.

Характеристическое

уравнение

5 − λ

−1

= 0 или (5 − λ)(3 − λ) +1 = 0 , λ2 − 8λ +16 = 0 имеет корни

3 − λ

λ1,2 = 4 . Двукратному

корню

λ = 4

соответствует

решение

x = e4t (a t + a

) ,

y = e4t

(b t + b ) .

Продифференцируем

и y,

получим

+ 4(a1t + a2 )e

= b1e

+ 4(b1t + b2 )e

Значе-

x = a1e

ния

x, y, x, y

подставим в исходную систему.

После сокра-

щения на e4t

будем иметь

a1 + 4(a1t + a2 ) = 5(a1t + a2 ) − (b1t + b2 ),

(19)

b1 + 4(b1t + b2 ) = a1t + a2 + 3(b1t + b2 ).

Сравнивая коэффициенты при t и свободные члены в системе (19),

получаем систему уравнений:

4a1 = 5a1 − b1, 4b1 = a1 + 3b1,a1 + 4a2 = 5a2 − b2 , b1 + 4b2 = a2 + 3b2.

Отсюда следует,

что

a1 = b1 ,

b2 = a2 − b1 .

Допуская,

что

a1 = C1 , a2 = C2

( C1 и

C2 – произвольные постоянные), на-

ходим

b = C ,

= C

− C .

Тогда

x = e4t (C t + C

) ,

y = e4t (C1t + C2 − C1) . □

x1, x2 ,..., xn

Совокупность n линейно независимых на I решений

системы (13) называется фундаментальной системой ре- шений.

Матрицу X (t), столбцами которой являются решения, об-

разующие фундаментальную систему, называют фундаментальной. В частности, для системы из примера 4 функции

564

x1(t) = col(x1(t); y1(t)) = col(te4t ;(t -1)e4t ),

x2 (t) = col(x2 (t); y2 (t)) = col(e4t ;e4t ) обазуют фундаментальную

систему ее решений.

Как и в случае уравнения n -го порядка (§ 2) общее

решение системы (13) имеет вид x = åCi xi , где x1, x2 ,..., xn –

i=1

фундаментальная система ее решений, а C1, C2 ,...,Cn – про- и з в о л ь н ы е п о с т о я н н ы е .

30 . Линейные неоднородные системы с постоянны-

ми коэффициентами. Рассмотрим систему (2΄)

dx	= Ax + f (t) ,	(20)
dt

где A – постоянная матрица.

Для нахождения общего решения системы (20), кроме общего решения соответствующей ей однородной систе- мы, нужно знать какое-либо частное решение неоднородной системы (20).

Одним из методов нахождения частного решения является метод подбора или, иначе, метод неопределенных коэффициен- тов. Применение этого метода возможно в том случае, ко- гда входящая в систему вектор-функция f (t) является

функцией специального вида. Имеет место следующее правило, аналогичное изложенному для линейных неодно- родных уравнений (§5).

Пусть вектор-функция f (t)			имеет вид
		f (t) = eαt [P (t)cos βt + Q (t)sin βt] ,
	α, β	l	m
где	α, β	– заданные	действительные	числа,
Pl (t), Qm (t)	–	вектор-функции,	с компонентами	в виде

многочленов переменной t, степени которых равны или меньше, соответственно, l и m. Частное решение неодно- родной системы (20) в этом случае ищется в виде


αt é		ù	,
x *(t) = e	ëRq+s (t)cos βt + Tq+s (t)sin βtû

где q = max (l,m) ,

565

ì0,если число (α + iβ ) не совпадает ни с одним из корней

s = íхарактеристического уравнения (15);

îk, если число (α + iβ ) совпадает с корнем уравнения (15) кратности k;

Rq+s (t),Tq+s (t) – вектор-функции, компонентами кото-

рых являются многочлены степени q + s

с неопределенны-

ми коэффициентами.

П р и м е р 5 . Р е ш и т ь с и с т е м у

− y + e

x = 2x

sin t

y = x + 2y + e

Решение. Общее решение соответствующей однородной

системы

имеет

вид

x = e2t (C cost + C

sin t) ,

y = e2t (C sin t − C

cost)

(см. пример 3).

Частное решение неоднородной системы будем ис-

x* = A et

+ (A

+ A t)e2t

sin t + (A

+ A t)e2t

cost ,

y* = B et

+ (B

+ B t)e2t sin t + (B

+ B t)e2t

cost .

Подставляя выражения для

x * ,

dx *

, y *,

dy *

в пер-

воначальную систему и

при

приравнивая

коэффициенты

et ,

e2t sint ,

te2t

sint ,

e2t cost ,

te2t

cost в правых и левых час-

тях полученных тождеств, имеем систему уравнений

A1 = 2A1 − B1 +1, A3 + 2A2 − A4 = 2A2 − B2 , 2A3 − A5 = 2A3 − B3

A2 + A5 + 2A4 = 2A4 − B4 , A3 + 2A5 = 2A5 − B5; B1 = A1 + 2B1

B3 + 2B2 − B4 = A2 + 2B2 +1, 2B3 − B5 = A3 + 2B3 ,

B2 + B5 + 2B4 = A4 + 2B4 , B3 + 2B5 = A5 + 2B5 ,

из которой находим

A = −

;

B =

;

A = 0 ;

= 0 ;

A = 0 ; B =

; A = 0 ; B = −

; A =

; B = 0 .

Тогда частное решение исходной неоднородной системы имеет вид

x* = −

te2t

cost ,

y* =

et −

e2t

cost +

te2t

sint ,

566

а общее решение будет таким:


x = (C cost + C	2	sin t)e2t −			1		et +		1	te2t cost ,

1			2						2

y = (C1 sint − C2cost)e2t +			1	et −		1		e2t (cost			− t sin t) . □
			2			2

Рассмотрим теперь метод вариации произвольных постоянных. Пусть общее решение соответствующей однородной системы (13)

имеет вид

x(t) = åCi xi (t) ,

i=1

где x1, x2 ,..., xn – фундаментальная

система ее

реше-

ний, C1,C2 ,...,Cn – произвольные постоянные.

Общее решение неоднородной системы (20) будем

x(t) = åCi (t)xi (t) ,

(21)

i=1

где Ci (t),i =

– функции,

которые требуется опреде-

1,n

лить.

Дифференцируя (21) и подставляя в (20), получаем

матричное равенство

(t) + f (t) ,

åCi (t)x

(t) + åCi (t)x

(t) = åCi (t)Ax

i=1

которое в силу того,

что

, можно переписать в

виде

= Ax

= f (t) .

(t)x (t)

(22)

åCi

i=1

Таким образом, для того, чтобы (21) было решением

(

)

функции Ci (t), i =

должны удовлетворять системе урав-

1,n

(

)

Описанный метод позволяет находить решение системы для более

широкого класса функций

f (t) ,

чем метод подбора.

Пример 6. Решить систему

− 2y + et −1

3y − et −1 .

x = −4x

, y = 6x +

567

Решение. Сначала решаем однородную систему урав-

нений,

y = 6x + 3y .

соответствующую данной системе: x = −4x − 2y ,

Применим для ее решения метод исключения. Про-

дифференцировав первое уравнение, получим

x = −4x − 2y ,

или, с учетом второго уравнения системы,

−12x − 6y .

x = −4x

Подставляя

из первого

уравнения

значение y = −2x − 2 x

системы, после приведения подобных получаем

= 0 .

+ x

Решением

этого уравнения будет

x = C + C

e−t ,

тогда

y = −2C −

e−t . Для определения общего решения неодно-

родной системы, согласно методу вариации произвольных постоянных, считаем C1 и C2 некоторыми дифференци-

руемыми функциями. Эти функции найдем из системы уравнений, ко- торая получается в результате подстановки значений x и y в неодно-

родную систему. Таким образом, имеем:

−t

3 &

−t

+ C2e

, −2C1

−

C2e

= −

et −1

2et

Отсюда находим

C2 =

C1 = 0 ,

а после интегриро-

−1

вания получаем

= 2ln | et −1| +C

C =

где C1,C2 – произвольные постоянные. Наконец, под- ставляя значения C1 и C2 в общее решение однородной

системы, имеем общее решение данной неоднородной сис- темы:

x= C1 + C2e−t + 2e−t ln | et −1|, y = −2C1 − 32 C2e−t − 3e−t ln | et −1| .

где C1,C2 – новые произвольные постоянные. □

§8. Понятие устойчивости по Ляпунову

10 . Определение устойчивости. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

568

ìdx = f (x, y), ï dt

ïdy = g(x, y),

ïî dt

	где f (x, y) и g(x, y) – функции,
	непрерывно	дифференцируемые
Р	в некоторой	области D плоскости
ис. 1	Oxy . Координатная плоскость Oxy
	Oxy . Координатная плоскость Oxy

будет фазовой плоскостью.

Точками покоя (или положениями равновесия) систе-

мы

(1)

будут точки (x; y) , в которых выполняются соотношения:

f (x, y) = 0 , g(x, y) = 0 .
Пусть g(0,0) = f (0,0) = 0 , т.е. точка					O(0;0)	(начало ко-
ординат) является точкой покоя системы (1).
Будем говорить, что точка покоя					x = y = 0	(или триви-
альное	решение	x(t) ≡ y(t) ≡ 0 ) системы			(1) устойчива по
Ляпунову,						если
каково	бы ни было ε > 0 ,			можно найти такое		δ = δ (ε) > 0 ,
что для любого решения				(x(t); y(t)) , начальные данные ко-
торого	x(0) = x0 ,	y(0) = y0 удовлетворяют условию
			\| x0 \|< δ , \| y0 \|< δ ,			(2)
выполняются неравенства
	\| x(t) \|< ε, \| y(t) \|< ε для всех t ³ 0 .					(3)
Геометрически это означает следующее. Каким бы
узким ни был цилиндр радиуса ε с осью Ot ,						в плоскости
t = 0 найдется δ		окрестность точки O(0;0;0) такая, что все
интегральные кривые			x = x(t) , y = y(t) ,		выходящие из этой
окрестности, для всех			t ³ 0 будут оставаться внутри этого
цилиндра (рис.1).
Если, кроме выполнения неравенств (3), выполняется также
условие	lim \| x(t) \|= lim		\| y(t) \|= 0 , то говорят, что			точка покоя
	t→+∞	t→+∞
асимптотически устойчива.
Точка покоя		x = y = 0 неустойчивая, если при сколь угодно

малом δ > 0 хотя бы для одного решения (x(t); y(t)) условие (3) не выполняется.

569

Пример 1. Используя определение устойчивости по Ляпунову, показать, что решение x(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0 системы

ìdx		= -y,
ï
	(4)
í dt
ïdy		= x
ï
î dt
устойчиво.
Решение. Любое решение системы (4), удовлетво-
ряющее условиям x(0) = x0 , y(0) = y0 , имеет вид:
x(t) = x0 cost - y0 sin t, y(t) = x0 sin t + y0 cost .
Возьмем произвольное ε > 0 и покажем, что существует

δ (ε) > 0 такое, что при | x0 |< δ ,| y0 |< δ имеют место неравенства

\| x(t) \|=\| x0 cost - y0 sin t \|< ε	,	\| y(t) \|=\| x0 sin t + y0 cost \|< ε				д л я	в с е х
t ³ 0							.
Имеем:
\| x0 cost - y0 sint \| £ \| x0 cost \| - \| y0 sin t \| £ \| x0 \| + \| y0 \|,							(5)
\| x0 sint + y0 cost \| £ \| x0 sint \| + \| y0 cost \| £ \| x0 \| + \| y0 \|							(5)

для всех t. Поэтому,		если \| x0 \| + \| y0 \|< ε , то и
\| x0 cost - y0 sin t \|< ε,			\| x0 sin t + y0 cost \|< ε				(6)
для всех t.				δ (ε ) = ε
Следовательно,	если		взять	δ (ε ) = ε	,	то	при
\| x0 \|< δ , \| y0 \|< δ ,				2
\| x0 \|< δ , \| y0 \|< δ ,
в силу (5), будут иметь		место неравенства			(6)	для	всех
t ³ 0 , т.е., действительно,		нулевое решение системы (4) ус-
тойчиво		по				Ляпунову,

но эта устойчивость не асимптотическая. □

20. Устойчивость нулевого решения линейных систем с посто-

янными коэффициентами. Рассмотрим частный случай

с	и	с	т	е	м	ы	(	1	)
				ìdx	= ax + by,
				ï	= ax + by,				(7)
				ï
				í dt
				ïdy	= cx + dy
				ï	= cx + dy
				î dt

и пусть

570

æ a	b ö	=		λ - a	-b	= λ2 - (a + d)λ + (ad − bc) =

A = ç	÷; det (λE - A)			-c	λ - d
è c	d ø
= λ2 - Sp A× λ + det A = 0			– характеристическое уравнение матрицы,
а λ1,λ2	– корни этого уравнения.
Здесь Sp A – след матрицы A (сумма элементов по
главной диагонали),		det A –			определитель матрицы A .
	Справедливы следующие утверждения:
1) для асимптотической устойчивости нулевого ре-
шения	x(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0	системы (7) необходимо и достаточ-

но, чтобы Reλ1 < 0 и Reλ2 < 0 ;

2)в случае Reλ1 > 0 или Reλ2 > 0 нулевое решение системы (7) неустойчиво;

3)в случае Reλ1 = Reλ2 = 0, Imλ1 = -Imλ2 ¹ 0 нулевое ре-

шение системы (7) устойчиво, но не асимптотически ус- тойчиво;

4) в случае λ1 = λ2 = 0 нулевое решение системы может

быть как устойчивым, так и неустойчивым (требуется до- полнительное исследование исходя из определения устой- чивости).

Упражнение 1. Доказать утверждения 1) – 4).

Пример 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение сис-

т	е		м	ы
	ìdx		= 5x + 4y,
	ï		= 5x + 4y,	(8)
	ï
	í dt
	ï	dy	= x + 2y.
	ï		= x + 2y.
	î dt

Решение.	Имеем SpA = 5 + 2 = 7, det A =10 − 4 = 6.		Харак-
теристическое	уравнение λ2 - 7λ + 6 = 0 имеет		корни
λ1 =1, λ2 = 6. Так как		Reλ1 = 1 > 0 , то, в силу 2), нулевое ре-
шение x(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0		неустойчиво. □
Отметим, что исследование на устойчивость решения
y = y(x) уравнения		y′′ + a1y′ + a2 y = 0

равносильно исследованию на устойчивость точки покоя x = 0, y = 0 системы (7).

Пример 3. Маятник состоит из жесткого стержня длины l и массы m на конце. К стержню прикреплены две

571

пружины с жесткостью k на расстоянии a от точки креп- ления. Определить условие равновесия маятника в верх-

нем положении.

Решение. Пусть ϕ – угол отклонения стержня от вер- тикали. Тогда, считая угол ϕ малым, легко составить функцию Лагранжа L=K–П, где К, П – кинетическая и по- тенциальная энергия системы, соответственно. Имеем

K = 12 ml2ϕ&2 , П = ka2ϕ2 + mgl cosϕ, L = 12 ml2ϕ&2 - ka2ϕ2 - mgl cosϕ .

Дифференциальное уравнение, описывающее малые

колебания стержня около вертикального положения имеет вид

d æ

¶L

º ml

2 &&

÷ -

dt è

¶ϕ

или (в силу малости угла ϕ ):

ϕ + Aϕ = 0 ,

где

A =

2ka2

- mgl

. Очевидно,

что при A ≤ 0 устойчивости не будет

ml2

(угол ϕ увеличивается неограниченно). При A > 0 стержень соверша-

ет

малые

колебания

около

вертикали. Следовательно, если

2ka2 > mgl , то вертикальное положение стержня устойчиво. □

30. Устойчивость по первому приближению. Пусть имеем ди-

намическую систему (1) с точкой покоя O(0;0) , где функции f (x, y) и g(x, y) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности


начала координат.		f (x, y) и			g(x, y) по формуле Тей-
Разложим функции
лора по x, y	в окрестности начала координат:
f (x, y) = ax + by + R1(x, y), g(x, y) = cx + dy + R2 (x, y),
где a = ¶f (0,0) , b = ¶f (0,0) , c =			¶g(0,0)	, d = ¶g(0,0) ,		а R , R – члены

¶x	¶y		¶x		¶y	1	2

второго порядка малости относительно x, y .

Тогда исходная система (1) примет вид:

572

<<< < Предыдущая 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 6057 58 59 60 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.201960.88 Кб4Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб58Мат Моделирование (конспект).doc
#
01.04.20252.17 Mб2МАТ.АН_1КУРС_3,4ГРУППА_ПИЦЕВИЧ.docx
#
01.03.202564.81 Кб0матан 1-13.docx
#
18.02.20162.81 Mб125Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб128Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб70Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
01.07.2025526.34 Кб0Материал к госэкзамену для заочников.doc
#
01.05.2025108.01 Кб1материал к кср налоговое.docx
#
01.07.2025187.39 Кб1Материал к экзамену по ИТ.doc