Математика для инженеров(теория)I том

Запишем его так: (λ − 2)(λ2 +1)2 = 0 . Отсюда получаем λ1 = 2 – однократный корень и λ2,3,4,5 = ±i – пара двукрат- ных мнимых корней. Общее решение есть

y= C1e2x + (C2 + C3x)cos x + (C4 + C5x)sin x . □

Вслучае, когда характеристическое уравнение (3) имеет кратные

вещественные и комплексные корни, нужно объединить случаи 2 и 4.

§ 4. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка

Линейное неоднородное уравнение n-го порядка имеет

вид

Структура общего решения уравнения (1) определя- ется следующей теоремой.

Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения

(1) представляется в виде суммы какого-нибудь частного решения y * этого уравнения и общего решения y соот-

ветствующего однородного уравнения, т.е. y = y * + y .

Доказательство. Из условия теоремы 1 вытекает, что L[ y*] = f (x) , а L[ y] = 0 . Тогда, в силу линейности оператора,

фундаментальная система решений соответствующего од- нородного уравнения, необходимо показать, что любое решение уравнения (2) можно получить из формулы (3) соответствующим выбором постоянных C1,C2 ,...,Cn . Это

543

можно сделать по аналогии с доказательством теоремы

2.1. □

Упражнение 1. Доказать, что функция (3) является общим решением уравнения (1).

Для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения (1) применяется метод вариации произвольных постоян- ных, который заключается в следующем. Пусть известна фундамен- тальная система y1, y2 ,..., yn решений соответствующего однородного

уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) будем

искать в виде общего решения однородного уравнения

544

Будем иметь следующую систему линейных алгеб-

причем определителем этой системы является определитель Вронского.

Интегрируя (6), получаем функции Ci (x),i =1,n .

Пример 1. Решить уравнение y′′′ − 1x y′′ + y′ − 1x y = x , если

известно, что x,cos x,sin x – фундаментальная система ре- шений соответствующего однородного дифференциально- го уравнения.

Решение. Согласно методу вариации произвольных постоянных, общее решение заданного уравнения будем искать в виде (4), т.е.

y = C1(x)x + C2 (x)cos x + C3 (x)sin x .

545

§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные

уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

где a1,a2 ,...,an – постоянные вещественные коэффици-

енты, являющееся частным случаем уравнения (4.1). Об- щее решение уравнения (1) равно сумме какого-либо его

частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения находится методом Эйлера, описанным в § 4. Таким образом, интегрирование (1) сводится к отысканию его частного решения y *. В общем случае это можно осуществить ме-

тодом вариации произвольных постоянных.

546

В некоторых случаях для определения частного ре- шения уравнения (1) применяется метод подбора.

Общий вид правой части f (x) уравнения (1), при котором можно

применить метод подбора (метод неопределенных коэф- фициентов) следующий:

ветственно.

В этом случае частное решение y * уравнения (1) ищется в

виде

547

ского уравнения, то s = 0 . Для удобства приведем таблицу видов частных решений для различных правых частей (2) уравнения (1).

Здесь первые три вида правых частей являются част- ными случаями вида IV.

548

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения y будет:

y = C1ex + C2 cos x + C3 sin x .

Так как число 0 не является корнем характеристиче- ского уравнения, то частное решение исходного уравнения y * надо

искать в виде (табл. 1, случай I):

y* = A1x2 + A2 x + A3 ,

549

4

Общее решение данного уравнения будет:

y(x) = e−x (C1 cos2x + C2 sin 2x) + 14 xe−x sin 2x . □

550

§ 6. Линейная краевая задача

10 . Постановка краевых задач. В инженерной прак-

тике часто приходится решать дифференциальное уравне-

ние

отыскивая его решение, которое на заданном отрезке [a;b] удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

Примером такой задачи служит задача Коши. Характерной особенностью задачи Коши является то обстоятельство, что значение искомой функции y = y(x) и ее производных

до (n −1) -го порядка включительно задаются в одной точке x = x0 данного отрезка. Однако, при решении некоторых

физических и технических задач появляется необходи- мость нахождения решения y = y(x) линейного дифферен-

циального уравнения n-го порядка, если начальные усло- вия заданы на концах некоторого отрезка. Эти условия на- зывают краевыми условиями, и они состоят в том, что на обоих концах некоторого отрезка [a;b] задаются значения искомого

решения, или значения производных от искомого решения, или (в общем случае) их линейная комбинация.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным краевым условиям, называется краевой задачей. Краевые задачи возможны для дифференциальных уравнений высших порядков.

Краевая задача называется линейной, если дифферен- циальное уравнение и краевые условия линейны. Для про- стоты предположим, что в краевые условия входят две

k=0

551

Так, например, для уравнения второго порядка a0 (x)y′′ + a1(x)y′ + a2 (x) y = f (x) , a ≤ x ≤ b ,

чтобы решить краевую задачу, можно найти общее решение этого уравнения и подобрать значения произвольных постоянных, которые входят в формулу общего решения, так, чтобы удовлетворялись краевые условия

этого, существует единственное решение данной краевой

бесконечное множество решений y = C2 sin x , где C2 может принимать любые значения, а при y0 ¹ 0 краевая задача не имеет ре-

шений. □

Двухточечные краевые задачи возникают в различного рода технических и физических задачах, в частности, находят широкое применение при расчете балок.

Пример 2. Найти максимальный прогиб консольной балки длины l, на-

груженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис 1.)

552