Математика для инженеров(теория)I том

После того, как число k найдено, необходимо сделать замену переменных x = et , y = zekt , где z = z(t) – новая неизвестная функция,

а t – новая независимая переменная. Получаем уравнение, в которое не входит независимая переменная x . Порядок такого уравнения понижается одним из ранее рассмотренных способов (см.п. 3).

Пример 8. Решить уравнение x4 y¢¢ + (xy¢ - y)3 = 0.

Решение. Покажем сначала, что это уравнение

обобщенное однородное. Найдем число k. Будем считать x, y, y′, y′′ величинами соответственно 1,k,(k −1) , (k − 2) -ой

степени и, после сравнения степеней всех слагаемых в

общий интеграл исходного уравнения в виде

533

В некоторых случаях найти решение в виде явной или неявной

функции непросто, однако удается получить решение в параметриче-

ской форме.

x = tet + C1 , y = (t2 - t +1)et + C2 . □

§ 2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

10. Основные определения. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называют уравнение

Линейным дифференциальным оператором n-го порядка называют

выражение

534

Тогда линейное дифференциальное уравнение, с ис- пользованием обозначения (2), примет вид

и удовлетворяющая условиям: 1) при любых постоянных C1,...,Cn эта

функция является решением (1); 2) каковы бы ни были на- чальные условия (4), можно подобрать такие значения

C10 ,...,Cn0 постоянных C1,...,Cn , что решение y = ϕ (x,C10 ,...,Cn0 )

уравнения (1) будет удовлетворять начальным условиям (4).

20. Свойства линейных однородных уравнений. Пусть

n

y1, y2 ,..., yn – решения уравнения (3). Тогда y = åCk yk также решение

k=1

уравнения (3) при произвольных постоянных Ck ,k =1,...,n .

α1,α2 ,...,αn , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что выполняется:

535

α1 = α2 = ... = αn = 0 , то система функций y1(x), y2 (x),..., yn (x)

называется линейно независимой на I.

Пример 1. Показать, что система функций 1, x, x2 ли- нейно независима на любом интервале I.

Решение. Действительно, равенство (5) в данном случае имеет вид

и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю

(п.10.8.20 ). □

Упражнение 1. Докажите утверждение 1.

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь при доказательствах уравне- ниями второго порядка.

Утверждение 2. Если определитель Вронского, со- ставленный для решений y1 и y2 дифференциального

уравнения y′′ + py′ + qy = 0 , не равен нулю при x = x0 I , то он не обращается в нуль ни при одном значении x из этого интервала.

Доказательство. По условию y1 и y2 – решения ука- занного уравнения, значит

536

определитель Вронского W , составленный из этих реше- ний, не обращается в нуль ни в одной точке этого интер- вала.

Доказательство. Допустим, что W[ y1, y2 ] = 0 в некото- рой точке x0 Î I . Тогда, по утверждению 1, определитель Вронского W[ y1, y2 ] будет равен нулю во всех точках ин-

537

противоречит предположению об их линейной независи- мости. □

Упражнение 2. Проверить утверждение 3 в случае y1 = 0.

30. Структура общего решения линейного однородного уравнения. Систему функций y1, y2 ,..., yn , являющихся ли-

нейно независимыми решениями уравнения (3), называют

фундаментальной системой решений этого уравнения. Для такой системы вронскиан W (x) =W [y1(x), y2 (x),..., yn (x)] ¹ 0 .

Теорема 1. Если y1, y2 ,..., yn – фундаментальная система реше-

ний однородного дифференциального уравнения (3), то его

общее решение имеет вид

где Ci , i =1,n , – произвольные постоянные.

Доказательство. Выражение (6) является решением уравнения (3) на основании свойства линейного диффе-

538

единственное решение относительно неизвестных C1,C2 ,...,Cn , при котором функция (6) удовлетворяет условиям (7). Итак, дока- зано, что если y1, y2 ,..., yn – система линейно независимых

решений уравнения (3), то функция (6) является решением этого уравнения, и любое решение этого уравнения можно получить из формулы (6) соответствующим выбором по- стоянных C1,C2 ,...,Cn . Таким образом равенство (6) опреде-

ляет общее решение линейного однородного уравнения

(3). □

Сформулированные выше свойства позволяют решить следующую задачу: по данной системе n линейно незави- симых функций y1(x), y2 (x),..., yn (x), непрерывных вместе со

своими производными до n-го порядка включительно на (a;b) , построить линейное однородное дифференциальное

уравнение n-го порядка, решениями которого являются данные функции. Искомым дифференциальным уравнени-

§ 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения

n-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением с посто-

янными коэффициентами называется уравнение

где ai , i =1, n , – действительные числа.

Будем искать частные решения этого уравнения в ви-

где λ – некоторое число.

539

Подставляя функцию (2) и ее производные в (1), по-

лучим

т.е., если λ будет корнем уравнения (3). Уравнение

(3)называется характеристическим.

Таким образом, решение однородного дифференциального уравнения свелось к решению алгебраического уравнения. Этот метод решения называется методом Эйлера.

Пусть λ1,λ2 ,...,λn – корни уравнения (3), причем среди них могут быть и кратные. Возможны следующие случаи.

1. λ1,λ2 ,...,λn – вещественные и различные. Тогда фун- даментальная система решений уравнения (1) имеет вид

как они действительные и различные, то общее решение

имеет вид

y= C1 + C2e−x + C3e3x . □

2.Корни характеристического уравнения вещественные, но среди

них есть кратные. Пусть, например, λ1 = λ2 = ... = λk , т.е. λ1 является k-кратным корнем уравнения (3), а все остальные

540

Упражнение 1. Показать, что корню λ1 кратности k будет соответствовать линейно независимая система пер-

y= C1e−x + C2 xe−x + C3 . □

3.Среди корней характеристического уравнения (3)

уравнения (3) вещественные, то комплексные корни этого уравнения попарно сопряженные. Согласно (2), будем

иметь

541

4. Пусть λ1 = α + iβ является k -кратным корнем уравнения (3)

остальные корни вещественны и различны. Тогда фунда- ментальная система решений уравнения (1) имеет вид

eα x cos β x, eα x sin β x, xeα x cos β x, xeα x sin β x,...,

(7)

xk−1eα x cos β x, xk−1eα x sin β x, eλ2k +1x ,...,eλnx.

Значит общее решение однородного дифференциаль- ного уравнения (1) запишется

y = C1eα x cos β x + C2eα x sin β x + C3xeα x cos β x + C4 xeα x sin β x + ... + +C2k−1xk−1eα x cos β x + C2k xk−1eα x sin β x + C2k+1eλ2k +1x + ... + Cneλnx.

Пример 4. Найти общее решение уравнения yV - 2yIV + 2y¢¢¢ - 4y¢¢ + y¢ - 2y = 0 .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

λ5 - 2λ4 + 2λ3 - 4λ2 + λ - 2 = 0 .

542