Математика для инженеров(теория)I том

Точка (x0; y0 ) выбирается так, чтобы промежутки [x0; x],[ y0; y] принадлежали области D . Функцию u мож-

u(x, y) = ò P(t, y0 ) dt + ò Q(x, t) dt .

x0 y0

Все решения уравнения (1) содержатся в равенст- ве u(x, y) = C , являющемся для этого уравнения общим

интегралом.

Задания для самостоятельной работы

1.Дано семейство функций y = x + C1+ x2 , где C – па- раметр. Найти дифференциальное уравнение с за-

д а н н ы м с е м е й с т в о м р е ш е н и й . 2. Проинтегрировать дифференциальные уравнения

523

3. Проверить, что функция y = x + C есть общее решение диффе- ренциального уравнения y′ =1, и найти частное решение, удов-

в) (2x +1) y′ = 4x + 2y ; г) (x + y) dy = y dx ;

д) (x3 y - 3x2 y + y3 )dx + 2x3dy = 0 ;

е) (xln y - x2 + cos y)dy + (x3 + y ln y - y - 2xy)dx = 0 .

7.Кусок металла с температурой a помещен в печь,

температура которой в течение часа равномерно повышается от a до b . Скорость нагрева металла пропорциональна разности T температур печи и ме- талла, коэффициент пропорциональности равен k . Найти температуру куска металла через час.

8.В исследованном куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за 4,5×109 лет и что

524

при полном распаде 238г урана образуется 206г уранового свинца. Определить возраст горной по- роды, считая, что в момент образования горная по- рода не содержала свинца, и пренебрегая наличием

промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намно- го быстрее урана).

9. В цепи с сопротивлением R и самоиндукцией L дейст-

вует периодическая электродвижущая сила E1 = asin 2Tπ t (где T –

период, t – время, a – постоянное число, равное, очевид- но, максимальному значению E1 ). Определить силу тока

i в цепи в любой момент времени, если в начальный момент (t = 0) сила тока равна нулю.

525

ГЛАВА 16

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Уравнения высших порядков

10. Общие понятия. Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида F (x, y, y¢,..., y(n) ) = 0 .

Решением такого уравнения служит всякая, n раз не- прерывно дифференцируемая функция y = ϕ(x) , определен-

ная на некотором интервале (a;b) и обращающая данное уравнение в тождество, это значит

F éëx,ϕ(x),ϕ¢(x),ϕ¢¢(x),...,ϕ(n) (x)ùû º 0 .

Задача Коши для этого уравнения заключается в том, чтобы найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям

чальными условиями (данными).

Функция y = ϕ(x,C1,C2 ,...,Cn ) называется общим реше-

нием дифференциального уравнения n-го порядка в облас-

ти единственности решения задачи Коши (см. §15.1), если она удовлетворяет этому уравнению при любых допусти- мых значениях постоянных C1,C2 ,...,Cn и каковы бы ни бы-

ли начальные условия (1) можно подобрать такие значения C10 ,C20 ,...,Cn0 п о с т о я н н ы х C1 ,C2 ,...,Cn , ч т о р е ш е н и е y = ϕ(x, C10 , C20 ,...,Cn0 ) будет удовлетворять начальным условиям (1).

Всякое решение, которое получается из общего ре- шения при конкретных значениях постоянных C1 ,C2 ,...,Cn

называется частным решением этого уравнения. Уравне- ние также может иметь частные решения, которые не по- лучаются из общего решения.

527

Уравнение Φ(x, y,C1,C2 ,...,Cn )=0 , определяющее общее решение

как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Наряду с задачей Коши, в которой начальные условия задаются при одном и том же значении независимой пере- менной, для уравнений высших порядков представляют больший интерес так называемые граничные (краевые) за- дачи, в которых условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке, а на концах некоторого отрезка [a;b] и

ищется решение, определенное внутри этого отрезка. Эти условия называются граничными (краевыми) условиями.

Уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

где f есть функция, заданная в некоторой области из- менения переменных x, y, y′,..., y(n−1) .

Пример 1. Показать, что функция y = C1eC2x , C1,C2 , является решением дифференциального уравнения yy′′ = y′2 .

вив выражения y, y′ и y′′ в данное уравнение, получим то-

ждество

C12C22e2C2x ≡ (C1C2eC2x )2 .

Следовательно, функция y = C1eC2x есть решение дан-

ного уравнения. □

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи

ственное решение этого уравнения, удовлетворяющее на- чальным условиям (1).

Упражнение 1. Доказать теорему 1.

Пример 2. Найти область существования и единственности решения уравнения

528

20 . Уравнения, допускающие понижения порядка.

Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка удается выполнить только в некоторых частных случаях.

Укажем несколько классов уравнений, которые до- пускают понижение порядка.

n раз

являются постоянными величинами, то общее решение может быть запи-

Решение. Сначала, последовательно интегрируя че- тыре раза, находим общее решение:

529

которое явно не содержит искомой функции и ее произ- водных до порядка k −1 включительно. С помощью замены

нения можно найти общее решение z(x) = ϕ(x,C1,...,Cn−k ) . То- гда искомая функция y(x) получается путем k -кратного интегри- рования функции ϕ(x,C1,...,Cn−k ) .

530

ж и т я вн о н е з а ви с и м о й п е р е м е н е н н о й . П о д с т а н о вк о й

ние, у которого левая часть может быть представлена как полная производная по x от некоторой функции

F(x, y, y¢,..., y(n−1) ) . Если проинтегрируем его по x , то полу-

чим новое уравнение, порядок которого на единицу ниже порядка исходного уравнения.

Пример 6. Решить уравнение y′′ = xy′ + y +1.

531

нородным, если существует такое число k, при котором левая часть

этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно всех аргументов при условии, что x, y, y¢,..., y(n) счи- таются величинами соответственно 1,k,(k −1),...,(k − n) -ой степени.