Математика для инженеров(теория)I том

483

Действуя таким же образом, как и раньше, после дву- кратного применения теоремы Лагранжа, равенство (4)

приведем к виду

Следствие. Если все последовательно вычисляемые производные являются непрерывными функциями в дан- н о й о б л а с т и , т о а н а л о г и ч н о п о л у ч а ю т с я р а в е н с т в а :

Итак, при многократном дифференцировании функ-

ции многих переменных порядок дифференцирования не существенен, если получающиеся при этом производные являются непрерывными функциями. Таким образом, число различаю-

щихся частных производных любого порядка k (k ≤ n) со- кращается и любая частная производная порядка k может

∂k z

быть записана в виде ∂xm∂yk−m , где m – одно из чисел

0,1,2,K,k . Следовательно, число различных частных про-

изводных порядка n у функции двух переменных со всеми

н е п р е р ы в н ы м и в некоторой области частными производными, равно не 2n ,

а n +1 .

§ 12. Полные дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал dz функции двух переменных z = f (x, y) есть, в свою очередь, функция переменных х и у.

484

Следовательно, можно определить полный дифференциал этой функции. Он называется полным дифференциалом

второго порядка функции z = f (x, y) и обозначается d 2 z .

Полный дифференциал от полного дифференциала второго порядка называют полным дифференциалом третьего по-

рядка d3z и т. д. Аналогично определяются и полные дифференциалы функций большего числа переменных.

Пусть функция z = f (x, y) имеет непрерывные первые

и вторые частные производные на некотором открытом плоском множестве G . Из непрерывности частных произ-

водных ¶¶fx и ¶¶fy следует дифференцируемость самой функции

f (x, y) в каждой точке этого множества G . Таким образом, для в с е х т о ч е к (x; y) G о п р е д е л е н д и ф ф е р е н ц и а л

дифференцируемы на множестве G . Таким образом, диф- ференциал dz , рассматриваемый как функция только пе- ременных x и y , в свою очередь, является дифференци-

руемой на множестве G функцией. Вычислим дифферен- циал от первого дифференциала dz , считая dx и dy фикси-

рованными, а точку (x; y) − принадлежащей области G ,

при этом новое дифференцирование обозначим символом

δ :

485

Отметим, что непрерывность вторых производных была использована не только для того, чтобы во всех рас-

сматриваемых точках существовали дифференциалы δ ∂∂xz и δ ∂∂yz , но и для того,

чтобы в процессе вычислений не обращать внимания на порядок

дифференцирования.

Полагая теперь δ x = dx, δ y = dy, получим

z = f (x, y).

Аналогичным образом, при непрерывности частных производных соответствующего порядка, можно вычис- лить:

486

Полученное выражение символически можно запи-

Эту запись следует понимать так: сумму, стоящую в скобках, надо возвести в степень n по формуле бинома

Ньютона, после чего показатель степеней у ¶¶x и ¶¶y счи-

тать указателями порядка производных по х и по у от функции z = f (x, y) .

Полученные результаты обобщаются на функции лю- бого числа независимых переменных. В частности, для

=æç ¶¶x dx + ¶¶y dy ö÷2 z + ¶¶xz d 2 x + ¶¶yz d 2 y. è ø

487

Сравнивая это выражение с формулой (2) для второго дифферен- циала функции z = f (x, y) , замечаем, что второй дифферен-

циал d 2 z сложной функции свойством инвариантности не обладает. Этот вывод справедлив и для дифференциалов более высоких порядков.

§ 13. Формула Тейлора для функции двух переменных

Допустим, что функция z = f (x, y) в окрестности точки (x0; y0 ) имеет непрерывные частные производные до m-го порядка

ной функцией переменной t, определенной в окрестности точки t = 0 и имеющей в этой окрестности непрерывные производные до порядка m включительно. Применив к этой функ- ции формулу Тейлора для функции одной переменной, получим

.

Далее

488