Математика для инженеров(теория)I том

473

Из формулы (5) видно, что производная по направле- нию s′ , противоположному направлению s , равна произ- водной по направлению s , взятой с обратным знаком. Действительно, при перемене направления углы α, β ,γ из-

менятся на π и

¶¶su¢ = ¶¶ux cos(α + π ) + ¶¶uy cos(β + π ) + ¶¶uz cos(γ + π ) = - ¶¶us .

Это означает, что при перемене направления на противоположное абсолютная величина скорости изменения функции u не меняется, а изменяется только характер ее изменения: если, напри-

мер, в направлении s функция возрастает, то в направле- нии s′ она убывает, и наоборот.

Для функции u = f (x, y) направление луча s вполне

определяется углом его наклона α к оси абсцисс. В этом случае формула для производной по направлению получа-

ется из общей формулы при γ = π2 и β = π2 -α . Тогда

¶¶us = ¶¶ux cosα + ¶¶uy sinα .

Если α = 0 , то ¶¶us = ¶¶ux , а если α = π2 , то ¶¶us = ¶¶uy . Пример 2. Найти производную функции z = x2 - y2 в

точке M (1;2) в направлении вектора s , составляющего

474

ление s совпадает с направлением градиента функции u. В противоположном направлении, задаваемом вектором ( -gradu ),

ке скорость возрастания функции u максимальна и равна gradu в направлении вектора gradu . В противоположном направлении функция u убывает с максимальной скоро- стью - gradu . Поэтому направление s , задаваемое векто-

ром gradu , называется направлением наискорейшего подъ-

476

M æç π ;π ;π ö÷ .

è 4 3 2 ø

Решение. Найдем частные производные ¶¶ux = sec2 x -1 ,

Докажем важное свойство градиента: в данной точке скалярного поля градиент, не равный нулю, перпендикулярен к по-

верхности (линии) уровня поля в этой точке.

Доказательство. Для доказательства возьмем на поверхности уровня u(x, y, z) = c произвольную точку M (x; y; z) и проведем

через нее произвольную кривую, принадлежащую этой по- верхности. Пусть кривая Г задана параметрически уравне-

ниями x = x(t) , y = y(t), z = z(t ), где t – переменная длина

дуги кривой. Поскольку кривая принадлежит поверхности уровня, то для всех соответствующих значений параметра

t справедливо равенство u(x(t), y(t ), z(t)) º c . Про-

дифференцировав это тождество по t как сложную функцию, получим

477

нален касательной плоскости к поверхности уровня поля в данной точке, т. е. градиент перпендикулярен к этой по- верхности. Применительно к функции двух переменных:

gradu перпендикулярен к линии уровня u(x, y) = c .

§ 9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть Г – поверхность, определяемая дифференци- руемой функцией z = f (x, y) .

Касательной плоскостью к поверхности Г в ее точке

M0

называется плоскость, содержащая в себе все касательные

Согласно свойству градиента, вектор gradu(M0 ) пер-

пендикулярен к поверхности уровня u = 0 , т.е. он перпен- дикулярен к любой касательной прямой, проведенной к по- верхности Г в точке M0 . Таким образом, вектор gradu(M0 ) пер-

пендикулярен к искомой плоскости.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) и перпендикуляр-

ной к вектору n = ( A; B;C ) , имеет вид

478

gradu(M0 ) . Поэтому уравнение нормали к поверхности

В этом случае уравнение касательной плоскости к поверх-

479

Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали

мулы (2) и (3), получаем уравнение касательной плоско-

(2;2;3) и (2;2;- 3) . Находим частные производные функции

§ 10. Геометрический смысл полного дифференциала

Выясним геометрический смысл полного дифферен- циала функции двух переменных z = f (x, y) . Уравнение ка-

сательной плоскости к поверхности z = f (x, y) имеет вид z - z0 = fx¢ (x0 , y0 )(x - x0 ) + fy¢ (x0 , y0 )( y - y0 ).

Положив в этой формуле x - x0 = D x , y - y0 = D y , полу- чим, что правая часть ее есть полный дифференциал

480