Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

128

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6047 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

числим

частные

производные:

¶V

» 8,44 ;

¶π =

d =3,7

¶V =

π d 2

d =3,7 » 21,5 .

¶ d

π =3,14

Абсолютная погрешность определения объема

¶V

Dπ

¶V

с м 3

DV =

» 8,44×0,0016 + 21,5×0,05 »1,088

≈1,1

¶π

¶ d

Следовательно,

V =

π d3 » 26,5 ±1,1 см3 .

Тогда относительная погрешность измерения объема

δV =

1,088

» 0,0410 . □

26,5

§ 3. Дифференцирование сложных функций

Пусть z = f (x, y) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой пере- менной t: x = x(t) , y = y(t). В этом случае функция

z = f (x(t ), y(t)) является сложной функцией одной незави- симой переменной t; переменные х и у – промежуточные

переменные.
Пусть	z = f (x, y)	– дифференцируемая в точке
M (x; y)Î D	функция и	x = x(t) и y = y(t) – дифференцируе-

мые функции независимой переменной t. Выведем форму-

лу для вычисления производной сложной функции z(t) = f (x(t), y(t)).

Придадим независимой переменной t приращение t .

Тогда функции	x = x(t)	и y = y(t) получат приращения со-
ответственно	x и y .	Они, в свою очередь, вызовут при-
ращение z функции z.

463

Так как по условию функция z = f (x, y)

дифференцируема

в точке M (x; y) , то ее полное приращение можно предста-

D z =

¶z D x +

¶z

D y +α D x + β D y ,

¶x

¶y

где α → 0, β → 0 при

x → 0,

y → 0 . Разделим данное

выражение на t и перейдем к пределу при

t → 0 . Тогда,

в силу непрерывности функций x = x(t)

и y = y(t) ,

приращения

x → 0

y → 0 .

П о л у ч а е м

lim

D z

= ¶ z

× lim

D x +

¶ z

× lim

D y

+ lim α × lim

D x

+ lim β × lim

D y

¶ y

t→0

¶ x

t→0 Dt

t→0

то есть

d z

¶ z ×

d x

¶ z

d y

+ 0 ×

d x

+ 0 ×

d y

или

d t

¶ x d t

¶ y d t

d t

d z

¶ z

d x

¶ z

d y

(1)

¶ x

d t

¶ y

d t

Производная

d z

в формуле (1) называется производной сложной

d t

функции z.

В частности, если z = f (x, y(x)), то, согласно формуле (1), имеем

d z

= ¶ z

d x

¶ z

d y

или

d x

¶ y

d x

¶ x

d z

= ¶ z +

¶ z

d y

(2)

d x

¶ y

¶ x

d x

z = f (x(u,v), y(u,v))

Рассмотрим теперь случай,

когда

–

сложная функция независимых переменных u и v. Зафик-

сировав

заменим

в формуле

(1)

d z

d x

d y

соответст-

d t

вующими частными производными

¶ z

, ¶ x ,

¶ y :

¶u

¶ z =

¶ z

¶ x

¶ z

¶ y .

(3)

¶ x

¶u

¶ y

¶u

Аналогично получаем:

464

¶ z	=	¶ z	×	¶ x	+	¶ z	×	¶ y .	(4)
¶ v		¶ x		¶ v		¶ y
								¶ v
Если u = f (x1, x2 ,K, xn )				– непрерывно дифференцируе-

мая функция n переменных и x1 = x1 (t), x2 = x2 (t),K, xn = xn (t ) непре- рывно дифференцируемые функции, то формула (1) примет

вид

d u

¶u

dx1

¶u

d x2

+K +

¶u

d xn

d t

¶ x

¶ x d t

d t

Если же x j = x j (t1 ,t2 ,K,tm ),

j =

, – непрерывно дифференци-

1,n

руемые функции,

то частные

производные

¶u

,i =1,2,K,m ,

¶t

согласно формуле (3), вычисляются следующим образом:

¶u

¶ x1

¶u

¶ x2

+K +

¶u

¶ xn ,i =1,2,K,m .

¶t

¶ x

¶t

Пример

Найти

d z

если

z = ex2 + y2 , x = acost ,

d t

y = asin t .

Решение.

dd zt = ¶¶ xz × dd xt + ¶¶ zy × dd yt = ex2 + y2 × 2x(-asint ) + +ex2 + y2 × 2y(acost) = 2aex2 + y2 ( y cost - xsint).

Выразив х и у через t, получим

dd zt = 2aea2 (asin t cost - a cost sin t) = 0 . □

Решение.

Используя формулу

полной

производной

d z ¶ z

¶ z d y

2y ex

2(x - y ex )

. □

(2), находим

= ¶ x

d x

¶ y

d x

x2 - y2

Пример 3.

465

Найти

¶ z

если

z = ln (u2 + v2 )

где u = xy ,

v =

¶ x

¶ y

Решение. Воспользовавшись формулой (3), получим

¶ z

y +

¶x

u2 + v2

y x

¶ z

× x +

2(y4

-1)

. □

y(y

+1)

¶ y

+ v

§ 4. Инвариантность формы первого диффе-

ренциала

Найдем

полный

дифференциал

сложной функции

z = f (x(u,v), y(u,v)) = F (u,v) .

Подставим

выражения

¶ z

¶u

¶ z

¶ v

определяемые равенствами (3.3) и (3.4), в формулу полно- го дифференциала функции двух переменных (2.5).

Будем иметь

d z = ¶ F d u +

¶ F d v =

¶ z d u +

¶ z dv =

¶ z

¶ x +

¶ z

¶ y

÷d u

¶ x

¶ y

¶u

¶ v

¶u

¶ v

¶u

¶ z

¶ y

+ç

¶ z ×

¶ x +

÷d v =

¶ z ç

¶ x d u +

¶ x d v÷

¶ z

¶ y d u +

¶ y

¶ v

¶ x

¶ v

¶ x è

¶u

¶ v

¶ y è

¶u

d v÷.

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций x = x(u,v) и y = y(u,v).

Следовательно, и в этом случае,

d z = ¶¶ xz d x + ¶¶ zy d y .

Таким образом, форма записи полного дифференциа- ла функции двух переменных не зависит от того, являются ли х и у независимыми переменными, или функциями дру- гих независимых переменных.

В этом и заключается инвариантность формы первого дифференциала

функции нескольких переменных.

466

Свойство инвариантности позволяет установить сле- дующие правила вычисления дифференциалов:

d (u + v) = d u + d v ; d (uv) = vd u + u d v ;	æ u ö			v d u - u d v
	d ç	÷	=
				v2
(v ¹ 0).	è v ø

Эти формулы справедливы независимо от того, явля- ются u и v независимыми переменными или функциями от д р у г и х п е р е м е н н ы х .

§ 5. Дифференцирование неявных функций


Функция z = f (x, y)		называется неявной,			если она за-
дается уравнением		F (x, y, z) = 0 .
							(1)
Например, уравнение			4xz − 3yz + z +1 = 0 задает				z как
неявную функцию переменных x				и y .
Необходимо заметить, что не любое уравнение, свя-
зывающее три переменных			x, y, z , определяет			некоторую
неявную	функцию.	Так,		например,		уравнение
x2 + y2 + z2 + 5 = 0 не может			быть	удовлетворено		никакими
действительными значениями x,				y, z и потому не определя-
ет никакой функции. Уравнение				x2 + y2 + z2 =1	задает фак-
тически две	непрерывные неявные функции,				явные		зада-

ния которых z = 1- x2 - y2 и z = -1- x2 - y2 .

Установим, при каких условиях функциональное уравнение (1) задает неявную функцию z = f (x, y) и как найти про-

изводную неявной функции (особенно в том случае, когда не- возможен переход к явному заданию).

Найдем частные производные	¶ z	и	¶ z	неявной
	¶ x		¶ y

функции z. Для этого, подставив в уравнение (1) вместо z

функцию	f (x, y) ,
получим тождество	F (x, y, f (x, y)) º 0 . Частные производные

по x и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

467

(x, y, f (x, y)) =

¶ F

¶ z

= 0 ,

¶ x

¶ z

¶ x

(x, y, f (x, y)) =

¶ F

¶ z

= 0 .

Откуда

¶ y

¶ z

¶ y

F′

Fy′

¶ z

(F¢ ¹ 0) .

= -

(2)

¶ x

Fz¢

¶ y

Fz¢

Условия существования неявной функции, опреде-

ляемой уравнением

F(x, y) = 0 ,

(3)

устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть

x = x0 и y = y0

– решение уравнения

(

)

F(x0 , y0 ) = 0 ,

(4)

пусть

F(x, y)

её

частные

производные по

x и y

первого порядка являются непрерывными функциями при всех x и y,

достаточно близких к	x0 и y0 ,	и, пусть, наконец, частная
производная Fy′(x, y)	отлична от нуля при x = x0 , y = y0 . Тогда
при всех x, достаточно близких к		x0 , существует одна опреде-

лённая функция y(x) , удовлетворяющая уравнению (3), не- прерывная, имеющая производную и удовлетворяющая ус-

ловию: y(x0 ) = y0 .

Доказательство. Пусть, для определённости,

Fy′(x0 , y0 ) > 0 .

По условию эта производная непрерывна, значит она бу- дет положительной и при всех значениях x и y, достаточно


близких	к			x0		и	y0 ,
т.е. существует такое положительное число l , что F(x, y)							и её частные
производные непрерывны и
			Fy′(x, y) > 0				(5)
при всех x и y, удовлетворяющих условиям
		x - x0	£ l, ,	y - y0	£ l .		(6)
		x - x0	£ l, ,	y - y0	£ l .		(6)
Функция	F(x0 , y) переменной y, в силу (4),						обращает-
ся в нуль при	y = y0 и, в силу (5), (6),					является возрастаю-
щей на промежутке			(y0 - l ; y0 + l) .			Таким	образом,
F(x0 , y0 - l) < 0,			а			F(x0 , y0 + l) > 0.

468

Из непрерывности функции

F(x, y)

следует,

что

F(x, y0 − l) < 0, а

F(x, y0 + l) > 0 при всех x, достаточно близ-

ких к x0 ,

т.е.

существует такое

положительное

число

l1 ,

что

F(x, y0 − l) < 0 и

F(x, y0 + l) > 0

(7)

при

x − x0

≤ l1

. Пусть m = min{l, l1} . Т огда можно ут -

верждать,

что неравенства (5) и (7) выполнены, если x и y удовлетво-

р я ю т

н е р а в е н с т в а м

x − x0

≤ m,

y − y0

≤ l .

(8)

Если взять какое-нибудь определённое x, лежащее в

промежутке (x0 − m; x0 + m) , то

F(x, y) , как функция от y ,

б у д е т ,

с и л у

(

)

возрастающей функцией на промежутке (y0 − l ; y0 + l),

и,

силу (7), на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Следовательно, она будет обращаться в нуль при одном определённом значении y из этого проме-

жутка.	В частности, если x = x0 , то,	в силу (4), это значе-
ние y	будет y = y0 . Таким образом,	доказано существова-

ние на промежутке (x0 − m; x0 + m) определённой функции y(x) , являющейся решением уравнения (3) и удовлетво- ряющей условию y(x0 ) = y0 . Другими словами, из предыду- щих рассуждений следует , что при любом фиксированном x (x0 − m; x0 + m) уравнение (3) имеет единственный корень, л е ж а щ и й в н у т р и п р о м е ж у т к а (y0 − l; y0 + l) .


		Покажем теперь,				что найденная функция y(x) будет
непрерывной при x = x0 .						Действительно, при любом задан-
ном		малом		положительном				ε значения F(x0 , y0 − ε ) и
	F(x0 , y0 + ε)			будут, в силу (7), разных знаков, а следова-
тельно, будет существовать								такое положительное I , что
	F(x, y0 − l)		и	F(x, y0 + l) будут				разных знаков, если только
	x − x0	< I ,	т.е. при		x − x0		< I	будет существовать корень

уравнения (3). Это значит, что значение найденной функ- ции y(x) удовлетворяет условию y − y0 ≤ ε , что и доказы- вает непрерывность y(x) при x = x0 .

469

Докажем теперь		существование	производной	y′(x)
при x = x0 . Пусть	x = x − x0 , y = y − y0 есть соответствующие при-
ращения x и y. Следовательно, x = x0 + x и y = y0 + y удовлетворяют
уравнению (3), т.е.	F(x0 +	x, y0 + y) = 0 , и,	в силу (3), имеем
	F(x0 + x, y0 + y) − F(x0 , y0 ) = 0 .
Принимая во внимание непрерывность частных про-
изводных, можно переписать это равенство так:
(Fx′(x0 , y0 ) + ε1 ) x + (Fy′ (x0 , y0 ) + ε2 ) y = 0 ,				(9)
г д е ε1 и ε2 → 0, е с л и x → 0 и y → 0 и г д е ч е р е з
Fx′(x0 , y0 ) и Fy′(x0 , y0 ) обозначены значения частных производных при

x = x0 ,	y = y0 .	Из доказанной ранее непрерывности следует, что
y → 0	,	е	с	л	и	x → 0	.

Из уравнения (9) получаем

y= − Fx′(x0 , y0 ) + ε1 . x Fy′(x0 , y0 ) + ε2

Переходя к пределу при		x → 0 , получим
	y′(x ) = −		Fx′(x0 , y0 )	.
	y′(x ) = −			.
	0		Fy′(x0 , y0 )
			Fy′(x0 , y0 )
Таким образом, доказаны непрерывность и существо-
вание производной	функции	y(x) только при			x = x0 . Если
взять какое-либо	другое	значение x из			промежутка

(x0 − m; x0 + m) и соответствующее значение y из промежут- ка (y0 − l; y0 + l) , являющееся корнем уравнения (3), то для

этой пары значений x, y опять выполнены все условия тео- ремы 1, и, в силу доказанного, y(x) будет непрерывной

при указанном значении x. □

Отметим, что совершенно так же, как и выше, форму- лируется и доказывается теорема о существовании неяв-

ной функции	z = f (x, y) ,	определяемой	уравнением
F(x, y, z) = 0 .
Теорема 2.	Если функция F(x, y, z) и ее производные
Fx′(x, y, z) , Fy′(x, y, z) , Fz′(x, y, z) определены и			непрерывны в
некоторой окрестности		точки M0 (x0; y0; z0 ) , причем
F(x0 , y0 , z0 ) = 0 ,

470

а Fz¢(x0 , y0 , z0 ) ¹ 0 , то существует окрестность точки M0 , в которой

уравнение (1) определяет единственную функцию z = f (x, y) , непрерывную и дифференцируемую в окрестно-

сти точки (x0; y0 ) и такую, что f (x0 , y0 ) = z0 .

Пример 1. Найти частные производные функции z,

заданной уравнением e−xy - 2z + ez = 0 .

Решение.

Имеем

Fx¢ = - ye−xy ,

Fy¢ = -xe−xy ,

Fz¢ = -2 + ez .

По формуле (2) получаем

¶ z

ye−xy

¶ z

xe−xy

. □

¶ x

ez - 2

¶ y

ez - 2

Пример 2.

Найти

y′ , если неявная функция

y = f (x)

задана уравнением cos(x + y) + y = 0 .

Решение. Для неявной функции

одной

переменной

y = f (x) ,

задаваемой

уравнением

F(x, y) = 0 ,

имеем

y¢x = -

Fx′

(Fy¢ ¹ 0) .

Fy¢

данном

случае

F (x, y) = cos(x + y) + y .

Находим

¶ F = -sin (x + y) ,

¶ F = -sin (x + y) +1.

¶ x

¶ y

Следовательно, y

-sin(x + y)

sin(x + y)

= -1- sin(x + y)

= 1- sin (x + y) . □

§ 6. Поверхности и линии уровня

Рассмотрим в трехмерном пространстве область D, в

которой задана функция

	u = f (x, y, z).		(1)
В этом случае говорят, что в области		D	задано ска-
лярное поле. Если	u = f (x, y, z) обозначает	температуру в
точке M (x; y; z), то	говорят, что задано поле		температур,
если – давление, то поле давлений и т. д.
Рассмотрим область D, в которой
	f (x, y, z) = c ,		(2)

где с – постоянная.

471

Тогда уравнение (2) будет задавать поверхность, на- зываемую поверхностью уровня. При изменении с получим семейство таких поверхностей.

Например, для функции u =

поверхностями уровня

будут эллипсоиды

= c, c > 0 .

d 2

Для равномерно раскаленной нити поверхности уров- ня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью ко- торых служит сама нить.

Если функция u является функцией двух перемен-

ных,

т.е. u = f (x, y), то уравнение f (x, y) = c задает линии на

плоскости, называемые линиями уровня.

Если пересекать поверхности уровня плоскостями z = C , то на плоскости Oxy получим проекции линий пере-

сечения, т.е. линии уровня.

§ 7. Производная по направлению

ис. 1

Рассмотрим функцию u = u(x, y, z), определенную и диффе-

ренцируемую в области D. Проведем из точки М этой области вектор s , обра- зующий с координатными осями уг-

лы α, β ,γ , соответственно					(рис. 1).
На	векторе		s	возьмем	точку
M1 (x +		x; y +	y; z +	z), на	расстоя-
нии	s	от его начала, тогда

s = ( x)2 + ( y)2 + ( z)2 .

Полное приращение функции u представим в виде

u = ∂u	x +	∂u	y + ∂u	z + ε	x + ε	2	y + ε	3	z ,	(1)

∂ x		∂ y	∂ z	1

где ε1 , ε2 , ε3 стремятся к нулю при							s → 0 .
Разделим все члены равенства (1) на							s :

472

<<< < Предыдущая 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 6047 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.201960.88 Кб4Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб58Мат Моделирование (конспект).doc
#
01.04.20252.17 Mб2МАТ.АН_1КУРС_3,4ГРУППА_ПИЦЕВИЧ.docx
#
01.03.202564.81 Кб0матан 1-13.docx
#
18.02.20162.81 Mб125Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб128Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб70Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
01.07.2025526.34 Кб0Материал к госэкзамену для заочников.doc
#
01.05.2025108.01 Кб1материал к кср налоговое.docx
#
01.07.2025187.39 Кб1Материал к экзамену по ИТ.doc