- •Вопросы к зачету для заочного отделения по курсу
- •II. Векторная алгебра.
- •III. Аналитическая геометрия.
- •IV. Математический анализ
- •I. Линейная алгебра Матрицы Прямоугольная таблица чисел
- •Пример. Даны матрицы а и в. ;. Найти произведение матриц ав.
- •Определители.
- •Методы решения систем линейных уравнений.
- •Обратная матрица.
- •Решение систем уравнений матричным методом.
- •Ранг матрицы.
- •Окаймляем его слева и снизу
- •Окаймляем d3 ( это только можно сделать двумя способами)
- •Прямоугольные системы уравнений.
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •II. Векторная алгебра.
- •Единичным вектором, или ортом данного вектора, называется вектор, совпадающий по направлению с данным вектором и имеющий модуль, равный единице. Прямоугольные координаты
- •III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости
- •Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Если уравнения прямых заданы в общем виде
- •Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Нормирующий множитель
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Уравнение плоскости в нормальном виде
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •Угол между двумя плоскостями
- •Острый угол между прямой иплоскостью
- •Кривые второго порядка.
- •Простейшее уравнение гиперболы
- •Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями
- •Простейшее уравнение параболы
- •IV. Математический анализ Функция одной переменной
- •Предел функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Дифференциальное исчисление. Производная. Техника дифференцирования. Обозначение
- •Производная сложной функции
- •Параметрически заданные функции и их дифференцирование
- •Правило Лопиталя
- •Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •Признаки возрастания и убывания функций
- •Максимум и минимум функции
- •Первое достаточное условие существования экстремума функции
- •Второе достаточное условие существования экстремума
- •Асимптоты.
- •Общее исследование функции
Острый угол между прямой иплоскостью
Ax + By + Сz + D = О определяется по формуле
Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид
Am + Bn + Ср = 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямуюимеет вид:
Ax +By + Cz + D + λ(A1 x +B1 y + C1 z+ D1) =0
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1, 2, —1) перпендикулярно прямой
Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1, 2, -1), напишем на основании уравнения А(х-х1)+В(у-у1)+С(z-z1)=0 в виде А(х-1)+В(у-2)+С(z+1)=0
Пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости, заменив в последнем уравнении величины А, В и С им пропорциональными величинами т, п и р из уравнений прямой, т. е. числами 1, -3 и 4, и получим
1(х-1)-3(у-2)+4(z+1)= 0. а после упрощений получим x - 3у+4z+9=0.
Кривые второго порядка.
1. Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки. Уравнение окружности имеет вид
(х - а)2 + (y - b)2 = r2
где a и b—координаты центра окружности, a r—радиус окружности.
Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид
x2 + y2 = r2
2. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).
Простейшее уравнение эллипса
где а — большая полуось эллипса,b — малая полуось эллипса.
Если 2с — расстояние между фокусами, то между а, b и с (если а > b) существует соотношение
а2 - b2 = с2.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение, расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси
У эллипса эксцентриситет е < 1 (так как с < о), а его фокусы лежат на большой оси.
3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина неравна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.
Простейшее уравнение гиперболы
Здесь а - действительная полуось гиперболы, b—мнимая полуось гиперболы.
Если 2с — расстояние между фокусами гиперболы, то между а, b и с существует соотношение
a2 + b2 = с2
При b= а гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид
x2 - y2 = a2
фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси
е=.
Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями
Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.
4.Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая — ее директрисой.