- •Вопросы к зачету для заочного отделения по курсу
- •II. Векторная алгебра.
- •III. Аналитическая геометрия.
- •IV. Математический анализ
- •I. Линейная алгебра Матрицы Прямоугольная таблица чисел
- •Пример. Даны матрицы а и в. ;. Найти произведение матриц ав.
- •Определители.
- •Методы решения систем линейных уравнений.
- •Обратная матрица.
- •Решение систем уравнений матричным методом.
- •Ранг матрицы.
- •Окаймляем его слева и снизу
- •Окаймляем d3 ( это только можно сделать двумя способами)
- •Прямоугольные системы уравнений.
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •II. Векторная алгебра.
- •Единичным вектором, или ортом данного вектора, называется вектор, совпадающий по направлению с данным вектором и имеющий модуль, равный единице. Прямоугольные координаты
- •III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости
- •Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Если уравнения прямых заданы в общем виде
- •Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Нормирующий множитель
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Уравнение плоскости в нормальном виде
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •Угол между двумя плоскостями
- •Острый угол между прямой иплоскостью
- •Кривые второго порядка.
- •Простейшее уравнение гиперболы
- •Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями
- •Простейшее уравнение параболы
- •IV. Математический анализ Функция одной переменной
- •Предел функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Дифференциальное исчисление. Производная. Техника дифференцирования. Обозначение
- •Производная сложной функции
- •Параметрически заданные функции и их дифференцирование
- •Правило Лопиталя
- •Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •Признаки возрастания и убывания функций
- •Максимум и минимум функции
- •Первое достаточное условие существования экстремума функции
- •Второе достаточное условие существования экстремума
- •Асимптоты.
- •Общее исследование функции
Собственные векторы и собственные значения матрицы.
Характеристическим уравнением матрицы А = называется уравнение, т.е..
Корни этого уравнения 1, 2, 3 называются характеристическими числами матрицы А или собственными значениями матрицы А, эти числа действительные, если матрица является симметрической.Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию аij = aji, то матрица называется симметрической.
Ненулевой вектор х называется собственным вектором квадратичной матрицы А, принадлежащим ее собственному значению совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений ()х = 0, записанных в векторно-матричной форме.
в которой имеет одно из значений 1, 2, 3 и определитель которой в силу этого равен нулю, определяет тройку чисел соответствующую данному собственному значению который и является искомым собственным вектором.
Пример. Дана матрица . Найти собственные значения и собственные векторы.
Решение:
Составим характеристическое уравнение
=0
()() – 8 = 0
2 - 8 + 7 = 0
1=7, 2 = 1.
Находим собственный вектор, соответствующий первому собственному значению
; х1 = х2 - собственный вектор, соответствующий собственному числу1=7
Находим собственный вектор, соответствующий второму собственному значению
; 2х1 =- х2 х1 =х2 - собственный вектор, соответствующий собственному числу2 = 1
II. Векторная алгебра.
Различают два рода величин: скалярные и векторные.
Если некоторая величина определяется только ее числовым значением, то ее называют скалярной. Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной, или вектором. Длина вектора называется также его модулем, или абсолютной величиной. Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым.
Два вектора называются равными, если равны их модули, они параллельны и сонаправлены.
При умножении вектора на скаляр k получается вектор модуль которого равен модулю вектора , умноженному на k. Направления векторов совпадают, если k > 0, и они противоположны, если k < 0.
Два вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными.
Единичным вектором, или ортом данного вектора, называется вектор, совпадающий по направлению с данным вектором и имеющий модуль, равный единице. Прямоугольные координаты
Если в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz, то точка М пространства, имеющая координаты x (абсцисса), y (ордината), z (аппликата), обозначается М(x, y, z).
Расстояние между двумя точками А(х1, у1, z1) и В(х2 , у2, z2) определяется по формуле . В частности, расстояние от точкиМ(x, y, z) от начала координат О определяется по формуле
Если х1, у1, z1-координаты точки А, а х2, у2, z2- координаты точки В, то координаты х и у точки С, делящей отрезок АВ в отношении определяются по формулам
; ;
Если λ == 1, то точка С(х, у,z) делит отрезок АВ пополам, и тогда координаты х и у средины отрезка А В определятся по формулам
; ;
Площадь треугольника на плоскости по известным координатам его вершин А (х1, у1), В(х2, y2), С (х3, у3) вычисляется по формуле.Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине. ЕслиS = 0, то значит три точки лежат на одной прямой.
Пример. Найти координаты точки С—средины отрезка, соединяющего точки
А (—2, 4) и В (—4, 10).
Решение. В формулах и возьмем х1 = - 2; х2 = - 4;
у1= 4; = 10. Тогда абсцисса средины отрезкаАВ х =-3; ордината - у= 7.
Пример. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (2, - 3), В(1, 1), С(- 6, 5).
Решение: Задачу решим, воспользовавшись формулой площади треугольника
= 12
Ответ. S = 12 кв. ед.
Скалярное произведение.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение векторов обозначается символом .
=cosφ.
Свойства скалярного произведения:
= (переместительный закон)
= 0, если (скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю) или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
(распределительный закон)
Скалярное произведение ортов осей координат:
Если векторы заданы своими координатами:, то их скалярное произведение вычисляется по формуле =x1x2 +y1y2+z1z2.
Векторное произведение.
Векторным произведением векторов называется вектор , который определяется следующими условиями:
1) Его модуль равен sinφ,где φ - угол между векторами.
Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах
3)
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение равно нулю, если векторы коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный =;
3)( )=(распределительное свойство)
Если векторы заданы своими координатами:, то векторное произведение находим по формуле:
=
Площадь параллелограмма и треугольника, построенного на векторах ,соответственно равны ,
Смешанное произведение
Векторно-скалярное произведение трех векторов или смешанное их произведение вычисляется по формуле
, если векторы заданы своими координатами:.
Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах .
Объем пирамиды, построенной на векторах , получим по формулепричем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объемV был положительным.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.
Пример. Начти объем пирамиды, если координаты ее вершин А(х1, у1, z1) и В(х2 , у2, z2)
Решение: Рассмотрим векторы,на которых построена пирамида.
Зная координаты начала и конца каждого вектора, найдем проекции этих векторов на оси прямоугольной системы координат:
,,для объема пирамиды получаем на основании формулы