- •Вопросы к зачету для заочного отделения по курсу
- •II. Векторная алгебра.
- •III. Аналитическая геометрия.
- •IV. Математический анализ
- •I. Линейная алгебра Матрицы Прямоугольная таблица чисел
- •Пример. Даны матрицы а и в. ;. Найти произведение матриц ав.
- •Определители.
- •Методы решения систем линейных уравнений.
- •Обратная матрица.
- •Решение систем уравнений матричным методом.
- •Ранг матрицы.
- •Окаймляем его слева и снизу
- •Окаймляем d3 ( это только можно сделать двумя способами)
- •Прямоугольные системы уравнений.
- •Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •II. Векторная алгебра.
- •Единичным вектором, или ортом данного вектора, называется вектор, совпадающий по направлению с данным вектором и имеющий модуль, равный единице. Прямоугольные координаты
- •III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости
- •Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Если уравнения прямых заданы в общем виде
- •Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Нормирующий множитель
- •Аналитическая геометрия в пространстве
- •Уравнение плоскости в нормальном виде
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях
- •Угол между двумя плоскостями
- •Острый угол между прямой иплоскостью
- •Кривые второго порядка.
- •Простейшее уравнение гиперболы
- •Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями
- •Простейшее уравнение параболы
- •IV. Математический анализ Функция одной переменной
- •Предел функции.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Непрерывность функции
- •Дифференциальное исчисление. Производная. Техника дифференцирования. Обозначение
- •Производная сложной функции
- •Параметрически заданные функции и их дифференцирование
- •Правило Лопиталя
- •Применение дифференциального исчисления к исследованию функций
- •Признаки возрастания и убывания функций
- •Максимум и минимум функции
- •Первое достаточное условие существования экстремума функции
- •Второе достаточное условие существования экстремума
- •Асимптоты.
- •Общее исследование функции
Простейшее уравнение параболы
y2= 2px
Входящая в это уравнение величина р называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.
Координаты фокуса F параболы F(, 0). Уравнение директрисы параболы
.Эксцентриситет параболы е= 1.
Пример. Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30.
Решение:
Вершины гиперболы лежат на ее действительной оси. По условию 2а = 20; 2с == 30. Значит, а = 10; с = 15 а2 = 100; с2 = 225.
Величины а, и и с у гиперболы связаны соотношением а2 +b2 = с2; отсюда
b 2 = с2 —а2 = 225 — 100 b 2 = 125. Значит, уравнением гиперболы будет
Пример. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет е= 1,4. Найти уравнение гиперболы.
Решение:
По условию а = 5, значит а2 = 25. По формуле е = =1,4, отсюда с = 1,4·а = 1,4 · 5 = 7; с2 = 49; b2 = с2 - а2 = 49 — 25 = 24, b2 =24
Искомым уравнением будет
Пример. Найти уравнение асимптот гиперболы 2x2 - 3y2 = 6.
Решение:
У гиперболы две асимптоты, определяемые уравнениями Следует найти a и b.
Приведем уравнение гиперболы к простейшему виду, разделив обе его части на 6. Получим
Отсюда заключаем, чт а2 = .3, а =; b2 = 2, b == . Подставляя эти значения а и b в уравнения асимптот получаем:;
IV. Математический анализ Функция одной переменной
Если каждому значению переменной х (аргументу) из некоторого множества Х ставится в соответствие одно значение у из множества Y, то говорят, что на множестве Х задана функция f (x)со множеством значений Y, где Х – область определения функции, Y – область значения функции, или у является функцией от х и записывают у = f(x). Если функция задана аналитически, то областью существования функции (иначе, областью значения функции) называется совокупность тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение определяющее функцию, принимает только действительные значения.
Графиком функции у = f(x) называется множество точек (х, f(x)). Графиком пользуются для геометрического изображения функций. Графики многих функций строят с помощью параллельного переноса, растяжения или сжатия основных элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратных тригонометрических.
Функция у = f(x) называется четной, если выполняется равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция у = f(x) называется нечетной, если выполняется равенство. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример: Найти область значения функции:
Решение:
.
Предел функции.
Число А называется пределом функции при х, если для любого сколь угодно малогосуществует числотакое, чтопри. Это записывают так:. Аналогично определяется предел при х.
Функция называется бесконечно большой при х, еслии бесконечно малой при х, если. Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые при х.
При вычислении пределов необходимо знать такие теоремы:
- Const.
Еслиисуществуют, то
Для всех основных элементарных функций в произвольной точке их области определения справедливо равенство
;
Const.
5.,
Бесконечно малые иназываются эквивалентными при х, если. Это записывают так:
Если при, то выполняются эквивалентности:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Предел отношений двух бесконечно малых не изменится , если заменить их эквивалентными величинами.
При вычислении пределов часто используют: