Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Нормирующий множитель

В нормальном виде уравнение прямой запишется так:

Свободный член в нормальном уравнении прямой, взятый по абсолютной величине, дает искомое расстояние р = ед. масштаба.

Пример. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

3х + 4у - 12 = 0,

3х + 4у +13=0.

Решение:

Искомое расстояние мы найдем, как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возь­мем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой х = 0. Ее ордината будет у = 3.

Итак, на первой прямой выбрана точка А (0,3). Найдем теперь расстояние этой точки до второй прямой так же, как и предыдущей, и получим d = 5 ед. масштаба.

Аналитическая геометрия в пространстве

Общее уравнение плоскости

Ах +Ву + Сz + D =0

Если в этом уравнении D=0, то плоскость проходит через начало координат, и ее уравнение будет таким

Ах+Ву+Сz=0.

При С =0 уравнение примет вид

Ax + By +D =O

и плоскость параллельна оси Оz . При B = 0 уравнение запишется в виде

Ах+Сz+D=0

В этом случае плоскость параллельна оси Оу, а при А = 0 урав­нение приобретает вид

Ву+Сz+0=.0

и плоскость параллельна оси Ох.

Вообще следует запомнить, что если плоскость параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

Если в полученных уравнениях окажется, что D = 0, то эти уравнения имеют вид

Ах + Ву = 0

Ах + Сz = 0

By + Cz = O

Первое уравнение - уравнение плоскости, проходящей через коор­динатную ось Оz, второе - уравнение плоскости, проходящей через ось Оу, а третье - уравнение плоскости, проходящей через ось Ох. Если в общем уравнении плоскости А = 0 и В = 0, то оно приобретет вид

Cz + D = 0

и плоскость параллельна координатной плоскости хОу. При В = О и С = 0 уравнение запишется в виде

Ax+D=0,

а определяемая им плоскость параллельна координатной плоскости уОz. При А = 0 и С = 0 получаем:

By+D=0

эта плоскость параллельна координатной плоскости хОz

Уравнение плоскости в нормальном виде

xcosα- уcosβ + zcosγ—p =0

где α, β и γ— углы между координатными осями Ох, Оу и Оz и перпендикуляром, опущенным из начала координат на плос­кость, а р — длина этого перпендикуляра.

Для приведения общего уравнения плоскости к нор­мальному виду обе его части следует умножить на нор­мирующий множитель

выбрав перед корнем знак, противоположный знаку свободного члена в общем уравнении плоскости

Уравнение плоскости в отрезках на осях

где а, Ь и с—величины отрезков, отсекаемых плоскостью на коор­динатных осях.

Уравнение связки плоскостей, проходящей через точку М(х₁,у₁, z₁), имеет вид

А(х-х₁)+В(у-у₁)+С(z-z₁)=0

Давая коэффициентам А, В и С в уравнении различные значения, мы получим различные плоскости, проходящие через точку М(х₁,у₁, z₁).

Угол между двумя плоскостями

А₁х+В₁y-C₁z+D₁=0 и А₂х+В₂y-C₂z+D₂=0 определяется по формуле

Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:

= 0

Условие параллельности двух плоскостей имеет вид:

Расстояние от точки N (х₁,у₁, z₁) до плоскости Ax + By + Сz + D = 0 определяется по формуле

d =

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A (х₁,у₁, z₁), B(х₂,у₂, z₂), C(х₃,у₃, z₃). имеет вид

Прямая линия в пространстве.

Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид

где х₀,у₀, z₀ - координаты точки, через которую проходит пря­мая, а т, п и р -направляющие коэффициенты прямой, кото­рые являются проекциями на координатные оси Ох, Оу, Оz на­правляющего вектора прямой.

Если α, β и γ - углы между прямой и координатными осями Ох, Оу и Оz, то

cos а = ±; cos β = ±; cos γ = ±;

называются направляющими косинусами пря­мой. Направляющие коэффициенты т, п и р можно рассматри­вать как проекции на координатные оси вектора, параллельного прямой, причем т, п и р не могут быть одновременно равны нулю.

В параметрическом виде уравнения прямой линии в про­странстве записываются так:

x =x₀ + mt; y =y₀ + nt; z =z₀ + pt

где t — параметр.

Общие уравнения прямой в пространстве:

Каждое из уравнений - уравнение плоскости, и таким образом прямая в пространстве может рассматриваться как пере­сечение двух плоскостей, причем плоскости эти предполагаются непараллельными, т. е. соотношение

не имеет места.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

имеет вид

Условие перпендикулярности этих двух прямых имеет вид

mm₁ + nn₁ + pp₁ = 0

Угол между двумя прямыми определяется по фор­муле

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки A (х₁,у₁, z₁), B(х₂,у₂, z₂) запишутся в виде

Плоскость и прямая