Применение дифференциального исчисления к исследованию функций

Возрастание и убывание функций.

Функция f (х) называется возрастающей в не­котором интервале, если для любых двух чисел х1 и х2 из этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство f (х2) > f(х1). Если же из неравенства х2 > х1 следует нестрогое неравен­ство f (х2) f(х1), то функция называется неубывающей в этом интервале.

Функция f (х) называется убывающей в не­котором интервале, если для любых двух чисел х1 и х2 из этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство f (х2) < f(х1) .Если же из неравенства х2 > х1 следует нестрогое неравенство f (х2) f(х1) , то функция называется невозрастающей в этом интервале. Функции возрастающие и убывающие, а также функ­ции невозрастающие и неубывающие называются монотонными.

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции

Решение. D(y) =

Таким образом, функция монотонно убывает при , монотонно возрастает при

Признаки возрастания и убывания функций

Теорема. Если во всех точках некоторого интервала первая производная f'(х) > 0, то функция f (х) в этом интервале воз­растает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная f'(х) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Максимум и минимум функции

Говорят, что функция f (х) имеет в точке максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к.

Говорят, что функция f (х) имеет в точке минимум, если значение функции в этой точке меньше, чем значения во всех точках, достаточно близких к.

Следует помнить:

1) Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, при­нимаемым функцией. Вне рассматриваемой окрестности точки функция может принимать большие (меньшие) значения, чем в этой точке.

2) Функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

3) Функция, определенная на отрезке, может до­стигнуть экстремума только во внутренних точках этого от­резка.

Необходимое условие экстремума. Если функция f (х) имеет экстремум при х = , то ее производная в этой точке равна нулю, или, или не существует.

Из этого следует, что точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых ее первая производная f' (х) = 0, f' (х) = или не суще­ствует.

Пример. Найти критические точки функции.

Решение. Область определения функции .,= 0 в точке х =2 и не существует в точке х = 1. Значит функция имеет критические точки х1 = 2 , х2 = 1.

Первое достаточное условие существования экстремума функции

Пусть точка х = является критической точкой функции, а сама функция f(х) непрерывна и дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку. Тогда: 1) если при х < х0 производная функции f' (х)> 0, а при х > х0, f' (х)< 0, то при х = х0 имеет место максимум, т. е. если при переходе слева направо через критическую точку первая производная функ­ции меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума; 2) если при х < х0 f' (х)< 0, а при х > х0, f' (х) > 0, то при х = х0 имеет место минимум; иначе: если при переходе слева направо через критическую точку первая производная функции меняет знак. с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума; 3) если же при переходе через критическую точку первая производная функции не меняет знак, то экстремума нет.

Пример. Найти экстремум функции

Решение. 1.Область определения функции .

2. ,= 0 в точке х =2 и не существует в точке х = 1. Значит функция имеет критические точки х1 = 2 , х2 = 1.

3.

Значит, функция в точке х = 1 имеет максимум уmax (1) = -3 и в точке х = 2 минимум уmin (2) = -6.