4.2 Задание к ргр-м3 статически определимой задачи на растяжение (сжатие) ступенчатого бруса

Для бетонно-стального бруса квадратного сечения, нагруженного силой Р (рис. 4.3), требуется:

1. Определить колиМчество само-стоятельных участков для расчетов;

2. Составить аналитические выражения нормальных сил N_z и нормальных напряжений _z и вычислить их значения для каждого участка с учетом собственного веса;

3. Построить эпюры N_z и _z;

4. Вычислить перемещение верхнего конца колонны от действия силы Р и собственного веса.

Считать для стальной части Е₁ = 2,1 · 10¹¹ Па, γ₁ = 7,8 · 10⁴Н/м³ для бетона Е₂ = 2 · 10¹⁰ Па, γ₂ = 2 · 10⁴Н/м³.

Необходимо для расчета данные приведены в таблице 4.

Таблица 4

Вариант нөмірі Номер варианта	А · 10-2 м2	а, м	в, м	с, м	Р, кН
1	11	2,1	2,1	1,1	1,1
2	12	2,2	2,2	1,2	1,2
3	13	2,3	2,3	1,3	1,3
4	14	2,4	2,4	1,4	1,4
5	15	2,5	2,5	1,5	1,5
6	16	2,6	2,6	1,6	1,6
7	17	2,7	2,7	1,7	1,7
8	18	2,8	2,8	1,8	1,8
9	19	2,9	2,9	1,9	1,9
0	20,	3,0	3,0	2,0	2,0

Рисунок 4 .3

4.3 Пример решения статически определимой задачи на растяжение (сжатие) ступенчатого бруса.

Дано: (рис. 3.4а). Р = 200 · 10² Н, l₁ = l₂ = l₃ = 0,4 м;

Сталь: Е₁ = 2,1 · 10¹¹ Па; А₁ = 4 · 10^-2 м²; γ₁ = 7,8 · 10⁴ Н/м³;

Бетон: Е₂ = 2 · 10¹⁰ Па; А₂ = 9 · 10^-2 м²; γ₂ = 2 · 10⁴ Н/м³.

А₃ = 25 · 10^-2 м².

4.4 Решение.

4.4.1 Определение количества участков.

Так как нормальная сила N_z зависит от величин внешних сил и собственного веса колонны, а последний в свою очередь зависит от размеров поперечного сечения А_i и объёмного веса γ_i, то границами участков будут те сечения, в которых приложены внешние силы и происходит скачкообразное изменение площади поперечного сечения или объёма веса.

Исходя из указанного, брус будет иметь три самостоятельных для расчета участка:

I участок – от 0 до В (точка приложена силы );

II участок – от В до С;

III участок – от С до D.

Следует отметить, что поскольку z зависит от Nz и Аi, то для определения величин нормальных напряжений могут быть использованы те же участки.

4.4.2 Составление аналитических выражений для N_z и _z и вычисление их значений для каждого участка.

Для этой цели воспользуемся методом сечений.

I участок (0 - В) 0 ≤ z₁ ≤ 0,4 м.

Проведя сечения 1-1 на расстоянии z₁ от начала координат (точка 0), рассмотрим равновесие верхней части. При этом к рассматриваемой части прикладываем в ее центре тяжести собственный вес и нормальную силу N_z заменяющую действия отброшенной нижней части бруса на отсеченную часть бруса (рис. 4.4б).

Составим уравнения равновесия оставшейся части Σ z = 0; получим

находим

В свою очередь собственный вес равен.

Тогда аналитической выражение для определения нормальной силы будет иметь вид а для нормаль-ного напряжения (приА₁ = const).

Рисунок 4.4

Так как изависят отz₁линейно, то для Мпостроения графиков (эпюр) достаточно опре-делить их значения на границах участка, т.е.

при z₁ = 0;

z₁ = 0,4 м , при;

Знаки минус, получившиеся для N_z и _z, указывают на то, что принятое направление N_z, не совпадает с действительным. На самом деле в принятой схеме продольная сила не растягивает, а сжимает I участок бруса.

II участок (В – С) 0,4 ≤ z₂ ≤ 0,8 м.

Аналогично предыдущему прово-дим сечение 2 – 2 на расстоянии z₂ (рис. 4.4в). Для верхней части составляем уравнения равновесия Σ z = 0.

В это уравнения войдут собст-венный вес I участка Р ^I = γ, А, l, Н, собственный вес отсеченный части II участка Р_z, сосредоточенная сила Р = 200 · 10² Н, а также сила .

Тогда уравнения равновесия примет вид:

отсюда

по этой причине

Учитывая постоянство площади поперечного сечения на II участке, выражение нормального напряжения может быть записано так:

Вычислим значения ординат ив граничных сеченияхII участке:

при z₂ = 0,8 м,

III участок (С – D) 0,8 ≤ z₃ ≤ 1,2 м.

Составим уравнения равновесия Σ z = 0 (рис. 4.4г) для верхней части бруса, получим:

если