3.4 Пример м 3 – Принцип Даламбера

С невесомым валом АВ (рис.3.3), вращающимся с постоянной угловой скоростью , жестко скреплен невесомый стержень О₁ D длиной l₁ и имеющий на конце груз массой т₁ и шарнирно однородный стержень О₂ Е длиной l₁ и массой т₂. Дано в₁ = 0,6 м, в₂ = 0,2 м, в₃ = 0,2 м,  = 60, l₁ = 0,4 м, т₁ = 3 кг, l₂ = 0,33 м, т₂ = 5 кг,  = 5 с^-1.

Определить: реакции подшипника А и подпятника В.

Рисунок 3.3

Решение: Для определения искомых реакций рассмотрим движения механической системы, состояний из вала АВ, невесомого стержня ОD с грузом т₁ и шарнирно однородный стержень О₂Е, применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси Аху так, чтобы стержень лежал в плоскости Аху, и изобразим действующие внешние силы: силы тяжести и, составляющиеХ_А, У_А реакции подпятника и реакции Х_В подшипника.

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно ( = const), то элементы стержня имеет только нормальные ускорения, направленные к оси вращения, а численно, гдеh_к – расстояние элемента от оси. Тогда силы инерции d Ф_к будут направлены от оси вращения и численно d Ф_к =  т_к W_пк =  т_к ² h_к, где  т_к – масса к-ти элемента стрежня. Поскольку все d Ф_к пропорционально h_к, то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей линия действия которой проходит через, центр тяжести этого треугольника, т.е. расстоянииН₂ от вершины 0₂, где

Но, как известно, равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, а численно главный вектор сил инерции стрежня 2 Ф₂ = т₂ W_С2, где W_С2 – ускорение центра масс стержня: при этом, как и для любого элемента стержня, W_С = W_Сп = ² h_С = В результате получим.

Учитывая стержень 2 шарнирно закреплено в точке 0₂, вращающий момент относительно  т₀ (F_к) = 0; для стержня 2, мы сможем определить угол отклонение стрежня 2.

или учитывая выражение Ф₂ мы получим такое соотношение для угол .

следовательно

и

и

Аналогично сила инерции Ф₁ груза найдем, что она тоже направлена от оси вращения, а численно Ф₁ = т₂ ² l₁ sin  = 51,6 Н.

Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости 0_ху, то и реакции подпятника А и подшипника В тоже лежат в этой плоскости 0_ху, что было учтено при их изображении.

По принципу Даламбера, приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил три уравнения равновесия, получим.

(1)

(2)

(3)

Подставим сюда числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив систему уравнений, найдем искомые реакции.

Ответ: Х_А = 3,9 Н. У_А = 78,4 Н. Х_В = 68,3 Н.

4. Растяжение и сжатие

4.1 Основные понятия

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила – N (рис. 3.1), с учетом вес бруса длиной z P_z =  Az, где:  - удельный вес балки;

А – площадь поперечного сечения балки.

Составим уравнения равновесия

Отсюда

Рисунок 4.1

Полное напряжение в данной точке на данной элементарной площадке – dA есть отношение (рис.4.2):

(4.1)

где - элементарная сила.

Рисунок 4.2

Проекция на её нормаль называется нормальным напряжением - , а на площадку – касательным напряжением . (рис.4.2).

Полное напряжение вычисляется по формуле:

(4.2)

Деформацией называется относительное удлинение элемента (рис.4.3)

(4.3)

В случае растяжения и сжатия стержня, предполагается, что нормальные напряжения по сечению распределены равномерно, что дает возможность определить их по формуле:

(4.4)

Используем формулу (3.3) и закона Гука (Е – модуль упругости).

(4.5)

Выводим формулу для определения перемещений

(4.6)

Величина ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении сжатии. Формула (4.6) применяется, если N и ЕА постоянны по длине . ЕслиN и ЕА переменны, то формула примет вид:

(3.7)

При проработке этого раздела следует учесть коэффициент Пуассона, характеризующий деформацию в поперечном сечении и обозначаемой буквой , вычисляется по формуле:

 = (3.8)

где ^/– поперечная деформация,

– относительная.

F

Рисунок 4.3

және, и (4.9)

Коэффициент Пуассона изменяется в пределах от 0 до 0,49.

Три типа задач при расчетах на растяжение (сжатие):

1. Проверка прочности и жесткости

2. Подбор геометрических параметров сечения.

3. Определение допустимых нагрузок.