2.1.4 Необмежена плоска стінка

Дано: товщина стінки δ, довжина і ширина стінки не­скінченно великі у порівнянні з δ. Теплопровідність матеріалу λ. На зовнішніх поверхнях підтримуються постійними температури і , причому >. Необхідно визначити характер розподілення температури по товщині стінки і кількість теплоти, що проходить через стінку площею F за час τ (рис. 2.3).

Рисунок 2.3 – Зміна температури в плоскій стінці

Розв'язання

Граничні умови 1 роду будуть такі: t= t₁ під час х= 0 і t = , під час х = δ. Рівняння теплопровідності в цьому випадку буде

(2.13)

Інтегруючи (2.13) одержимо: , після другого інтегрування:

. (2.14)

Постійні і визначимо із граничних умов:

;

; або

.

Підставляючи в (2.14) одержимо

. (2.15)

Із (2.14) або (2.15) виходить, що розподілення температури по товщині стінки змінюється за законом прямої лінії.

Густину теплового потоку через стінку можна визначити використовуючи закон Фурьє:

(2.16)

Загальна кількість теплоти , що проходить через поверхню стінки площею за час:

, (2.17)

де - теплова провідність стінки.

– внутрішній термічний опір стінки.

2.1.5 Циліндрична стінка

Розглянемо одношарову циліндричну стінку (трубу), у якій довжина l значно більша від діаметра (), а тому можна прийняти, що температура стінки змінюється тільки в радіальному напрямі (див. рис. 5.4). Температурне поле одновимірне.

Рисунок 2.4 – Зміна температури в циліндричній стінці

Внутрішній радіус - , зовнішній - , теплопровідність матеріалу стінкиλ = const. Температури на поверхні стінки і постійні, тобто задані граничні умовиІ роду. Необхідно знайти характер розподілу температури по товщині стінки циліндра і те­пловий потік за умови, що >, тобто тепловий потік на­прямлений по радіусу до зовнішньої поверхні.

Розв'язання

Виділимо в стінці на відстані r циліндричну поверхню товщи­ною dr, площа якої. Товщині шару dr відповідає не­скінченно мала різниця температур dt на межі шару. Розглядаючи цю циліндричну поверхню як плоску стінку, використовуємо рівняння Фур'є:

. (2.18)

Розділимо перемінні в (5.18) і одержимо

(2.19)

Інтегруючи (2.19) в межах температур від до і товщині шару стінки від до, одержимо

; (2.20)

З (2.20) виходить, що тепловий потік через циліндричну стінку буде дорівнювати

(2.21)

У технічних розрахунках застосовують поняття лінійної щільності теплового потоку:

(2.22)

2.1.6 Теплопровідність під час стаціонарного режиму і граничних умовах III роду (теплопередача)

Передача теплоти від одного середовища (рідини або газу, в подальшому «рідина») до іншого через тверду стінку, яка їх розділяє, називається теплопередачею. Особливості проходження процесу на межах стінки під час теплопередачі визначаються граничними умовами ІІІ роду, які задають температури рідин з одного та іншого боку стінки, а також закон тепловіддачі між поверхнями стінки та навколишнім середовищем - закон Ньютона-Ріхмана:

(2.23)

або для густини теплового потоку

(2.24)

де: Q (Вт) – тепловий потік; t_c (°С) – температура поверхні тіла (стінки); t_p (°С) – температура рідини; F (м²) - площа поверхні тепловіддачі; α (Вт/(м²К)) – коефіцієнт тепловіддачі, що харак­теризує умови теплообміну.

Розглянемо процес теплопередачі для декількох окремих випадків.