Крайові умови

Для розрахунку процесу поширення теплоти крім рівняння теплопровідності потрібно ще крайові умови: початковий розподіл температури в тілі, умови теплообміну на границях досліджуваного тіла. Для практичного використання найважливішими є такі :

1. Ізотермічна умова. Приймається, що на поверхні тіла залишається незмінною на протязі всього процесу поширення теплоти. Така ситуація може бути досягнута при зварюванні деталей при їх інтенсивному охолодженні водою.

2. Адіабатна умова. Теплообмін на границях тіла приймається рівним нулю. Практично ця умова може бути досягнута при наявності теплової ізоляції поверхні деталі у процесі зварювання сухим піском.

3. Умова теплообміну на границі середовищах із заданою температурою. У цьому випадку тепловий потік на границі пропорційний різниці температур деталі і середовища

де - температура середовища;

- температура поверхні тіла.

До границі теплообміну тверде тіло – рідина, внаслідок теплопровідності надходить тепло відповідно до закону Фур’є.

Якщо тепловіддача дуже велика, а притік тепла малий , температура на поверхні тіла наближається до температури навколишнього середовища, тобто умова теплообміну наближається до ізотермічного процесу.

Якщо віддача теплоти в навколишнє середовище незмінна, а приток теплоти до поверхні значний , та отримуємо адіабатний випадок теплообміну.

2.1.3 Теплопровідність за наявності внутрішніх джерел теплоти

Розглянемо теплопровідність симетричних тіл (пластини і циліндра), в середині яких наявні рівномірно розподілені джерела теплоти а на поверхні відбувається теплообмін з навколишнім середовищем постійної температури

Необмежена пластина

Для цієї задачі диференційне рівняння теплопровідності і аналітичний вираз умов однозначності мають вигляд :

(2.3)

(2.4)

Рисунок 2.1- Розподіл температури в пластині

Після інтегрування (2.3) отримуємо

(2.5)

(2.6)

Константи інтегрування визначаються із граничних умов (2.4):

• при x=0 із (2.5) маємо

• при x=δ із (5.4) і (5.5) отримуємо

Звідси отримуємо рівняння для температури поверхні пластини :

Підставляючи значення t_c в рівняння (2.6) визначаємо другу константу інтегрування C₂

Підставляючи значення C₁ і C₂ в (2.6) находимо рівняння температурного поля пластини:

(2.7)

де t – температура пластини на віддалях від середньої площини, K; q_v – потужність внутрішніх джерел теплоти, Вт/м³; λ – коефіцієнт теплопровідності, Вт/(м·К); 2δ – товщина пластини, м; α – коефіцієнт тепловіддачі від поверхні пластини в навколишнє середовище, Вт/(м²·К).

Циліндричний стержень

Диференціальне рівняння теплопровідності і граничні умови для необмеженого циліндричного стержня має такий вигляд :

(2.8)

(2.9)

Рисунок 2.2 – Розподіл температур у стержні

Рівняння температурного поля в стержні знаходять інтегруванням (2.8). Введемо нову змінну , тоді (2.8) має вигляд

(2.10)

Після інтегрування (2.10) отримуємо

(2.11)

Після виключення постійних інтегрування знаходимо рівняння температурного поля циліндричного стержня

(2.12)

де t – температура стержня на віддалі r від осі, K; r₀ – радіус стержня, м; α – коефіцієнт тепловіддачі стержня в навколишнє середовище, Вт/(м²·К).

Розглянемо декілька випадків, коли температура залежить тільки від однієї координати.