3. Векторная алгебра

3.1. Основные определения и понятия

Вектором называется направленный отрезок.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковые направления.

Для каждого вектора точка приложения может быть выбрана произвольно. Поэтому не различают равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными.

Длина вектора (при заданном масштабе) называется его модулем. Модуль нулевого вектора равен нулю. Модуль вектора обозначают ||.

Проекции вектора на оси координат определяют его как свободный вектор (с точностью до положения в пространстве). Проекции а_х, а_у, а_z вектора на координатные оси называют его декартовыми координатами.

Вектор с координатами а_х, а_у, а_z записывается в виде:

или .

Если даны две точки А(х₁; у₁; z₁) и В(х₂; у₂; z₂), то координаты вектора ( проекции вектора на координатные оси) определяются формулами:

а_х = х₂ – х₁; а_у = y₂ – y₁; а_z = z₂ – z₁.

(Для получения координат вектора нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты его начала.)

Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле:

.

Если модуль вектора равен единице,= 1, то вектор называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называетсяортом вектора и обозначается.

Проекция вектора на осьu выражается формулой:

пр_и,

где  – угол наклона вектора к осии.

Если , ,  – углы, которые составляет вектор с координатными осями, то величины соs, cos, cos называются направляющими косинусами вектора (рис. 16).

Из формулы проекции вектора на ось следуют соотношения:

а_х = .

Можно определить любой из углов   , зная два других, по формуле:

cоs² + cos² + cos² = 1.

Рис. 16

К линейным операциям над векторами относят сложение векторов и умножение вектора на число.

Пусть заданы векторы и.

Тогда имеют место следующие соотношения:

;

.

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

.

Признаком коллинеарности двух векторов иявляется пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов называется координатнымбазисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1. вектор лежит на осиОх; вектор – на осиОу; вектор – на осиОz;

2. каждый из векторов направлен на своей оси в положительную сторону;

3. векторы – единичные;.

Произвольный вектор может быть разложен по базису :

.

Коэффициенты этого разложения являются координатами вектора :а_х, а_у, а_z есть проекции вектора на координатные оси.

3.2. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов иназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

,

где  – угол между векторами и.

Скалярное произведение векторов иможно рассматривать как произведение двух чисел, из которых одно есть модуль векторадругие – проекция векторана ось вектора:

.

Аналогично имеет место формула:

.

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектораи обозначается символом. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:.

Если векторы изаданы своими координатами,,, тоскалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов:

= а_х b_x + а_y b_y + а_z b_z.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю скалярного произведения:

= а_хb_x + а_yb_y + а_zb_z = 0.

Угол  между векторами иопределяется соотношением:

;

.