2.2. Линии второго порядка Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой её центром.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а; b) радиуса R имеет вид (рис. 8):

(х – a)² + (у –b)² = R².

Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. а = 0; b = 0, то уравнение окружности имеет вид: x² + у² = R².

Рис. 8

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2а.

Необходимо, чтобы эта постоянная величина была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса обозначаются F₁ и F₂.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:

.

Эллипс, заданный каноническим уравнением, симметричен относительно осей координат, центр его симметрии находится в начале координат (рис. 9). Параметр аназываютбольшой полуосью, параметрb–малой полуосью эллипса.

Пусть а >b, тогда фокусыF₁иF₂находятся на осиОxна расстоянииот центра и имеют координатыF₁(–c; 0) иF₂(c; 0).

Отношение =< 1 называетсяэксцентриситетом эллипса.

Расстояния произвольной точки М(x; y) эллипса от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами:

r₁=a +x;r₂=a –x.

Прямые иназываютсядиректрисамиэллипса. Каждая директриса обладает следующим свойством: еслиr– расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса,d– расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношениеесть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

Рис. 9

Если b >а, то фокусы находятся на осиОy в точкахF₁(0; –c) иF₂(0;c); расстояния от начала координат до фокусов; эксцентриситет=; фокальные радиус-векторы определяются соотношениями:r₁=b+y,r₂=b–y; уравнения директрису= –иу=.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы имеет вид:

.

Гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно осей координат, центр её симметрии находится в начале координат (рис. 10). Параметраназываютдействительнойполуосью, параметрb–мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает осьОхв двух точках. Эти точки называютсявершинами гиперболы.

Фокусы F₁иF₂находятся на осиОxна расстоянииот центра и имеют координатыF₁(–c; 0) иF₂(c; 0).

Отношение => 1 называетсяэксцентриситетомгиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2аи 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называютосновным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы совпадают с её асимптотами.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями:.

Расстояния произвольной точки М(x; y) гиперболы от его фокусовF₁МиF₂М(фокальные радиус-векторыr₁ иr₂) определяются формулами:

для точек правой ветви гиперболы

r₁=х+а,r₂=х–а;

для точек левой ветви гиперболы

r₁= – (х+а);r₂= – (х–а).

Прямые х= –их=называютсядиректрисамигиперболы. Каждая директриса обладает следующим свойством: еслиr– расстояние произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса,d– расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношениеесть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Каноническое уравнение определяет гиперболу, симметричную относительно осей координат с фокусамиF₁иF₂ на осиОу. Фокусы находятся на расстоянииот центра и имеют координатыF₁(0; –с) иF₂(0;с). Эксцентриситет гиперболы определяется соотношением=; директрисы имеют уравненияу= –иу=.

Гиперболы иназываютсясопряженными.

Гипербола с равными полуосями (а = b) называетсяравносторонней.

Рис. 10