Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лин_Алгебра.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
16.02.2016
Размер:
2.22 Mб
Скачать

2.2. Линии второго порядка Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой её центром.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а; b) радиуса R имеет вид (рис. 8):

(х a)2 + (уb)2 = R2.

Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. а = 0; b = 0, то уравнение окружности имеет вид: x2 + у2 = R2.

Рис. 8

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2а.

Необходимо, чтобы эта постоянная величина была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса обозначаются F1 и F2.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:

.

Эллипс, заданный каноническим уравнением, симметричен относительно осей координат, центр его симметрии находится в начале координат (рис. 9). Параметр аназываютбольшой полуосью, параметрbмалой полуосью эллипса.

Пусть а >b, тогда фокусыF1иF2находятся на осиОxна расстоянииот центра и имеют координатыF1(–c; 0) иF2(c; 0).

Отношение =< 1 называетсяэксцентриситетом эллипса.

Расстояния произвольной точки М(x; y) эллипса от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами:

r1=a +x;r2=a –x.

Прямые иназываютсядиректрисамиэллипса. Каждая директриса обладает следующим свойством: еслиr– расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса,d– расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношениеесть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

Рис. 9

Если b >а, то фокусы находятся на осиОy в точкахF1(0; –c) иF2(0;c); расстояния от начала координат до фокусов; эксцентриситет=; фокальные радиус-векторы определяются соотношениями:r1=b+y,r2=b–y; уравнения директрису= –иу=.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы имеет вид:

.

Гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно осей координат, центр её симметрии находится в начале координат (рис. 10). Параметраназываютдействительнойполуосью, параметрbмнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает осьОхв двух точках. Эти точки называютсявершинами гиперболы.

Фокусы F1иF2находятся на осиОxна расстоянииот центра и имеют координатыF1(–c; 0) иF2(c; 0).

Отношение => 1 называетсяэксцентриситетомгиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2аи 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называютосновным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы совпадают с её асимптотами.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями:.

Расстояния произвольной точки М(x; y) гиперболы от его фокусовF1МиF2М(фокальные радиус-векторыr1 иr2) определяются формулами:

для точек правой ветви гиперболы

r1=х+а,r2=ха;

для точек левой ветви гиперболы

r1= – (х+а);r2= – (ха).

Прямые х= –их=называютсядиректрисамигиперболы. Каждая директриса обладает следующим свойством: еслиr– расстояние произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса,d– расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношениеесть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Каноническое уравнение определяет гиперболу, симметричную относительно осей координат с фокусамиF1иF2 на осиОу. Фокусы находятся на расстоянииот центра и имеют координатыF1(0; –с) иF2(0;с). Эксцентриситет гиперболы определяется соотношением=; директрисы имеют уравненияу= –иу=.

Гиперболы иназываютсясопряженными.

Гипербола с равными полуосями (а = b) называетсяравносторонней.

Рис. 10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.