- •Министерство аграрной политики украины
- •Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 2 от 9 октября 2007г.);
- •Содержание
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Системы линейных уравнений
- •1.2. Метод обратной матрицы
- •1.3. Метод Крамера
- •1.4. Метод Гаусса
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.1. Линии первого порядка
- •2.2. Линии второго порядка Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •2.3. Вопросы для самоконтроля
- •3. Векторная алгебра
- •3.1. Основные определения и понятия
- •3.2. Скалярное произведение векторов
- •3.3. Векторное произведение векторов
- •3.4. Смешанное произведение векторов
- •3.5. Вопросы для самоконтроля
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Плоскость в пространстве
- •4.2. Прямая в пространстве
- •4.3. Прямая и плоскость в пространстве
- •4.4. Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Индивидуальные задания к расчётно-графической работе Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Для выполнения ргр
- •211 Группа
- •212 Группа
- •213 Группа
- •214 Группа
- •215 Группа
- •311 Группа
- •312 Группа
- •313 Группа
- •314 Группа
- •315 Группа
- •316 Группа
- •1111 Группа
- •1112 Группа
- •1211 Группа
- •1212 Группа
- •1311 Группа
- •1312 Группа
- •1313 Группа
- •1511 Группа
- •1512 Группа
3.3. Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, обозначаемый, который удовлетворяет следующим условиям:
вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторыи;
вектор имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах:
, где α – угол между векторами и;
векторы ,,образуют правую тройку.
Рис. 17
Три произвольных некомпланарных вектора,,, взятые в указанном порядке, образуютправую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого векторако второму векторувиден совершающимся против часовой стрелки (рис. 18), илевую, если по часовой стрелке.
Рис. 18
Если система координатных осей правая и векторы изаданы своими координатами,,, товекторное произведение определяется по формуле:
.
Площадь параллелограмма S, построенного на векторах и, равна модулю векторного произведения×и определяется по формуле:
S = ||.
Площадь треугольника S, построенного на векторах и, равна половине площади параллелограмма:
SΔ = S = ||.
3.4. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов ,,называется число, равное векторному произведению, умноженному скалярно на:.
Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис. 19).
Рис. 19
Если векторы ,,заданы своими координатами,,,,то смешанное произведение трех векторов ,,равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов:
.
Векторы ,,компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: = 0.
Объем параллелепипеда V, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, определяется по формуле:
V = .
Объем тетраэдра, построенного на трех некомпланарных векторах ,,, определяется по формуле:
Vт = =.
Пример 6. Даны вершины тетраэдра: А (2; 3; 1), В (4; 1; –2), С (6; 3; 7), D (–5; –4; 8). Необходимо найти:
1) площадь грани АВС;
2) объем тетраэдра АВСD;
3) длину высоты, опущенной на грань АВС;
4) внутренний угол А треугольника АВС.
Решение.
1. Если даны точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2), то вектор выражается следующим образом через орты,,:
= (x2 – x1)+ (у2 – у1)+ (z2 – z1).
Найдем векторы АВ, АС и АD в системе орт:
= (4 – 2)+ (1 – 3)+ (–2 – 1)= 2– 2– 3;
= (6 – 2)+ (3 – 3)+ (7 – 1)= 4+ 6;
= (–5 – 2)+ (–4 – 3)+ (8 – 1)= –7– 7+ 7.
Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и. Площадь параллелограмма, в свою очередь, численно равна модулю векторного произведения векторови.
Найдем векторное произведение векторов и:
= (–2∙6 – 0∙(–3))– (2∙6– 4∙(–3))+ (2∙0 – 4∙(–2))=
= –12– 24+ 8.
Найдем модуль векторного произведения
= .
Тогда SАВС = =∙ 28 = 14.
2. Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах,,. Найдем объем параллелепипеда как модуль смешанного произведения векторов,,:
= = 308.
Тогда объем тетраэдра VАВСD = ∙= ∙ 308 = .
3. Из курса элементарной геометрии известно, что объем тетраэдра V равен произведения площади основания S на высоту H:
.
Выразим высоту Н из последнего уравнения: .
Подставляя в эту формулу и S = SАВС = 14, получим:
.
4. Косинус угла , образованного векторами и, равен их скалярному произведению, делённому на произведение их модулей:
cos =
Найдем модули (длины) векторов и:
|| =;
|| =.
Тогда cos А = cos = .
А 109,65.