Парабола

Параболойназывается геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом и фиксированной прямой, называемой директрисой.

Рассмотрим канонические уравнения параболы:

1. у²= 2рх– парабола симметрична относительно осиОх, ветви направлены вправо (рис. 11);

2) у² = –2рх – парабола симметрична относительно оси Ох, ветви направлены влево (рис. 12);

3) х² = 2ру – парабола симметрична относительно оси Оу, ветви направлены вверх (рис. 13);

4) х² = –2ру – парабола симметрична относительно оси Оу, ветви направлены вниз (рис. 14).

Во всех случаях вершина параболы, т.е. точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Фокус параболы обозначается F, расстояние от фокуса до директрисы обозначается р. Величина р называется параметром параболы.

Рис. 11 Рис. 12

Парабола у²= 2рх имеет фокусF и директрисух = –; фокальный радиус-вектор произвольной точкиМ(x; y), равный длине отрезкаFМ, вычисляется по формуле:

r=x + .

Рис. 13 Рис. 14

Парабола х²= 2ру имеет фокусFи директрисуy = –; фокальный радиус-вектор произвольной точкиМ(x; y), равный длине отрезкаFМ, вычисляется по формуле:

r=y + .

Пример 5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (4; 0) до прямой х = 9 равно числу  = . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение.

Пусть М(х;у) – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикулярМВна прямуюх= 9 (рис. 15). Тогда координаты точкиВбудут иметь значения (9;у). По условию задачи.

Определим АМиВМкак расстояния между двумя точками:

Тогда .

Преобразуем последнее уравнение:

; ;

9х²– 72х+ 144 + 9у²= 4х²– 72х+ 324; 5х²+ 9у²= 180;

;

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида

, где а= 6,b= .

Определим фокусы эллипса F₁(–c; 0) иF₂(c; 0). Для эллипса расстояние от начала координат до фокусов определяется по формуле. Тогда.ТочкиF₁(– 4; 0) иF₂(4; 0) – фокусы эллипса (точкиF₂иАсовпадают). Эксцентриситет эллипса=.

Рис. 15

2.3. Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

2. Как найти расстояние между двумя точками плоскости?

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей отрезок в данном отношении; делящей отрезок пополам.

4. Как найти площадь треугольника, выпуклого многоугольника, заданных координатами своих вершин?

5. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

6. Напишите общее уравнение прямой, неполные уравнения прямой.

7. Напишите уравнения прямой: а) проходящей через данную точку в данном направлении; б) проходящей через две данные точки; в) отсекающей отрезки на координатных осях; г) нормальное.

8. Напишите уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку.

9. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

10. Как найти координаты точки пересечения двух прямых?

11. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

12. Как найти расстояние от точки до прямой?

13. Дайте определение окружности.

14. Напишите каноническое уравнение окружности с центром в произвольной точке плоскости Оху; с центром в начале координат.

15. Постройте окружность по ее каноническому уравнению.

16. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

17. Постройте эллипс по его каноническому уравнению.

18. Как найти фокусы эллипса?

19. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как изменяется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?

20. Что называется фокальным радиусом точки эллипса?

21. Как найти фокальные радиусы эллипса?

22. Что называется директрисами эллипса?

23. Дайте определение гиперболы.

24. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

25. Постройте гиперболу по ее каноническому уравнению.

26. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.

27. Напишите уравнения для нахождения асимптот гиперболы.

28. Как найти фокальные радиусы точек гиперболы?

29. Напишите уравнения директрис гиперболы.

30. Напишите каноническое уравнение гиперболы, вершины которой расположены на оси Оу.

31. Какие гиперболы называются сопряженными?

32. Сформулируйте определение параболы.

33. Напишите канонические уравнения параболы, симметричной относительно оси Ох, относительно оси Оу.

34. Постройте параболу по ее каноническому уравнению.

35. Что называется директрисой параболы?

36. Как найти фокальный радиус параболы?