Доказано также, что случайная величина
ˆ
V (n 1) D D
подчиняется закону распределения χ2:
|
|
|
|
1 |
|
|
n 1 1 |
|
|
v |
при v 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
v 2 |
e |
|
2 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||
kn 1 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
||||
(v) |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 при |
v 0 |
|
||||
2
Рассмотрим их применение при построении доверительных интервалов.
Пусть произведено n независимых опытов над случайной величиной Х, распределенной по нормальному закону, характеристики которой (мат. ожидание и дисперсия) неизвестны.
Для них получены оценки:
|
n |
ˆ |
1 |
|
|
|
2 |
X i |
|
n |
|||||
m |
i 1 |
D |
|
|
( Xi m) |
|
|
n |
|
|
|||||
n |
|
||||||
|
|
1 i 1 |
|
|
|||
Построим доверительный интервал для мат. ожидания. Выберем его симметричным относительно m
Половину этого интервала обозначим как
Ее нужно выбрать так, чтобы выполнялось условие:
p mˆ m
В левой части перейдем к случайной величине Т, распределенной по закону Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства на положительную
величину |
n |
|
ˆ |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p |
|
|
|
|
|
m m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ˆ |
ˆ |
||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
p |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ˆ |
||||||
|
|
D |
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
Найдем такое число t что
p T t
Оно найдется из условия
t
p T t Sn 1 (t)dt
t
Sn 1 (t) - четная функция, поэтому
t
2 Sn 1 (t)dt
0
По таблице значений |
t |
найдем эту величину |
||||||||||
в зависимости от доверительной вероятности γ . |
||||||||||||
Тогда половина |
ширины |
доверительного |
||||||||||
интервала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И сам интервал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ˆ |
|
D |
|
ˆ |
|
D |
|
|
||
|
|
I m t |
n |
; m t |
n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведено 5 независимых опытов над случайной величиной Х, распределенной нормально с неизвестными параметрами m и σ. Найти оценку для мат.ожидания и построить доверительный интервал с
доверительной вероятностью 0.9.
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
xi 
-2.5 
3.4 
-2 
1 
2.1
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
m 2.5 3.4 |
2 1 2.1 5 0.4 |
|
||||||||
ˆ |
1 |
n |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
D |
|
( Xi m) |
|
4 |
(( 2.5 0.4) |
|
(3.4 0.4) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n 1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( 2 0.4)2 |
(1 0.4)2 (2.1 0.4)2 ) 6.6 |
|
|
||||||
По таблице находим при |
n 1 4 |
0.9 |
||||||||
t 2.13
Следовательно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
t |
|
2.13 |
6.6 2.45 |
||
|
|
D |
|||||
|
|
n |
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
I mˆ ; mˆ ( 2.05 ; 2.85)