Рассмотрим систему СВ (Х,У).

По свойству математического ожидания:

M[Y 2 ] 2a M[Y ] 2b M[ XY ] a22a b M[ X ] b2 M[ X 2 ]

Дифференцируем это выражение по а и b и приравниваем производные к нулю:

F(a, b) 2M[Y ] 2a 2bM[ X ] 0

a

F(a,b) 2M[ XY ] 2aM[ X ] 2bM[ X 2 ] 0

b

Отсюда:

b M[ X 2 ] M 2[ X ] M[ XY] M[Y ] M[ X ]

Тогда

a M[Y ] KXY M[ X ] Dx

и искомая линейная зависимость имеет вид:

y (x) M[Y] KXY M[ X ] x KXY Dx Dx

M[Y] (x M[ X ]) KXY

Dx

Учтем, что KXY kXY x y

При этих значениях a и b функция F(a,b) называется ошибкой приближения φ(х) и равна

F(a, b) M[(Y ( X ))2 ] y2 (1 kXY )

Ошибкой регрессии будет величина

M[M[Y | X ] ( X ))2 ] y2 ( Y2| X k2 XY )

Сприближением kXY

кединице, уменьшается ошибка приближения или возрастает концентрация значений (Х,У). около прямой линии, определяемой уравнением

y my (x mx ) kXY y

С приближением kXY x

к корреляционному отношению, уменьшается ошибка регрессии, или неизвестная функция регрессии приближается к линейной функции.

Верно и обратное утверждение.

Это позволяет использовать разность Y2| X k 2 XY

в качестве меры отклонения функции регрессии от линейной зависимости.

На практике известны только результаты наблюдений (т.е. пары значений (Х,У)), поэтому все рассмотренные величины заменяются своими выборочными аналогами.

Тогда исходная система уравнений будет иметь вид

a bX Y aX bX XY

Найти оценки параметров линейной регрессии по выборке

(9;6), (10;4), (12;7), (5;3). Изобразить заданные точки и прямую регрессии.