Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
37
Добавлен:
15.02.2016
Размер:
74.75 Кб
Скачать

Пусть имеется СВ Х с математическим ожиданием m и дисперсией D, которые неизвестны.

Над СВ Х проведено n опытов, давших результаты Х1, Х2,…Хn.

Требуется найти состоятельные и несмещенные оценки параметров m и D.

Уже говорилось, что оценкой для мат. ожидания может служить среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ.

 

n

 

X i

m X n i 1

 

n

Состоятельность оценки следует из теоремы Чебышева:

 

n

p( m m ) 0,

Эта оценка является также несмещенной,

поскольку

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

n m

m

 

n

 

M[m] M

n

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсия этой оценки равна

1

D[m] n D

Эффективность или неэффективность этой оценки зависит от вида закона распределения случайной величины Х.

Если Х распределена по нормальному закону, то можно показать, что эта дисперсия будет минимально возможной, т.е. оценка будет эффективной.

Таким образом, среднее арифметическое является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания.

По аналогии с мат. ожиданием, естественно для дисперсии в качестве оценки выбрать выборочную дисперсию:

S

2

 

1

n

 

2

 

 

( Xi m)

 

 

 

 

n i 1

 

 

Проверим, будет ли эта оценка состоятельной и несмещенной.

Запишем ее в виде:

S

2

 

1

n

2

 

2

 

 

Xi

 

m

 

 

 

 

n i 1

 

 

 

Первое слагаемое есть среднее арифметическое СВ Х2, оно сходится по вероятности к М[X2].

Второе слагаемое сходится по вероятности к m2.

Следовательно, S2 сходится по вероятности к

M[ X 2 ] m2 D

Это значит, что оценка S2 для дисперсии является состоятельной.

Однако, эта оценка не является несмещенной, поскольку можно показать, что

M[S 2 ] n 1 D n

При использовании этой оценки будет возникать систематическая ошибка в меньшую сторону, т.к.

M[S 2 ] D

Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку:

 

 

 

 

ˆ

2

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

2

 

 

 

 

( Xi

2

 

 

D

 

 

n

 

 

m)

 

 

 

 

 

 

1 i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии.

Соседние файлы в папке ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ 2014