- •Пусть имеется СВ Х с математическим ожиданием m и дисперсией D, которые неизвестны.
- •Уже говорилось, что оценкой для мат. ожидания может служить среднее арифметическое наблюдаемых значений
- •Состоятельность оценки следует из теоремы Чебышева:
- •Дисперсия этой оценки равна
- •Таким образом, среднее арифметическое является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания.
- •По аналогии с мат. ожиданием, естественно для дисперсии в качестве оценки выбрать выборочную
- •Проверим, будет ли эта оценка состоятельной и несмещенной.
- •Следовательно, S2 сходится по вероятности к
- •Однако, эта оценка не является несмещенной, поскольку можно показать, что
- •Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку:
- •Рассмотренные нами оценки параметров ГС определяются одним числом. Поэтому они называются точечными.
Пусть имеется СВ Х с математическим ожиданием m и дисперсией D, которые неизвестны.
Над СВ Х проведено n опытов, давших результаты Х1, Х2,…Хn.
Требуется найти состоятельные и несмещенные оценки параметров m и D.
Уже говорилось, что оценкой для мат. ожидания может служить среднее арифметическое наблюдаемых значений СВ.
|
n |
|
X i |
m X n i 1 |
|
|
n |
Состоятельность оценки следует из теоремы Чебышева:
|
n |
p( m m ) 0, |
Эта оценка является также несмещенной,
поскольку |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Xi |
n m |
m |
|
|
n |
|
|||
M[m] M |
n |
||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсия этой оценки равна
1
D[m] n D
Эффективность или неэффективность этой оценки зависит от вида закона распределения случайной величины Х.
Если Х распределена по нормальному закону, то можно показать, что эта дисперсия будет минимально возможной, т.е. оценка будет эффективной.
Таким образом, среднее арифметическое является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания.
По аналогии с мат. ожиданием, естественно для дисперсии в качестве оценки выбрать выборочную дисперсию:
S |
2 |
|
1 |
n |
|
2 |
|
|
( Xi m) |
|
|||
|
|
|
n i 1 |
|
|
Проверим, будет ли эта оценка состоятельной и несмещенной.
Запишем ее в виде:
S |
2 |
|
1 |
n |
2 |
|
2 |
|
|
Xi |
|
m |
|
||
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
Первое слагаемое есть среднее арифметическое СВ Х2, оно сходится по вероятности к М[X2].
Второе слагаемое сходится по вероятности к m2.
Следовательно, S2 сходится по вероятности к
M[ X 2 ] m2 D
Это значит, что оценка S2 для дисперсии является состоятельной.
Однако, эта оценка не является несмещенной, поскольку можно показать, что
M[S 2 ] n 1 D n
При использовании этой оценки будет возникать систематическая ошибка в меньшую сторону, т.к.
M[S 2 ] D
Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку:
|
|
|
|
ˆ |
2 |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
( Xi |
2 |
|||||
|
|
D |
|
|
n |
|
|
m) |
|
||||
|
|
|
|
|
1 i 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии.