Значит |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
m |
|
|
|
|
u |
|
|
||||||||
|
|
X |
|
2 |
|
|
X |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть доверительный интервал для m.
Случайным образом в банке выбрали и проанализировали 400 кредитов.
Невозвращенными оказались 80. Найти доверительный интервал с уровнем доверия 0.95 для вероятности невозвращения кредита по всей совокупности кредитов.
При достаточно большом n>100, отклонение частоты события от вероятности имеет нормальное распределение:
P p
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
p(1 p) |
|
|||||
|
|
|
||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
2Ф(u) 0.95 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим по таблице значение u, для которого выполняется это условие:
u 1.96
При большом n можно сделать замену:
p(1 p) p(1 p) n n
В данном случае
p(1 p) |
0.2 0.8 |
|
1 |
|
n |
2500 |
|||
400 |
|
Тогда
|
u |
p(1 p) |
|
|
u |
p(1 p) |
|
||||
p |
|
|
|
|
|
p p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
p |
1 |
|
1 |
|
0.16 p 0.24 |
|
5 |
25 |
5 |
25 |
||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим точные методы построения доверительных интервалов.
Для этого необходимо знать заранее вид закона распределения случайной величины Х.
Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего выполнение некоторых неравенств, в которые входит оценка параметра.
Закон распределения оценки зависит от неизвестных параметров величины Х.
Но в некоторых случаях можно перейти от оценки к какой-либо другой функции значений
X1, X 2 ,...X n
Закон распределения которых не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от числа опытов n и от вида распределения величины Х.
Такие случайные величины хорошо изучены для нормального распределения.
Например, при нормальном распределении величины Х СВ
T n mˆ m
ˆ
D
где
|
n |
ˆ |
1 |
|
|
|
2 |
X i |
|
n |
|||||
m |
i 1 |
D |
|
|
( Xi m) |
|
|
n |
|
|
|||||
n |
|
||||||
|
|
1 i 1 |
|
|
|||
подчиняется закону распределения Стьюдента:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Sn 1 (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
(x) u x 1 e u du
0