- •Для математического ожидания такой аналогией
- •Аналогом дисперсии является
- •По результатам наблюдений 1, 7, 7, 2, 3, 2, 5, 5, 4, 6,
- •Результаты заносим в таблицу:
- •5Находим выборочную дисперсию:
- •6Находим выборочную функцию распределения.
- •По результатам наблюдений 5, 11, 27, 22, 98, 87, 73, 42, 46, 37,
- •5Находим выборочное среднее:
Мы |
рассматривали |
такие |
характеристики |
||||
случайных |
величин, |
как |
математическое |
||||
ожидание и дисперсию. |
|
|
|
||||
Аналогичные |
числовые |
характеристики |
|||||
существуют |
и |
|
для |
статистических |
|||
распределений. |
|
|
|
|
|||
Каждой |
числовой |
характеристике |
случайной |
||||
величины Х соответствует ее статистическая |
|||||||
аналогия. |
|
|
|
|
|
Для математического ожидания такой аналогией |
|||||||
является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
e e |
... e |
ei |
|
|
|||
X M *[X ] 1 |
2 |
n |
n i 1 |
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
Или |
|
|
|
|
|
|
|
X (x m ... x m ) 1 |
1 |
|
x m |
||||
|
|||||||
1 1 |
|
|
n |
n |
i |
i |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
Или по ДВР:
X x1 p1* ... x p* xi pi*
i 1
Эти три способа дают точное значение выборочного среднего.
По ИВР можно найти приближенное значение выборочного среднего:
X y1 p1* ... y p* yi pi*
i 1
Аналогом дисперсии является |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
S 2 |
D*[Х ] |
1 (ei X )2 1 |
ei |
2 X 2 |
|
||||
|
|
|
n i 1 |
|
n i 1 |
|
|
|
|
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
mi 1 |
|
|
|
|
|
S 2 |
|
1 (xi X )2 |
mi xi |
2 X |
2 |
||||
|
|
n i 1 |
|
n i 1 |
|
|
|
|
Или по ДВР:
|
|
|
|
|
|
||
S 2 |
(xi |
|
)2 |
pi* xi |
2 pi* |
|
2 |
X |
X |
||||||
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
Эти три способа дают точное значение выборочной дисперсии.
По ИВР можно найти приближенное значение выборочной дисперсии :
|
|
|
|
|
|
||
S 2 |
( yi |
|
)2 |
pi* yi |
2 pi* |
|
2 |
X |
X |
||||||
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
По результатам наблюдений 1, 7, 7, 2, 3, 2, 5, 5, 4, 6, 3, 4, 3, 5, 6, 6, 5, 5, 4, 4
построить ДВР, многоугольник частостей, график выборочной функции распределения, найти выборочное среднее и
выборочную дисперсию двумя способами.
1 Количество элементов выборки равно 20, следовательно объем выборки n=20.
Составляем ранжированный ряд:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7.
2Выделяем варианты и их частоты: 1(1), 2(2), 3(3), 4(4), 5(5), 6(3), 7(2).
Вариантов немного (7), поэтому будем строить ДВР.
3 Находим частости по формуле |
pi mi |
|
n |
Результаты заносим в таблицу: |
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1/20 |
2/20 |
3/20 |
4/20 |
5/20 |
3/20 |
2/20 |
Получен ДВР.
4 Находим выборочное среднее:
X201 (1 7 7 2 3 2 5 5 4 6 3
4 3 5 6 6 5 5 4 4) 4.15
Второй способ (по ДВР):
X 1 201 2 202 3 203 4 204 5 205 6 203 7 202 4.15
5Находим выборочную дисперсию:
S 2 |
|
1 |
(12 72 72 22 32 22 52 52 42 62 32 |
|
|
||||
20 |
||||
42 32 52 62 62 52 52 42 42 ) |
(4.15)2 4.47 |
Второй способ (по ДВР):
S 2 12 201 22 202 32 203 42 20452 205 62 203 72 202 (4.15)2 4.74
6Находим выборочную функцию распределения.
F* (x1 ) 0
F* (x2 ) p1* 201
F* (x3 ) p1* p2* 201 202 203
F* (x4 ) p1* p2* p3* 201 202 203 206
F* (x5 ) p1* p2* p3* p4* 201 202 203 204 1020
F * ( x ) p* p* p* p* |
p* |
|
|||||||||||
|
6 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
15 |
|
20 |
20 |
|
20 |
|
20 |
20 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
20 |
F * (x ) p* p* p* p* |
p* p* |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
18 |
|||||||||
|
|
20 |
|
20 |
|
20 |
|
20 |
|
20 |
|
||||||||||||||||||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|||||||||||||||||
F* (x ) p* |
p* |
p* p* p* p* p* |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
6 |
7 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
20 |
1 |
||||||||
|
20 |
20 |
|
|
20 |
20 |
|
|
|
|
20 |
||||||||||||||||||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
20 |
|
Теперь строим график выборочной функции распределения:
F (x) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
x |
7 |
По найденному ДВР строим многоугольник |
||||||||
|
частостей: |
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
x |