Пусть Х – случайная величина. |
|
|
|
|
y (x) |
|
|
функция, область определения |
которой |
||
содержит |
множество |
возможных |
|
значений Х. |
|
|
|
Тогда У тоже будет случайной величиной, |
|||
являющейся функцией от Х. |
|
|
|
Например, обменный пункт меняет валюту по курсу 30 рублей за доллар.
Кассир записывает выданные клиентам рублевые суммы У, которые являются случайными Ясно,величинамичто . У=30*Х, где Х – предъявленные к обмену доллары.
Рассмотрим вопрос о нахождении закона распределения и характеристик функции случайной величины, если известен закон распределения ее аргумента.
Рассмотрим сначала дискретные случайные величины.
Пусть случайная величина Х задана |
|||||
рядом распределения: |
|||||
-4 |
-1 |
1 |
3 |
4 |
6 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
0.4 |
0.1 |
Составить закон распределения СВ |
|||||
|
У=2Х и Z=X2. |
|
|||
Ряд распределения для У=2Х |
будет |
|||||
иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
-8 |
-2 |
2 |
6 |
8 |
12 |
|
0.1 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
0.4 |
0.1 |
|
Для случайной величины Z=Х2 значения 1 и 16 будут повторяться дважды. Поэтому при построении ряда распределения соответствующие вероятности нужно сложить:
1 9 16 36
0.3 
0.1 
0.5 
0.1
По составленным распределениям легко найти числовые характеристики (мат. ожидание и дисперсию СВ):
M[ ( X )] (xi ) pi
i
Дисперсия определится как:
D[ ( X )] ( (xi ) M[ ( X )])2 pi
i
В случае непрерывных СВ эти формулы принимают вид:
M[ ( X )] (x) f (x)dx
D[ ( X )] ( (xi ) M[ (x)])2 f (x)dx
где f(x) – плотность распределения случайной величины Х.
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении закона распределения функции случайного аргумента для непрерывных случайных величин.
Пусть Х – непрерывная СВ с плотностью |
вероятности f(x), а φ(x) – монотонная |
дифференцируемая функция. Тогда |
Плотность вероятности СВ У= φ(Х) есть |
g( y) f ( ( y)) ( y) |
где функция ψ(у) – функция, обратная к φ. |
Рассмотрим участок оси абсцисс (а,в), на котором лежат все возможные значения величины Х, т.е. Р(a<X<b)=1.
Пусть на данном участке функция у=φ(х) монотонно возрастает. y f (x)
y 
A 
B
a |
x b |
x |
Когда |
случайная |
|
величина |
Х |
|
принимает |
различные значения |
на |
|||
участке (a, b), случайная точка (x, y) |
|||||
перемещается по кривой у= φ(х). |
|
||||
Обозначим |
g(y) |
– |
плотность |
||
распределения величины Y. |
|
||||
Чтобы |
определить |
|
g(y), найдем |
||
сначала функцию распределения Y :
G(y)=P(Y<y).
Проведем прямую АВ, параллельно оси абсцисс на расстоянии у от нее.
Чтобы выполнялось условие У<у, случайная точка должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ.